位移法和力矩分配法课件

6.1概述对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形之间存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以根据位移—变形—内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆件变形，据此以寻求内力分布。位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述。线弹性体系杆件的变形可以由杆端位移和其上作用的荷载分布惟一确定。由于荷载分布对内力和变形的影响比较容易确定，因此，关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响。体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位移表达，因而，当支座位移和结点位移确定后，体系中所有的杆件都将具有一个明确的杆端位移值。第6章位移法AllRightsReserved1ppt精选版对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量θA的值。

AllRightsReserved2ppt精选版从刚架中取出杆件AB进行分析AllRightsReserved3ppt精选版在位移法分析中，需要解决的三个问题：①选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。②确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（单元分析）。③建立求解这些基本未知量的位移法方程（整体分析）。AllRightsReserved4ppt精选版6.2等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，也就是位移法计算中单元分析的过程。6.2.1杆端内力及杆端位移的正负号规定1）杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。AllRightsReserved5ppt精选版2）杆端位移的正负号规定角位移以顺时针为正，反之为负。线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，ΔAB为正。AllRightsReserved6ppt精选版6.2.2一般等截面直杆杆单元的转角位移方程位移法中，内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位移的影响，为了描述上的方便，在计算中一般利用一个两端固定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该杆单元的支座位移来表达AllRightsReserved7ppt精选版由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用和表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用和表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表6.1中。由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，列入表6.1中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。AllRightsReserved8ppt精选版利用表6.1中的形常数与载常数，可得AllRightsReserved9ppt精选版6.2.3特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时，即体系出现了铰结点和定向结点（对应于支座位置，则为可动铰支座、固定铰支座或定向支座），在杆端力的几个分量中则会出现某杆端力分量为已知的现象。即在这样的单元中，式（6.1）的三个函数关系将不再完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已知，那么在杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移分量，而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述。AllRightsReserved10ppt精选版由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单元模型。AllRightsReserved11ppt精选版1)一端固定另一端铰支杆单元AllRightsReserved12ppt精选版2)一端固定另一端定向支承杆单元AllRightsReserved13ppt精选版在3种杆单元模型中，第一种即两端固定支承梁的模型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移，它完全可以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。AllRightsReserved14ppt精选版杆端剪力，根据平衡条件导出为AllRightsReserved15ppt精选版6.3位移法的基本概念

6.3.1位移法的基本未知量如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移都已求得，则全部杆件的内力即可确定。在位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移

AllRightsReserved16ppt精选版1)结点角位移的确定未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚结点，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座移动值，不应计入；铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，引入特殊杆端约束模式下杆单元模型（一端固定、一端铰支单元）后，其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量。AllRightsReserved17ppt精选版AllRightsReserved18ppt精选版2)结点线位移的确定确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定。即设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多可能具有两个线位移，然后筛选出其中的未知、独立分量。主要考虑以下的筛选原则：①因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于支座移动）的不计入未知量；②因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则只计其中一个；③定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计入独立的线位移内。AllRightsReserved19ppt精选版AllRightsReserved20ppt精选版6.3.2位移法的基本结构和基本体系

为了在分析过程有效控制结构中每一结点位移，通过在体系中增设附加约束来控制结点位移的发生。

增设了附加约束的结构模型，即为位移法计算中的基本结构。附加约束：角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支杆。附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能控制其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能控制其线位移大小的附加支座链杆。AllRightsReserved21ppt精选版a)原结构及其基本未知量b)基本结构AllRightsReserved22ppt精选版通过控制基本结构上的附加约束，令其发生与原结构相同的结点位移，从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下的，与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位移法计算中的基本体系，基本体系与原结构完全静力等效。6.3.3位移法的基本方程与基本原理基本体系的变形与原结构完全一致，其受力也完全相同。AllRightsReserved23ppt精选版1)只有一个结点角位移的情况图示(a)结构，具有一个独立的未知结点角位移，不存在结点线位移。根据基本结构的概念，在角位移处增设刚臂，得基本结构

a)原结构c)基本体系b)基本结构荷载作用下，原结构变形图如图(a)所示，则其基本体系应如图(c)所示。当刚臂转角与原结构A点转角相同时，图(a)与图(c)变形、内力均完全相同。AllRightsReserved24ppt精选版根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移Z1分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加由于基本体系与原结构完全静力等效，基本体系中角位移位置处的附加刚臂不可能存在外力，必然有AllRightsReserved25ppt精选版形常数，将Z1角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示从而得到这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件AllRightsReserved26ppt精选版AllRightsReserved27ppt精选版MP图图M图结构的最后弯矩可由叠加公式计算AllRightsReserved28ppt精选版图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应的基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。位移法方程

AllRightsReserved29ppt精选版AllRightsReserved30ppt精选版将k11和F1P的值代入位移法方程式，解得AllRightsReserved31ppt精选版6.4位移法的典型方程

(a)原结构(b)基本结构(c)基本体系基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支杆的反力F2都应等于零即F1=0和F2=0

AllRightsReserved32ppt精选版设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及F1P，引起相应于Z2的附加支座链杆的反力分别为F21、F22及F2P。根据叠加原理，可得AllRightsReserved33ppt精选版又设单位位移Z1=1及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为k11及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别为k12及k22，则有将式（b）代入式（a），得(a)(b)上式称为位移法典型方程AllRightsReserved34ppt精选版其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原结构的静力平衡条件。位移法典型方程

AllRightsReserved35ppt精选版联立解以上两个方程求出Z1和Z2后，即可按叠加原理作出弯矩图

AllRightsReserved36ppt精选版对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入n个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样可建立n个方程如下：上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称为主系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；FiP称为自由项。AllRightsReserved37ppt精选版系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主反力kii的方向总是与所设位移Zi的方向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，kij=kji。AllRightsReserved38ppt精选版②选择基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。③建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。④求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得。⑤解方程，求基本未知量（Zi）。6.5.1典型方程法的计算步骤6.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力①确定基本未知量数目：n=ny+nl。AllRightsReserved39ppt精选版⑥作最后内力图。按照叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。⑦校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。AllRightsReserved40ppt精选版6.5.2举例【例6.1】试用典型方程法计算图所示连续梁，并作弯矩图，各杆EI为常数。【解】(1)确定基本未知量数目该连续梁的基本未知量为结点B的转角Z1，即n=1。AllRightsReserved41ppt精选版(2)确定基本体系。基本体系如图所示。由于超静定结构在荷载作用下的内力分布与杆件的相对刚度相关，因此，分析时可令i=1，根据杆件的相对刚度进行计算，如图所示。但需要注意，在相对刚度设定后，计算得到的未知量将不再直接对应于结点的真实位移数值，而是一个与所设定的相对刚度对应的数值。(3)建立典型方程AllRightsReserved42ppt精选版(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得AllRightsReserved43ppt精选版(6)作最后弯矩图M图（kN·m）在本例的求解中，BC杆采用了一端固定一端铰支的单元，减少了位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结果。AllRightsReserved44ppt精选版【例6.2】试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。【解】(1)确定基本未知量数目在本例分析中基本未知量将确定为所有的未知结点位移，而非未知独立结点位移，因此，该连续梁的基本未知量为体系中所有可能发生的结点位移，即结点B的转角Z1和结点C的转角Z2。因此，n=2(2)确定基本体系基本体系如图所示。AllRightsReserved45ppt精选版(3)建立典型方程根据结点B和结点C附加刚臂上反力偶均为零的平衡条件，有(4)求系数和自由项AllRightsReserved46ppt精选版(5)解方程，求基本未知量Z1和Z2将以上各系数及自由项之值代入典型方程，解得(6)作最后弯矩图AllRightsReserved47ppt精选版【例6.3】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设EI=常数。解：(1)确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有结点A的转角Z1。AllRightsReserved48ppt精选版(2)选择基本体系c)基本体系d)M1图e)MP图(kN·m)(3)建立典型方程(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量AllRightsReserved49ppt精选版(6)作最后弯矩图AllRightsReserved50ppt精选版【例6.4】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，EI为常数。【解】(1)确定基本未知量数目此刚架的基本未知量为结点B和C的角位移Z1和Z2，即n=2。(2)确定基本体系，如图所示。AllRightsReserved51ppt精选版(3)建立典型方程根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下：(4)求系数和自由项k11

=

4.8＋4＋8

=

16.8

k21

=

4k12

=

4

k22

=8+4

=

12

F1P=50－60=－10kN·m

F2P

=

60kN·m

AllRightsReserved52ppt精选版(5)解方程，求基本未知量将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得Z1

=

1.94，Z2

=－5.65(6)作最后弯矩图AllRightsReserved53ppt精选版【例6.5】试用典型方程法计算图示等高排架。

解：(1)确定基本未知量数目b)基本体系a)原结构只有一个独立的结点线位移未知量，即A、C、E的水平位移Z1。(2)确定基本体系，如图b所示

(3)建立典型方程AllRightsReserved54ppt精选版(4)求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量Z1(6)按叠加原理即可作出弯矩图。

AllRightsReserved55ppt精选版令式中，ri为当排架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，称为排架柱的侧移刚度系数。于是，各柱顶的剪力为AllRightsReserved56ppt精选版再令称为第i根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为（i=1，2，3）以上分析表明，当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首先求出各柱的剪力分配系数；然后由算出各柱顶剪力FQi；最后把每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必建立典型方程而直接得到解答。这一方法称为剪力分配法.AllRightsReserved57ppt精选版6.6直接利用平衡条件建立位移法方程在位移法典型方程法中，通过增设附加约束、借助基本结构这一计算工具，利用基本体系表达出原结构变形模式，从而建立的位移法方程，实质上就是反映原结构的平衡条件，即有结点角位移处，是结点的力矩平衡条件；有结点线位移处，是截面的投影平衡条件。因此，根据位移法的基本原理，也可以不通过基本结构，而借助于杆件的转角位移方程，利用结点位移与杆端位移之间的协调关系，根据先“拆散”、后“组装”结构的思路，直接由原结构的结点和截面平衡条件来建立位移法方程，这就是直接平衡法。AllRightsReserved58ppt精选版【例6.9】试用直接平衡法计算图所示刚架，并作弯矩图。已知EI=常量

【解】(1)确定基本未知量，并绘出示意图(a)基本未知量(b)结点位移处的平衡条件AllRightsReserved59ppt精选版(2)“拆散”，利用结点位移表示出各对应杆件的杆端位移，进行杆件分析，即根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力：①对于左柱BA（视为两端固定梁）AllRightsReserved60ppt精选版②对于横梁BC（视为B端固定，C端铰支）③对于右柱CD（视为D端固定，C端铰支）AllRightsReserved61ppt精选版(3)“组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程①②取横梁BC为隔离体，由截面平件(a)(b)以上式（a）和式（b）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与6.4节中用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全相同。也就是说，两种本质上相同的解法在此殊途同归。AllRightsReserved62ppt精选版(4)联立求解方程（a）和（b），求基本未知量：(5)计算杆端内力

将Z1和Z2代回第（2）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得(6)作最后弯矩图d)M图(×ql2/184)AllRightsReserved63ppt精选版力矩分配法的基本概念转动刚度结构或体系抵抗转动变形的能力，即为转动刚度.对于杆件来说，令某一杆端截面发生单位转角（另一杆端位移在特定约束模式下），此时在该杆端需施加的杆端力矩，称为杆端转动刚度。杆端转动刚度的大小主要取决于两个方面的因素：一是与杆件自身的线刚度，即与截面抗弯刚度和杆件长度相关；二是与杆件的杆端约束模式相关。AllRightsReserved64ppt精选版若多根杆件汇交于某一结点（通常为刚性结点），令该结点发生单位转角时，需要在该结点施加的结点力矩，称为结点转动刚度。根据位移法中结点位移与杆端位移之间的协调关系可知，结点的转动刚度与杆端转动刚度之间有以下关系：AllRightsReserved65ppt精选版分配系数根据结点转动刚度的定义，有可求出结点转角大小为AllRightsReserved66ppt精选版由于杆端位移与结点位移相等，故各杆端转角大小也为Z1，根据各杆端的转动刚度的定义，有

作用在结点上的一个外力矩MA，根据变形协调条件和平衡条件，所引起各杆杆端弯矩的大小，是按各杆杆端转动刚度占结点转动刚度的比例来进行分配的。

AllRightsReserved67ppt精选版若定义结点A所联结的各杆端Aj（j分别表示B、C、D等）的分配系数为则或AllRightsReserved68ppt精选版传递系数分配系数能够表示出结点角位移发生处（包括结点和对应的杆端截面）的平衡条件和变形协调条件，但杆件自身的平衡和协调条件尚未得到表达。为了表示结点角位移对杆件除杆端截面外其它截面内力和变形的影响，现引入传递系数概念。杆件远端（以角位移发生处的杆端为近端时）弯矩与近端弯矩（即分配弯矩）之间的关系可表示为AllRightsReserved69ppt精选版对于远端为无杆端位移发生时，即对应于固定支承对于远端为铰支对于远端为定向支承AllRightsReserved70ppt精选版单结点结构的力矩分配【例】如图所示为只具有一个未知独立角位移的结构，试用力矩分配法计算内力并绘弯矩图。解】(1)计算准备由于结构中仅有一个未知独立结点角位移，因此，在以该位移对结构结点转动刚度和杆端转动刚度的进行描述时，所有杆件的远端约束都如图7.1所示一样，是确定的。根据转动刚度的定义，结点A对应各杆端转动刚度为，，结点A转动刚度AllRightsReserved71ppt精选版(2)分配过程分配系数保证了结点的平衡，再由传递系数保证杆件的平衡条件成立.

AllRightsReserved72ppt精选版(3)根据分配弯矩和传递弯矩即可绘出各杆的弯矩图。上例分析过程中只有结点集中力偶矩作用，若在体系中出现了非结点荷载（即单元荷载），由于分配系数只能分配结点外力矩，因此必须对结构计算模型进行相应处理，才能保证力矩分配法的适用。AllRightsReserved73ppt精选版设若在上例中出现了非结点荷载，在计算中可以仿照位移法的计算思路进行处理：(a)原结构(b)荷载和约束力矩MA共同(c)待分配弯矩－MA作用下作用下体系的受力简图体系的受力简图AllRightsReserved74ppt精选版

①在原结构中增设刚臂，并限制该刚臂的位移为零，则可得到一个与位移法计算中MP图相同的受力模型，此体系的受力和变形与原结构之间的差别在于刚臂内存在一个约束力矩（或称之为不平衡力矩）MA，该约束力矩的存在限制着结构结点位移的发生。根据结点的平衡条件和杆端弯矩以顺时针转向为正的规定，可以得到计算约束力矩大小（其方向以顺时针转向为正）的算式，为AllRightsReserved75ppt精选版②既然图

(a)和图

(b)之间存在一个MA的差别，可以在图

(b)的基础上令结构再承受一个结点外力矩－MA的作用，从而能够消去附加约束对结构的影响。即在图

(b)的受力模型上叠加图

(c)的受力模型后，就可以完全与原结构的受力等效。AllRightsReserved76ppt精选版③图

(b)所示计算模型，其各杆的杆端弯矩可根据表6.1和6.2的载常数直接确定；而图

(c)所示计算，与仅承受结点外力偶矩的单结点结构完全一致，可用力矩分配法的原理对其进行计算。其中，－MA（在数值上等于反向施加的约束力矩）在力矩分配法中，称为待分配力矩。④将图(b)所示各杆端弯矩对应叠加，即得图

(a)所示原结构的最后杆端弯矩，并可据此作出弯矩图。AllRightsReserved77ppt精选版【例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。EI为常数。【解】(1)计算准备①计算转动刚度BA杆转动刚度：

BC杆转动刚度：结点B转动刚度：②计算分配系数对结点B计算：，AllRightsReserved78ppt精选版④计算不平衡力矩（或直接计算待分配弯矩，二者只相差一个负号） 不平衡力矩为或待分配力矩为AllRightsReserved79ppt精选版

(2)进行分配计算将不平衡力矩反号并进行分配和传递的过程一般采用简洁的图表形式进行，如图所示。AllRightsReserved80ppt精选版(3)绘制弯矩图图中最终杆端弯矩M总，等于各杆端的固端弯矩MF与分配弯矩Mm（或传递弯矩MC）的叠加。根据其绘制弯矩图:AllRightsReserved81ppt精选版【例7.3】试用力矩分配法计算并作图中所示刚架的弯矩图。EI为常数。【解】(1)计算模型简化将图示刚架的静定杆段BC和DF先行截去，并将杆上的荷载等效地化到结点C和D上

AllRightsReserved82ppt精选版(2)计算准备①计算转动刚度CA杆转动刚度：CD杆转动刚度：结点C转动刚度：②计算分配系数对结点C计算：

③计算固端弯矩④计算不平衡力矩AllRightsReserved83ppt精选版(3)进行分配计算AllRightsReserved84ppt精选版(4)计算最终杆端弯