初中数学-24.4弧长和扇形的面积（1）教学设计学情分析教材分析课后反思

初级中学数学备课年级九年级学科数学主备教师时间课型新授课题24.4弧长和扇形的面积（1）知识目标1．理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积．2．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力．3．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系．重点难点重点：推导弧长及扇形面积计算公式的过程．难点：掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．教学过程知识链接如图所示是一个________，圆周的一部分是____________我们知道圆的周长公式C=__________.在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．合作探究知识点1、弧长的计算公式．思考：（1）如何计算圆周长？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？教师引导学生思考、分析、讨论，从而得出弧长的计算公式．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．例1、制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．解：由弧长公式，得的长＝500π≈1570（mm）．因此所要求的展直长度L＝2×700＋1570＝2970（mm）．知识点2、扇形的计算公式．如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大．怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想：如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？●归纳：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．知识点3、弧长与扇形面积的关系．我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？∵l＝πR，S扇形＝πR2，∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．例2、如下左图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m．求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．解：如上右图，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C，连接AC．∵OC＝0.6m，DC＝0.3m，∴OD＝OC－DC＝0.3（m）．∴OD＝DC．又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线．∴AC＝AO＝OC．从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°．有水部分的面积S＝S扇形OAB－S△OAB＝×0.62－AB·OD＝0.12π－×0.6×0.3≈0.22（m2）．总结：求阴影部分的面积我们通常用拼凑法。自主尝试如果一个扇形的弧长是QUOTE43π,半径是6,那么此扇形的圆心角为()AA.40°B.45°C.60°D.80°2.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π,则该圆的半径r等于()CA.7 B.8 C.9 D.103.圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为()BA. B. C. D.4.点A,B,C是半径为15cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为______cm.答案：65.已知☉O的半径OA=5QUOTE33,扇形OAB的面积为15π,则QUOTEABAB所对的圆心角是()BA.120°B.72°C.36°D.60°§K]解:设QUOTEABAB所对的圆心角的度数为n°,则QUOTEnπ×(53)2360nπ×(536.如果扇形的圆心角为150°,扇形面积为240πcm2,那么扇形的弧长为()CA.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm解：.由QUOTE150360150360πr2=240π,解得r=24.又由S=QUOTE1212lr,得240π=QUOTE1212l×24,得l=20πcm.7.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,1m长为半径的扇形区域内(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是.答案:QUOTE3π23π2m2解：设五边形的五个内角分别为n1°,n2°,…,n5°,则n1+n2+…+n5=(5-2)×180=540,∴阴影部分面积为QUOTEn1π360n1π360+QUOTEn2π360n2π360+…+QUOTEn5π360n5π360=QUOTEπ(n1+n2+…+n5)360π(n1+n当堂检测1.如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=2QUOTE22,∠A=45°,把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置,则顶点C经过的路线长为.答案:QUOTE2323π解：∵在Rt△ABC中,∠A=45°,∴∠ABC=45°,∴AC=BC.∵斜边AB=2QUOTE22,∴BC=2.∴顶点C经过的路线长为QUOTE60π×218060π×2180=QUOTE2323π.2.三个半径为2cm的圆如图所示叠放在一起，用一根一定长的绳子绕三个圆刚好一圈，则绳的长为________cm.答案：12+4 3.如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D,则图中阴影部分的面积为.答案:1解：AB=AC,∴∠C=45°,∴AD=BD,∴两个弓形面积相等,∴阴影部分的面积就等于△ACD的面积,∴S△ACD=2×1÷2=1,即阴影部分的面积为1.4.如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.K](1)求点A经过的路线长是多少?(2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少?(计算结果不取近似值)解：(1)∵∠A=30°,∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=QUOTE33,∴∠ABA′=120°,∴QUOTEl

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AA'=QUOTE120×π×2180120×π×2180=QUOTE4343π,QUOTEl

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A'A″=QUOTE90×π×318090×π×3180=QUOTE3232∴点A经过的路线长为QUOTE4343π+QUOTE3232π=QUOTE8+3368+336(2)S扇形BAA′=QUOTE1212×QUOTE4π34π3×2=QUOTE4π34π3,S扇形C′A′A″=QUOTE1212×QUOTE3π23π2×QUOTE33=QUOTE3π43π4,S△A′BC′=QUOTE1212×1×QUOTE33=QUOTE3232,§X§K]∴点A经过的路线与l所围成的图形的面积是QUOTE4343π+QUOTE3434π+QUOTE3232=QUOTE25π1225π12+QUOTE3232.小结反思今天学习了什么？有什么收获？效果分析在本节课的教学中，教师提出要探究的问题时，学生在积极思考，探究活动取得较理想的效果，并且快速的掌握了弧长及扇形面积的计算公式。但是，学生计算水平比较薄弱，计算速度和准确率均不理想，有些学生计算马虎，还有些学生心算能力不足。这要求教师，要增加课堂巡视指导，纠正学生计算中的问题，有针对性的对他们加强计算训练。小组交流方面，学生比较积极，回答展示时也比较活跃，这是值得肯定的地方。但是，教师还需对学生进行学法指导，使他们更高效充实的学习。教材分析一、地位与作用本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书新人教版九年级上册新课标实验教材《第24章圆》中的“弧长和扇形的面积”第一课时。是学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”“正多边形和圆”的基础上进行的。本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备。二、教学目标与重点、难点知识与技能目标：理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形的面积。过程与方法目标：经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想，培养学生的探索能力。情感态度与价值观目标：通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系。重点：推导弧长及扇形面积计算公式的过程。难点：掌握弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题。三、课时安排与课型设置《弧长与扇形面积》安排两课时，本节课是第一课时，这两课时都适宜安排新授课。课后反思《弧长和扇形的面积》这一节，讲课的思路是圆周长公式——弧长公式——扇形面积公式，重点强调培养学生解决实际问题的能力。设计巩固练习与当堂检测题时注意了题目的区分度，题目由简渐难，还给予能力强的学生留有拓展提升题。三维目标展示直接明确，但课堂引入如果能创设情境，激发学习兴趣的效果会更好一些。本次课主要内容是弧长及扇形面积的计算。不仅强调学生会运用公式，而且要理解算法的意义。使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的活动经验，进而促进自身的主动发展。课堂的主体是学生，教师应该引导学生积极主动地进行学习。要让学生在学习过程中进行观察、猜测、推理、自主探索与合作交流等学习活动，课堂上要充满学生的讨论，要让大多数学生参与课堂活动，在动手动脑的活动过程中，理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想与方法。而教师是组织者，引导者。教师的组织、概括要力求有效，应该尽力营造宽松、和谐、民主的教学氛围，教师要站在学生的角度设计学习内容，步骤和方式，为学生的现场学习可能遇到的问题留下解决的空间，对学生实施有效的监控，要把握学生对知识的理解和掌握状况，适时引导学生更深层次的思考，并且对学生学习反思的习惯进行培养。在本节课中我基本体现了新课程理念。改变以往那种教师讲学生听、教师问学生答的传统的教学方法，让学生随时动手，把所有的学生都调动参与到活动中来，充分调动了学生的积极性，让学生通过小组讨论，合作探究、动手操作等方法让学生巩固了公式的形成过程，这完全符合新课程所倡导的“以学生为主体，教师为主导”的教学理念。本堂课的不足在于时间的分配上有待改进，由于在学生在探索弧长时我引导措施不力，导致时间过长，后面的教学环节比较吃紧，对学生在新知的应用上没有足够的时间。有待于在今后的教学中注意这方面的问题，以便进一步提高课堂教学效率。在巩固练习阶段，我首先让学生自主讨论交流，小组内统一答案解决问题，然后小组代表展示答案，口述解题思路，老师对共性问题进行讲解与点拨。不足是：自我感觉讲的很明白，但当让学生整理时，仍感觉部分后进生不能理解；对于九年级的学生来说，成绩较好学生的思维明显受到限制，不能最大限度的培养数学优生的数学思维。本节课的内容一般来说老师会把重点放在公式的理解和熟练运用上，对于九年级的学生来说这很重要，而且弧长公式和扇形面积公式的推导过程也比较容易理解。但是这样可能导致中等及以下学生因为某些概念、细节的不理解或者不懂，造成学习的障碍。我结合农村学生的实际，认真分析学生可能出现障碍的地方，逐步引导学生观察、比较，从基本的概念入手，处理好各个思维的转折点，在注重基础的同时发展学生能力，关注了全体学生的发展。另外我在设问的处理上避免了死板的教公式、记公式的老套，能激发学生思维，体了教师引导者的身份。学生在任务驱动引导下探索弧长计算公式和扇形面积计算公式，经历了公式的形成过程；从公式的得出到公式的变形，整个教学过程表明，坚持新课程的理念转换教师的角色，以引导者、参与者的形象介入到学生的学习之中，能有效的调动学习积极性，让学生全体参与到学习中来，让学生在过程中得到发展。学情分析九年级学生已经形成相对系统的数学思维，学生的抽象、概括、类比、推理、运算能力已相对成熟，数形结合、转化、辅助线等数学思想也已初步具备，这就为本节教学奠定了基础。在知识体系上，学生已经学习过圆的周长与面积的计算方法，而且学习了圆心角的相关知识，因此，对这节课的学习，学生已经具有了相应的知识准备。学生在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出弧长和扇形面积，体现的一般到特殊、整体与局部、类比等数学思想。通过这些知识，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。弧和扇形是小学就学过的图形，但小学并没有具体研究与弧和扇形有关的位置关系和数量关系，本节中开始具体研究与弧和扇形有关的位置关系和数量关系，只要求会计算圆的弧长、扇形的面积。学生喜欢自主探究与合作交流相结合的学习方式，能够在探究和交流中体验成功与分享的喜悦，教师要把握学生的认知和心理特征，采用启发式教学，成为教学活动中的引导者、组织者、合作者，让学生真正成为学习活动中的主体，进而提高学习效率。教法设计：启发思考、小组合作探究、激发兴趣的教学方法。学法指导：突出学生动手操作，主动去探索发现和合作探究，勇于探索，大胆发言。测评练习巩固练习如果一个扇形的弧长是QUOTE43π,半径是6,那么此扇形的圆心角为()AA.40°B.45°C.60°D.80°2.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π,则该圆的半径r等于()CA.7 B.8 C.9 D.103.圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为()BA. B. C. D.4.点A,B,C是半径为15cm的圆上三点,∠BAC=36°,则弧BC的长为______cm.答案：65.已知☉O的半径OA=5QUOTE33,扇形OAB的面积为15π,则QUOTEABAB所对的圆心角是()BA.120°B.72°C.36°D.60°§K]解:设QUOTEABAB所对的圆心角的度数为n°,则QUOTEnπ×(53)2360nπ×(536.如果扇形的圆心角为150°,扇形面积为240πcm2,那么扇形的弧长为()CA.5πcm B.10πcm C.20πcm D.40πcm解：.由QUOTE150360150360πr2=240π,解得r=24.又由S=QUOTE1212lr,得240π=QUOTE1212l×24,得l=20πcm.7.某花园内有一块五边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以五边形各顶点为圆心,1m长为半径的扇形区域内(阴影部分)种上花草,那么种上花草的扇形区域总面积是.答案:QUOTE3π23π2m2解：设五边形的五个内角分别为n1°,n2°,…,n5°,则n1+n2+…+n5=(5-2)×180=540,∴阴影部分面积为QUOTEn1π360n1π360+QUOTEn2π360n2π360+…+QUOTEn5π360n5π360=QUOTEπ(n1+n2+…+n5)360π(n1+n当堂检测1.如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=2QUOTE22,∠A=45°,把△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置,则顶点C经过的路线长为.答案:QUOTE2323π解：∵在Rt△ABC中,∠A=45°,∴∠ABC=45°,∴AC=BC.∵斜边AB=2QUOTE22,∴BC=2.∴顶点C经过的路线长为QUOTE60π×218060π×2180=QUOTE2323π.2.三个半径为2cm的圆如图所示叠放在一起，用一根一定长的绳子绕三个圆刚好一圈，则绳的长为________cm.答案：12+4 3.如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC于D,则图中阴影部分的面积为.答案:1解：AB=AC,∴∠C=45°,∴AD=BD,∴两个弓形面积相等,∴阴影部分的面积就等于△ACD的面积,∴S△ACD=2×1÷2=1,即阴影部分的面积为1.4.如图,把Rt△ACB的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动两次,使它转到△A″B′C′的位置.设BC=1,∠A=30°,则顶点A运动到点A″的位置时.K](1)求点A经过的路线长是多少?(2)点A所经过的路线与l所围成的图形的面积是多少?(计算结果不取近似值)解：(1)∵∠A=30°,∴∠ABC=∠A′BC′=60°,AB=2,AC=QUOTE33,∴∠ABA′=120°,∴QUOTEl

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