高考数学一轮复习-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件

第三节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、二元一次不等式(组)表示的平面区域1.在平面直角坐标系中，直线Ax＋By＋C＝0将平面内的所有点

分成三类：一类在直线Ax＋By＋C＝0上，另两类分居直线Ax

＋By＋C＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax＋

By＋C＞0，另一侧的半平面的点的坐标满足

.Ax＋By＋C＜02.二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直

线Ax＋By＋C＝0某一侧的

且不含边界，直线作图

时边界直线画成

，当我们在坐标系中画不等式Ax＋By

＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时

边界直线画成

.平面区域虚线实线3.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的

，因而是各个不等式所表示平面区域的

.

交集公共部分二、线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的

线性约束条件由x，y的

不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数

，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的

解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得

或

的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的

或

问题不等式(组)一次解析式一次(x，y)集合最大值最小值最大值最小值可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.1.不等式5x－3y－1＞0表示的平面区域在直线5x－3y－1＝0

的(

)A.左上方B.左下方

C.右上方

D.右下方解析：如图，在平面直角坐标系中，作出直线5x－3y－1＝0，如图，将原点(0,0)代入直线方程得5×0－3×0－1＜0，∴不等式5x－3y－1＞0表示的平面区域在直线5x－3y－1＝0的右下方.答案：D2.不等式x2－y2≥0所表示的平面区域(阴影部分)是(

)答案：C3.不等式组表示平面区域为(

)

A.四边形及其内部

B.等腰三角形及其内部

C.在第一象限内的一个无界区域

D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：画出不等式组表示的平面区域如图，易知2x－y＋1＝0与x－2y－1＝0关于y＝x对称，与x＋y＝1所成角相等，故不等式组表示的平面区域为等腰三角形及其内部.答案：B4.点P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的平面区域内且到直线x

－2y＋2＝0的距离等于，则点P的坐标为

.解析：∵3a＋4－3＞0⇒a＞－；或a＝11.答案：(1,4)或(11,4)5.若实数x、y满足则s＝x＋y的最大值为

.解析：可行域如图所示，作直线y＝－x，当平移直线y＝－x至点A处时，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.答案：9二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法(1)直线定界，特殊点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.若直线不过原点，特殊点常选取原点；若直线过原点，则特殊点常选取(1,0)或(0,1)来验证.(2)同号上，异号下即当B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)＜0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.

(1)分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分；(2)先由两点式分别求出直线AB、AC、BC的方程，然后写出不等式组.【解】(1)不等式x＜3表示x＝3左侧点的集合.不等式2y≥x表示x－2y＝0上及其左上方点的集合.不等式3x＋2y≥6表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合.不等式3y＜x＋9表示直线3y－x－9＝0右下方点的集合.综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示.(2)由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为1.(1)由不等式组所表示的平面区域的面积是(

)A.2

B.1C.D.4(2)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是(

)解析：(1)不等式组表示的平面区域为：图中阴影部分三角形面积为×1×2＝1.(2)由图可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过A(0，)，y＝kx＋将区域平均分成面积相等两部分，故过BC的中点D答案：(1)B

(2)A1.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：第

一步：在平面直角坐标系内作出可行域；第二步：利用平

移直线的方法在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：

将最优解代入目标函数求出最大值或最小值.2.线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或

边界上取得.3.求线性目标函数的最优解，要注意分析目标函数所表示的

几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系.已知实数x，y满足(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝，求z的最大值和最小值.

(1)中z表示直线在y轴上的截距.(2)中表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率.【解】不等式组表示的平面区域如图所示.

图中阴影部分即为可行域.由得由由∴∴M(2,3).(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，当直线y＝－2x＋z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大，此时zmax＝2×2＋3＝7.当直线y＝－2x＋z经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时zmin＝2×1＋2＝4.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)∵kOA＝2，kOB＝所以z的最大值为2，z的最小值为.2.(1)已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若z＝

x＋3y的最大值

为8，则k＝

.(2)不等式组所确定的平面区域记为D，若圆

O：x2＋y2＝r2上的所有点都在区域D内，则圆O的面积的最

大值是

.解析：(1)目标函数在点(2,2)处取得最大值，所以k＝－6.(2)画出可行域如图：⊙O的所有点在△ABC内，圆心O到直线BC的距离为⊙O半径最大值，答案：（1）-6（2）解决线性规划实际应用题的一般步骤(1)认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数.(2)作出可行域.(3)作出目标函数值为零时对应的直线l.(4)在可行域内平行移动直线l，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解.(5)求出最优解，从而得到目标函数的最值.【注意】解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以“验明正身”.另外对最优整数解问题，可使用“局部微调法”，此方法的优点是思路清晰，操作简单，便于掌握.用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件.设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解.

商店

每吨运费仓库甲乙丙A869B345解：已知数据列成下表

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)吨、(8－y)吨、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)吨，于是总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.

∴线性约束条件为目标函数为z＝x－2y＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示作出直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点(0,8)时，在可行域内z＝x－2y＋126取得最小值zmin＝0－2×8＋126＝110，则x＝0，y＝8时总运费最少.安排的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.3.某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300

分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告

收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个

电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分

别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视

台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万

元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0，平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.联立解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)，∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元).答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.从近