系统运动稳定分析

系统运动稳定分析第1页，课件共76页，创作于2023年2月5.1外部稳定性和内部稳定性

外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性的关系第2页，课件共76页，创作于2023年2月系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。稳定性是系统的另一个重要特征。实际系统必须是稳定的。外部稳定性：通过输入—输出关系来表征。内部稳定性：基于状态空间描述，零输入下状态运动的响应来表征。满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价关系。第3页，课件共76页，创作于2023年2月考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入，稳定，简称为BIBO稳定。即满足条件：的输入，所对应的输出均是有界的，即成立则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入—有界输出

外部稳定性第4页，课件共76页，创作于2023年2月所有BIBO稳定判别准则结论5.1[时变系统]均满足关系式：应矩阵，则系统为BIBO稳定的充分必要条件是，存在一个有限正数，使对于一切，的对于零初始条件的线性时变系统，表为其脉冲响第5页，课件共76页，创作于2023年2月首先，考虑，即单输入—单输出的情况。证明：分成两步来证明先证充分性：已知成立，且任意输入满足得那么利用由脉冲响应函数表示输出由定义知：系统为BIBO稳定。第6页，课件共76页，创作于2023年2月证必要性：采用反证法，已知系统BIBO稳定使定义如下有界输入从而表明输出无界，与BIBO稳定相矛盾。考察由它作用下所产生的输出，易知设存在某个，第7页，课件共76页，创作于2023年2月多输入—多输出情况系统输出的分量满足关系式且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO情形，可证得此结论。第8页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.2[定常系统]则系统为BIBO稳定

存在一个有限正数，使的每一个元对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻，

（真或严格真）的所有极点均具有负实部

为其脉冲响应矩阵，为其传递函数矩阵，

第9页，课件共76页，创作于2023年2月对于线性时变系统定义5.2[内部稳定]如果外输入，由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应

满足关系式：则称系统在时刻是内部稳定的。

内部稳定是自治系统状态运动的稳定性。第10页，课件共76页，创作于2023年2月注:内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性系统，可根据状态转移矩阵或系数矩阵来判别。结论5.4

[时变系统内部稳定]结论5.5

[定常系统内部稳定]第11页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.6[线性定常系统]线性定常(自由)系统内部稳定(渐近稳定)的充分必要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即其中为系统的维数。注:

当矩阵A给定后，则可导出其特征多项式利用劳斯—霍尔维茨判据，直接由系数来判断系统的渐近稳定性。对连续时间线性时变系统不成立。第12页，课件共76页，创作于2023年2月内部稳定性和外部稳定性间的关系结论5.7[内部稳定性和外部稳定性关系]：设线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定。第13页，课件共76页，创作于2023年2月

结论5.8[内部稳定性和外部稳定性关系]：

线性定常系统是BIBO稳定的（外部稳定），不能保证系统是内部稳定即渐近稳定。结论5.9[内部稳定性和外部稳定性关系]：如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。第14页，课件共76页，创作于2023年2月

李亚普诺夫第一方法和第二方法自由系统、平衡点和受扰运动李亚普诺夫意义下的稳定渐近稳定不稳定5.2李亚普诺夫意义下运动稳定性的

一些基本概念第15页，课件共76页，创作于2023年2月李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第一方法：又称李亚普诺夫间接方法

基本思想：在小范围内将非线性自治系统作一次线性化近似，根据线性化系统的稳定性推断非线性系统的稳定性—特征值在复平面上的分布。特征值均具有负实部—系统在邻域内稳定；包含正实部的特征根—系统在邻域内不稳定；除负实部特征根外还包含零实部特征根—进一步分析判断。李亚普诺夫第一方法是经典控制理论中稳定性讨论的基础。

第16页，课件共76页，创作于2023年2月李亚普诺夫第一方法和第二方法李亚普诺夫第二方法：又称李亚普诺夫直接方法

基本思想：引入李亚普诺夫函数（广义能量函数），根据全导数的符号判断系统的稳定性。根据系统的结构判断内部稳定的方法。

特点：直观、严谨，是目前分析非线性系统稳定性的主要方法。

第17页，课件共76页，创作于2023年2月自由系统、平衡态、受扰运动没有外部输入作用的系统。

受扰运动动态系统的受扰运动定义为其自由系统由初始状态引起的一类状态运动，即状态的零输入响应。自由系统由初始状态所引起的运动又常记为：第18页，课件共76页，创作于2023年2月注：1）若

，则原点为系统的一个平衡状态。则称为系统的一个平衡状态（平衡点）。平衡状态如果存在某个状态，使成立2）平衡点（态）可通过解方程求得：通过坐标平移可将平衡点转换为空间的原点。3）平衡点不惟一，孤立平衡点（主要研究情形）第19页，课件共76页，创作于2023年2月都存在一个实数，使得由满足不等式为李亚普诺夫意义下是稳定的，如果对任给的实数，

李亚普诺夫意义下的稳定

设为系统的一个孤立平衡状态，则称在时刻的任一初态出发的受扰运动都满足不等式：定义5.6[李亚普诺夫意义下的稳定]第20页，课件共76页，创作于2023年2月注：1）几何含义：第21页，课件共76页，创作于2023年2月如果只依赖于而和初始时刻无关，则称是一致稳定的。定常系统：稳定等价于一致稳定。时变系统：稳定一致稳定。（1）是李氏意义下稳定的；

渐近稳定一个孤立平衡状态称为渐近稳定的，如果：注：2）一致稳定：第22页，课件共76页，创作于2023年2月存在实数，使得满足：（2）对和任意给定的实数，对应地的任一初态出发的受扰运动都同时满足不等式：第23页，课件共76页，创作于2023年2月注:1)几何意义(随时间变化渐近性:x-t)第24页，课件共76页，创作于2023年2月注2)

一致渐近稳定若在定义中,均与初始时刻无关则称平衡点一致渐近稳定。李氏意义下的渐近稳定=工程意义下的稳定对于定常系统(线性、非线性)：一致渐近稳定等价于渐近稳定

注3)

渐近稳定工程意义第25页，课件共76页，创作于2023年2月运动都是渐近稳定的，则称其平衡点大范围稳定。大范围渐近稳定

如果以状态空间的任一非零点为初始状态的受扰

大范围渐近稳定，除了原点平衡状态外，不存在其它大范围渐近稳定又称为全局渐近稳定。孤立平衡点。

小范围渐近稳定为局部渐近稳定（其最大区域

线性系统渐近稳定=大范围渐近稳定。称为平衡状态的吸引域(区)）第26页，课件共76页，创作于2023年2月相应的实数，使得由满足不等式：

不稳定如果对于不管取多么大的有限实数，都不可能找到的任一初态出发的运动满足不等式则称平衡状态在时刻是不稳定的。

取得多么大，取得如何小，必存在一个非零点使得由出发的运动轨线越出第27页，课件共76页，创作于2023年2月第28页，课件共76页，创作于2023年2月

5.3李亚普诺夫第二方法的主要定理大范围渐近稳定的判别定理小范围渐近稳定的判别定理李亚普诺夫意义下稳定的判别定理不稳定的判别定理第29页，课件共76页，创作于2023年2月

分析稳定性原非线性系统的稳定性。

第一法，间接法：运动方程一次近似的线性化方程

其一次导数的定号性分析稳定性。

第二法，直接法：运动方程构造函数分析它和第30页，课件共76页，创作于2023年2月其中，对一切成立，即状态空间的原点大范围渐近稳定的判别定理连续非线性时变自治系统为系统的平衡状态。结论5.10

[大范围一致渐近稳定判别定理—主稳定性定理]

如果存在一个对和具有连续一阶偏导数的标量函数且满足如下的条件：第31页，课件共76页，创作于2023年2月（1）正定且有界，即两个连续的非减标量函数

和，其中和，使对一切和一切成立:（2）对时间的导数负定且有界，即存在一个连续的非减标量函数，其中使对一切和一切成立:第32页，课件共76页，创作于2023年2月（3）当时，有即，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定。注1）：定理可适用于线性和非线性系统、时变和定常。

注2）:直观含义：为正定有界，将其看成是一种“广义能量”，而为能量随时间的变化率，而变化率是负的，则运动必是有界的，并最终返回到原点平衡状态.注3）：满足定理条件的，称为李亚普诺夫函数。第33页，课件共76页，创作于2023年2月注4）：判断系统的渐进稳定性，就归结为对给定系统构造李亚普诺夫函数；注5）：此判据只是保证自治系统为大范围一致渐进稳定的一个充分条件。第34页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.11[定常系统的大范围渐近稳定判别定理]

考虑上述定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数，并且对状态空间中的一切非零状态点

满足如下的条件：（1）为正定；（2）为负定；（3）当时，有则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。第35页，课件共76页，创作于2023年2月例：给定连续时间的定常系统：易知，和为其唯一的平衡状态。现取为状态的一个二次型函数即

为正定。第36页，课件共76页，创作于2023年2月且当时，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。

为负定。第37页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.12[定常系统的大范围渐近稳定判别定理]定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数

，并且对状态空间中的一切非零状态点满足如下的条件：（1）为正定；（2）为负半定；（4）当时，有则系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定。放宽条件：全导数负定→全导数半负定（3）对任意第38页，课件共76页，创作于2023年2月例5.2：第39页，课件共76页，创作于2023年2月第40页，课件共76页，创作于2023年2月第41页，课件共76页，创作于2023年2月小范围内渐近稳定的判别定理结论5.13[小范围渐近稳定]第42页，课件共76页，创作于2023年2月

结论5.14[小范围渐近稳定]第43页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.15[小范围渐近稳定]第44页，课件共76页，创作于2023年2月李亚普诺夫意义下稳定的判别定理结论5.16[时变系统稳定的判别定理]一个吸引区，使对一切和一切，满足对于时变系统，如果存在一个对和具有连续一阶偏导数的标量函数和围绕原点的（1）正定且有界；如下的条件：（2）为负半定且有界,则系统原点平衡状态x=0为内一致稳定。第45页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.17[定常系统稳定的判别定理]

对一切和一切，满足如下的条件：对于定常系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数

，和围绕原点的一个吸引区，使

（1）为正定；（2）为负半定，则系统原点平衡状态为内稳定。第46页，课件共76页，创作于2023年2月不稳定的判别定理满足如下的条件：对上述时变非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数和围绕原点的一个吸引区，使得对一切和一切结论5.18[不稳定判别定理（充分条件）]第47页，课件共76页，创作于2023年2月（1）正定且有界；（2）也为正定且有界，则系统平衡状态为不稳定。

和为同号时，系统的受扰运动轨线将发散。第48页，课件共76页，创作于2023年2月满足条件：对上述时不变非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数和围绕原点的一个吸引域使得对一切和一切结论5.19[不稳定判别定理（充分条件）]（1）正定；（2）也为正定,则系统的平衡状态为不稳定。第49页，课件共76页，创作于2023年2月

线性时不变系统的稳定判据线性时变系统的稳定判据5.4连续时间线性系统的状态运动稳定性判据第50页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.22：[特征值判据]条件为：A的所有特征值均具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根。系统的平衡点x=0是在李亚普诺夫意义稳定的充分必要

线性时不变系统的稳定判据第51页，课件共76页，创作于2023年2月若是矩阵A的特征多项式，则即也是A的化零多项式。在矩阵A的所有化零多项式中，首项系数为1，且次数最低的称为A的最小多项式。注：第52页，课件共76页，创作于2023年2月

结论5.23：[特征值判据]系统平衡态x=0是渐近稳定的充分必要条件为A的所有特征值均具有负实部。第53页，课件共76页，创作于2023年2月线性定常系统的零平衡状态为渐近稳定的充分必结论5.24：[李亚普诺夫判据]要条件是:对任给一个正定对称矩阵，如下形式的李亚普诺夫矩阵方程：有唯一正定(对称)解阵。第54页，课件共76页，创作于2023年2月证明：先证充分性。设对任意正定阵Q存在正定解阵P.

下证必要性。已知原点渐近稳定，任给正定矩阵Q，证存在唯一正定解阵P.第55页，课件共76页，创作于2023年2月第56页，课件共76页，创作于2023年2月注：在实际应用中，正定矩阵Q应尽可能选取简单，如单位阵或对角阵。第57页，课件共76页，创作于2023年2月考虑线性定常系统，矩阵A的所有特征值位于左半平面，结论5.25：[李亚普诺夫判据的推广形式]即的充分必要条件是：对任意给定的一个正定对称矩阵，如下的推广形式的李亚普诺夫方程：有唯一正定矩阵解。第58页，课件共76页，创作于2023年2月第59页，课件共76页，创作于2023年2月结论5.26：[状态转移矩阵判据]（1）系统的原点平衡状态在时刻是李亚普诺夫意义下稳平衡状态。考虑线性时变系统线性时变系统的稳定性判据定的充分必要条件是：存在一个依赖于的实数，使得第60页，课件共76页，创作于2023年2月若存在不依赖于的常数上式成立，则零平衡点是李其中为系统的状态转移矩阵。进一步，氏意义下的一致稳定的。（2）系统的唯一平衡状态在时刻是渐近稳定的充分必要条件是：存在依赖于的实数，使得进一步，第61页，课件共76页，创作于2023年2月

在区间上为一致渐近稳定的充分必要条件，是存在不依赖于的正数和使得所有成立：第62页，课件共76页，创作于2023年2月线性时变系统，为其唯一的平衡状态，的元均结论528：[李亚普诺夫判据]为分段连续的一致有界的实函数。则原点平衡状态为一致渐近稳定的充分必要条件，是对任意给定的一个实对称、一致有界和一致正定的时变矩阵，即存在正实数，成立第63页，课件共76页，创作于2023年2月如下形式的Lyapunov方程有实对称、一致有界和一致正定的矩阵解，即存在正实数，使成立：第64页，课件共76页，创作于2023年2月衰减系数计算最小衰减系数的关系式自由运动衰减快慢的估计5.5线性定常系统稳定自由运动的

衰减性能估计第65页，课件共76页，创作于2023年2月趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。线性定常系统，利用李氏判据可判断其原点平衡状态是否这种估计不必求出自由运动的解。为渐近稳定，还可对稳定的自由运动，即一种间接估计稳定自由运动的衰减性能。

衰减系数—度量自由运动衰减性能第66页，课件共76页，创作于2023年2月原点为唯一的渐近稳定平衡状态，其自由运动考虑线性定常自由系统定义5.9[衰减系数]的衰减系数定义为如下正实数：其中，V(x)是系统的一个Lyapunov函数。第67页，课件共76页，创作于2023年2月随之衰减到零。1）物理上，运动的收敛趋向于，相应的能量也2）初始能量小，衰减速率大，收敛就快。反之收敛得就愈慢。3）一般