2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知复数，则的共轭复数的虚部为()

A.B.C.D.

2.在平面直角坐标系中，若角以轴的非负半轴为始边，且终边过点，则的值为()

A.B.C.D.

3.设是一条直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是()

A.若，，则B.若，，则

C.若，，则D.若，，则

4.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为()

A.B.C.D.

5.已知等比数列的前项积为，若，则()

A.B.C.D.

6.如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过，，三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为()

A.

B.

C.

D.

7.在中，是边的中点，且对于边上任意一点，恒有，则一定是()

A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

8.十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点在费马问题中所求的点称为费马点，已知在中，已知，，，且点在线段上，且满足，若点为的费马点，则()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列说法正确的是()

A.若，，则

B.

C.若，则

D.

10.下列说法正确的是()

A.若，的最小正周期为，则

B.在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的充要条件

C.三个不全相等的实数，，依次成等差数列，则，，可能成等差数列

D.的斜二测直观图是边长为的正三角形，则的面积为

11.几何原本是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥如图，，是直角圆锥底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是()

A.存在某条直径，使得

B.若，则三棱锥体积的最大值为

C.对于任意直径，直线与直线互为异面直线

D.若，则异面直线与所成角的余弦值是

12.已知数列中各项都小于，，记数列的前项和为，则以下结论正确的是()

A.任意与正整数，使得

B.存在与正整数，使得

C.任意非零实数与正整数，都有

D.若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.杭州第届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为和的两个同心圆上的弧长度单位为，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______．

14.已知等差数列，，，则______．

15.如图，在直三棱柱中，，，，动点在内包括边界上，且始终满足，则动点的轨迹长度是______．

16.已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

定义一种运算：．

已知为复数，且，求；

已知，为实数，也是实数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间．

18.本小题分

今年月，象山将承办第届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬度最美海岸线”其中亚帆中心所在地松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数来刻画其中正整数表示月份且，例如时表示月份，和是正整数，统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；

从事旅游服务工作的人数最多的月份和最少的月份相差约人；

月份从事旅游服务工作的人数约为人，随后逐月递增直到月份达到最多．

试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由．

19.本小题分

已知数列的前项和为，且．

求的通项公式；

记，数列的前项和为，求．

20.本小题分

在中，内角，都是锐角．

若，，求周长的取值范围；

若，求证：．

21.本小题分

已知边长为的菱形，，把沿着翻折至的位置，构成三棱锥，且，，．

证明：；

求二面角的大小；

求与平面所成角的正弦值．

22.本小题分

已知数列中，，当时，其前项和满足：，且，数列满足：对任意有．

求证：数列是等差数列；

求数列的通项公式；

设是数列的前项和，求证：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

则，其虚部为．

故选：．

根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．

本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：由三角函数定义有，

所以．

故选：．

由三角函数定义及诱导公式直接可得．

本题考查三角函数定义及诱导公式，属基础题．

3.【答案】

【解析】解：若，，则或与相交，故A错误；

若，，则或或与相交，故B错误；

若，，则，故C正确；

若，，则或，故D错误．

故选：．

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系逐一分析四个选项得答案．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

4.【答案】

【解析】解：因为四面体四个面都为直角三角形，

平面，，所以，，，，

设四面体内切球的球心为，半径为，

则，

所以，因为四面体的表面积为，

又因为四面体的体积，

所以，所以内切球表面积．

故选：．

利用体积相等，找到球的半径即可．

本题考查内切球问题，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：因为等比数列的前项积为，

若，

故，，；

所以，所以，；

所以，．

故选：．

直接利用等比数列的性质判断、、、的结论．

本题考查的知识要点：等比数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：如图，取的中点，连接，，又是的中点，

，且，

又，且，

，且，

过，，三点的平面截该三棱柱的截面为梯形，

所求体积为：

．

故选：．

取的中点，连接，，则易得过，，三点的平面截该三棱柱的截面为梯形，从而可得所求体积为：，再根据柱体的体积公式及台体的体积公式，计算即可得解．

本题考查几何体的体积的求解，化归转化思想，属中档题．

7.【答案】

【解析】解：以所在直线为轴，以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设，

则，，，，，

所以，，，，

因为恒有，则

整理得恒成立，

故，即，此时，

所以，

所以为直角三角形．

故选：．

根据题意建立合适的直角坐标系，结合向量数量积的坐标表示可得关于的二次不等式，结合二次函数的性质可求．

本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示在三角形形状判断中的应用，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：因为，，，

所以由余弦定理可得，

由正弦定理可得，即，

又为锐角，

所以，

设，则，

即，

解得，即，

所以，

则，

又，

则为锐角，

所以的三个内角均小于，

则为三角形的正等角中心，

所以

，

所以，

所以

．

故选：．

由余弦定理可得，再由正弦定理可得，进而求得，设，由余弦定理可得，进而求出的面积，根据定义可得为三角形的正等角中心，再由等面积法可得，再由平面向量的数量积公式得解．

本题考查正余弦定理的运用，考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于，当时，满足，，不能得出，选项A错误；

对于，，当且仅当与共线时取“”，所以选项B正确；

对于，时，，即，选项C正确；

对于，是数乘向量，与共线的向量，也是数乘向量，与共线的向量，所以等式不成立，选项D错误．

故选：．

根据平面向量的基本概念，对选项中的命题真假性判断即可．

本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于，，其中，

若的最小正周期为，则，选项A正确；

对于，中，得出，充分性成立，也能得出，必要性成立，是充要条件，选项B正确；

对于，若，，成等差数列，则，所以，所以，即，所以选项C错误；

对于，的斜二测直观图是边长为的正三角形，则的面积为，选项D正确．

故选：．

根据题意，分别对选项中的命题真假性判断即可．

本题考查了命题真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．

11.【答案】

【解析】解：对选项，在底面的射影为，而与夹角始终为锐角，

与不垂直，根据三垂线定理可知与不垂直，选项错误；

对选项，若，则三棱锥的高为，

当时，三角形的面积取得最大值为，

此时三棱锥体积取得最大值为，选项正确；

对选项，，是直角圆锥底面圆的两条不同的直径，

根据异面直线的判定定理可知：

对于任意直径，直线与直线互为异面直线，选项正确；

对选项，若，则，设圆锥的底面圆半径为，

，又易知，，

，

异面直线与所成角的余弦值是，选项正确．

故选：．

对选项，根据三垂线定理，即可判断；

对选项，当时，三角形的面积取得最大值，从而得此时三棱锥体积取得最大值，再计算即可求解与判断；

对选项，根据异面直线的判定定理，即可判断；

对选项，根据向量法，向量夹角公式，即可求解与判断．

本题考查线线垂直的判断，三棱锥的体积的最值的求解，异面直线的判定定理，向量法求解异面直线所成角，三垂线定理的应用，化归转化思想，属中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于选项A：因为，

所以，

整理得，

所以，故选项A正确；

对于选项B：不妨设，

因为，

可得，

而，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以对于任意正整数，都有，故选项B错误；

对于选项C：由可知所有同号，

当时，对于任意正整数，都有；

当时，，，

所以，

又函数在上单调递减，

所以对于任意正整数，都有；

当时，，

所以，

又函数在上单调递减，

所以对于任意正整数，都有，故选项C正确；

对于选项D：因为对于任意正整数，都有，

当时，，

所以，

因为当时，，

又，

解得，

所以，

则，故选项D正确；

故选：．

由题意，根据递推公式得到，进而即可判断选项A；令，得到，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数，都有，从而判断选项B；对，，这三种情况进行分析，即可判断选项C；结合选项A和选项C即可判断选项D．

本题考查数列的递推式，考查了逻辑推理和运算能力．

13.【答案】

【解析】解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，

设该圆锥的底面半径为，所以，可得，

因此该圆锥的高为，

故侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形的圆锥的

高为，

因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，

则该几何体的高为．

故答案为：．

扇子是由圆台侧面展开所得，根据圆台是由大圆锥用平行于底面的平面截去一个小圆锥，即可求圆台的高．

本题主要考查旋转体，圆锥的结构特征，考查运算求解能力，属于中档题．

14.【答案】

【解析】解：等差数列，，，

所以公差，

则．

故答案为：．

由已知先求出等差数列的公差，然后结合和差角公式进行化简即可求解．

本题主要考查了等差数列的性质，还考查了和差角公式的应用，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：在直三棱柱中，，，，建立如图所示的坐标系，

由题意可知，，，，设，

则，，，

可得：，即．

直线的方程：，，可得，，

所以，

动点的轨迹为线段，长度为：．

故答案为：．

建立空间直角坐标系，求解的轨迹，然后求解动点的轨迹长度．

本题考查轨迹方程的求法，空间向量的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

16.【答案】

【解析】解：设，，，

，，

向量满足，

在线段上，

设，则，

则，，

，

在中，由余弦定理有：

，

，当且仅当时等号成立，

，，，

，

，即，

．

故答案为：．

设，，，由共线向量定理可知在线段上，据投影的计算方法，结合三角恒等变换可推出，再利用等面积法将问题转化为的最小值，再结合余弦定理和基本不等式即可求得．

本题考查平面向量的投影和数量积，还考查了解三角形的相关知识，属于中档题．

17.【答案】解：设，由题意可得，

，故，，

所以；

由题意可得，

原式是实数，

所以，

即

，

所以当时，

单调递减，此时函数单调递增，

解得，，

即单调增区间为．

【解析】根据新概念，将两个式子整理出来，结合复数运算及三角恒等变换，即可求解．

本题主要考查复数的运算和三角函数的性质，属基础题．

18.【答案】解：根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为．

由此可得，，得；

由规律可知，，

，

由，得；

又当时，，

解得．

综上可得，符合条件．

由条件，，

可得，则，，

，．

，，当时，，

故，，，即一年中的，，三个月是该地区的旅游“旺季”．

【解析】根据三条规律，知该函数为周期为的周期函数，进而求得，利用规律可求得函数的最大值和最小值，则可求得三角函数解析式中的振幅；同时根据的值求得，则函数的解析式可得．

利用余弦函数的性质根据题意求得的范围，进而求得的范围，根据，，进一步求解的值．

本题考查在实际问题中建立三角函数模型的问题．解题的技巧是从问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型，是中档题．

19.【答案】解：由，

可得时，，

当时，，

化简可得，

所以；

，

可得．

【解析】由数列的通项与前项和的关系，计算可得所求通项公式；

求得，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．

本题考查数列的通项与前项和的关系，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

20.【答案】解：由正弦定理有：，

，，

，

内角，都是锐角，

，，

，

周长的取值范围为；

，

由正弦定理得：，

由余弦定理：，

，为锐角，

，都是锐角，

，，

，

，

．

【解析】由正弦定理可得，，，由内角，都是锐角可得的取值范围，再由三角函数的性质即可求；

由正、余弦定理和条件式得为锐角，从而，再由诱导公式和平方关系即可证明．

本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角恒等变换等知