2022-2023学年湖南省娄底市坪溪中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年湖南省娄底市坪溪中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（

）A.20 B.16 C.14 D.12参考答案：B【分析】利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为，所以，高二年级应抽取人数为.故选：B.【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.2.有命题m：“?x0∈（0，），（）＜logx0”，n：“?x0∈（0，+∞），（）=logx0＞x0”，则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：（￢m）∨n和p4：m∧（￢n）中，真命题是（）A．p1，p2，p3 B．p2，p3，p4 C．p1，p3 D．p2，p4参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】命题m：利用指数函数与对数函数的大小与1比较即可得出大小关系；命题n：利用指数函数与对数函数的图象与单调性即可得出大小关系．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出．【解答】解：命题m：“?x0∈（0，），（）＜1＜logx0”，因此是真命题；命题n：“?x0∈（0，+∞），（）=logx0＞x0”，如图所示，因此是真命题．则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：（￢m）∨n和p4：m∧（￢n）中，真命题是p11，p2，p3是真命题，p4是假命题．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、指数函数与对数函数的性质，考查了数形结合的方法、推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x?f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．4.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数

B．的一条对称轴为直线

C.的最小正周期为

D．在上为减函数参考答案：D，所以是偶函数，不是其对称轴，最小正周期为，在上为减函数，所以选D.5.已知函数,则在[0，2]上的零点个数为A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B在同一直角坐标系内画出函数的图像，如图，由图知函数在[0，2]上的零点个数为2.

6.若函数的图像关于点对称，且当时，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为A．

B． C． D．

参考答案：C第一次循环有.第二次循环有.第三次循环有。第四次循环有，此时为输出结果，说明满足条件，故条件为或，所以选C.8.集合M={x|x=,k∈Z}与N={x|x=,k∈Z}之间的关系是

(

)

A.MN

B.NM

C.M=N

D.M∩N=参考答案：A9.已知点A（1，0），P，且满足则|PA|的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A10.已知的图象如下左图所示，则的表达式为

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正项等比数列的前项和为，则以，，为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为 .参考答案：12.已知x＞0，若（x﹣i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x=．参考答案：1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】x＞0，（x﹣i）2=x2﹣1﹣2xi纯虚数（其中i为虚数单位），可得x2﹣1=0，﹣2x≠0，x＞0，解出即可得出．【解答】解：x＞0，（x﹣i）2=x2﹣1﹣2xi纯虚数（其中i为虚数单位），∴x2﹣1=0，﹣2x≠0，x＞0，解得x=1．故答案为：1．13.椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为

，的面积为

.

参考答案： 14.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为_______.参考答案：7+15.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB=I，，则______________。参考答案：16.二项式的展开式中，常数项的值为______.参考答案：240【分析】利用通项公式，令，解得，即可得出．【详解】，令，解得．∴常数项的值是，故答案为240．17.若函数，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25)a0.5第2组[25，35)18x第3组[35，45)b0.9第4组[45，55)90.36第5组[55，65]3y(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.参考答案：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=,∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，

…4分（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人

…8分（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1.则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A2,C1)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B1,C1)，(B2,B3)，(B2,C1)，(B3,C1)共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，

…….…10分

∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：.

…….…12分19.（本题满分12分）在如图的多面体中，平面AEB，（I）求证:AB//平面DEG；（II）求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）证明：∵，∴.

又∵，是的中点，

∴，∴四边形是平行四边形，∴．

……………2分∵平面，平面，∴平面．

……………4分（Ⅱ）解∵平面，平面，平面，∴，，又，∴两两垂直．

以点E为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系．…6分由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）．…………7分由已知得是平面的法向量．

……8分设平面的法向量为，∵，∴，即，令,得．

…10分设二面角的大小为，由图知为钝角，∴，

∴二面角的余弦值为…12分20.已知函数．（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．参考答案：（1）由已知条件，，当时，，，当时，，所以所求切线方程为…………3分（2）由已知条件可得有两个相异实根，，令，则，1）若，则，单调递增，不可能有两根；2）若，令得，可知在上单调递增，在上单调递减，令解得，由有，由有，从而时函数有两个极值点，

…………6分当变化时，，的变化情况如下表单调递减单调递增单调递减因为，所以，在区间上单调递增，…………10分．

…………12分另解：由已知可得，则，…………4分令则，可知函数在单调递增，在单调递减，若有两个根，则可得，

…………8分当时，，所以在区间上单调递增

…………10分所以．

…………12分21.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为，图象过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若函数的图象是由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度而得到，且在区间内是单调函数，求实数的最大值．参考答案：(I)(II)实数的最大值为．【知识点】三角函数的图象与性质

C4（Ⅰ）因为的最小正周期是，所以，得．….2分所以．又因为的图象过点，所以，因为，所以．

………………….5分所以，即．

…….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题设可得．………….…..8分因为，所以，……………….…10分要使函数在区间内是单调函数，只有，所以．因此实数的最大值为．