广东省阳江市茶山中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

广东省阳江市茶山中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是(

) A．f（x）=x+sinx B． C．f（x）=xcosx D．参考答案：C考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式，排除部分选项，利用图象过（，0），排除选项，得到结果．解答： 解：依题意函数是奇函数，排除D，函数图象过原点，排除B，图象过（，0）显然A不正确，C正确；故选C点评：本题是基础题，考查函数的图象特征，函数的性质，考查学生的视图能力，常考题型．3.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是A．若,则函数的图象关于原点对称B．若,则方程有大于2的实根C．若,则方程有两个实根D．若,则方程有两个实根参考答案：B4.下列命题中是真命题的个数是（

）①②命题，则命题；③，函数都不是偶函数④，函数与的图像有三个交点A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：B略5.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是

(

)(A)(B)（C）(D)参考答案：C6.已知||=1，||=2，?（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由?（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且?（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．7.在锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则△ABC面积的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，） D．[，）参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据余弦定理和角平分线定理，求出△ABC是正三角形时面积取得最小值，当AB⊥BC时，△ABC面积取得最大值，由此求出结果．【解答】解：如图所示，锐角△ABC中，∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，根据余弦定理，BD2=c2+1﹣2c?cos=c2﹣c+1，CD2=b2+1﹣2b?cos=b2﹣b+1；根据角平分线定理，=，即=；∴b2c2﹣b2c+b2=b2c2﹣bc2+c2，即bc（c﹣b）=（c﹣b）（c+b）；当b=c时，△ABC是正三角形，由|AD|=1，得AB=AC=，则S△ABC=bcsin=；当b≠c时，bc=b+c≥2，当且仅当b=c时“=”成立，所以bc≥，即b=c=时S△ABC取得最小值为；又当AB⊥BC时，BD=，AB=，DC=AD=1，S△ABC=××（1+）=为最大值，△ABC面积的取值范围是[，]．故选：D．8.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.在等差数列中,(

)A.

5

B．6

C．4

D．8参考答案：C10.为了得到函数的图像，只需把函数的图像

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

参考答案：C依题意，把函数左右平移各单位长得函数的图象，即函数的图象，∴，解得，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（几何证明选讲选做题）如图，是的高，是外接圆的直径，若，则

．参考答案：试题分析：连接，则而考点：圆周角12.已知直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a﹣3）y=4，l1⊥l2，则a=．参考答案：1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用两直线垂直，x，y系数积的和为0的性质求解．【解答】解：∵直线l1：ax+y+3=0，l2：x+（2a﹣3）y=4，l1⊥l2，∴a+（2a﹣3）=0，解得a=1．故答案为：1．13.函数的最小正周期T=__________参考答案：14.甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为

。参考答案：略15.边长为的正△ABC内接于体积为的球，则球面上的点到△ABC最大距离为

。参考答案：16.设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是

参考答案：略17.已知，则函数的零点的个数为_______个.参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC的体积；（Ⅱ）证明：AE∥平面PFC；（Ⅲ）证明：平面PFC⊥平面PCD．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）利用左视图可得F为AB的中点，即可得到三角形BFC的面积，由PA⊥平面ABCD，可知PA是四面体PBFC的底面BFC上的高，利用三棱锥的体积计算公式即可得到；（II）利用三角形的中位线定理即可得到EQ∥CD，．再利用底面正方形的性质可得AF∥CD，，利用平行四边形的判定和性质定理即可得到AE∥FQ，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）利用线面垂直的性质定理和判定定理即可得到CD⊥平面PAD，从而得到CD⊥AE，由等腰三角形的性质可得AE⊥PD，利用线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面PCD，而FQ∥AE，可得FQ⊥平面PCD，利用面面垂直的判定定理即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：由左视图可得F为AB的中点，∴△BFC的面积为．∵PA⊥平面ABCD，∴四面体PBFC的体积为=．（Ⅱ）证明：取PC中点Q，连接EQ，FQ．由正（主）视图可得E为PD的中点，∴EQ∥CD，．又∵AF∥CD，，∴AF∥EQ，AF=EQ．∴四边形AFQE为平行四边形，∴AE∥FQ．∵AE?平面PFC，FQ?平面PFC，∴直线AE∥平面PFC．（Ⅲ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵平面ABCD为正方形，∴AD⊥CD．∴CD⊥平面PAD．∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．∵PA=AD，E为PD中点，∴AE⊥PD．∴AE⊥平面PCD．∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD．∵FQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD．【点评】正确理解三视图，熟练掌握三角形BFC的面积、三棱锥的体积计算公式、三角形的中位线定理、正方形的性质、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理和判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的判定定理是解题的关键．19.（12分）已知f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）证明：当x＞0时，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根据函数的单调性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣2ax，由题设得f'（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得a=1，b=e﹣2．（2）由（1）知f（x）=ex﹣x2，∴f'（x）=ex﹣2x，f''（x）=ex﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1．（3）因为f'（x），又由（2）知，f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，则g'（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=ex﹣2，由（2）知，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（x）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．由（2）知，，即，所以ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，即ex+（1﹣e）x﹣1﹣xlnx≥0成立，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．20.已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱底面ABC，，BC=BB1，M，N分别是AB，A1C的中点.（I）求证：MN//平面BCC1B1；（II）求证：平面A1B1C.参考答案：略21.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）参考答案：22.2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081已知甲厂生产的产品共有9