初中数学-《巧添辅助圆》教学设计学情分析教材分析课后反思

《巧添辅助圆》教学设计教学目标利用所学的知识探究辅助圆模型，并在探究中，培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。能够利用探究出的数学模型解决几何问题，进一步体会数学建模思想，化归思想和数形结合思想，养成良好的数学学习习惯。教学重难点重点：探究辅助圆的基本模型。难点：借助辅助圆解决几何问题。教学准备学案，PPT课件，投影设备四、教学过程开门见山直接引入师：圆，是最美的几何图形！因为有了圆形图案，万物才显得更有生机，在我们解决许多几何问题的时候，巧妙的添加辅助圆，会使我们解决问题的思路变得比较简单。例题指引自主探究本环节采用教师启发引导，学生自主探究的方式进行。借助对三个例题的探究，由浅入深，步步引导，逐步析出辅助圆的三个模型，并紧跟跟踪练习，及时巩固新知。类型一：借助到某一定点的距离相等添加辅助圆。例1．如图：在四边形ABCD，∠ABC＝80°，AB＝BC＝BD，求∠ADC度数。教师引导学生运用之前学过的知识思考证明方法（四边形的内角和），然后引导学生利用关键条件（AB＝BC＝BD）做出辅助圆，利用圆的知识解答。回顾思考：我们利用的题目中的哪个关键条件添加的辅助圆呢？学生自主总结：借助到某一定点的距离相等，添加辅助圆。接下来，引导学生运用例1中的方法，在跟踪训练一中尝试着添加一个辅助圆，并思考解题思路。跟踪训练一已知：在四边形OABC中，OA＝OB＝OC，且∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC。此题中直接将已知的圆心角的两倍关系（∠AOB＝2∠BOC），转化到了其所对应的圆周角的两倍关系（∠ACB＝2∠BAC），引导学生找出解题思路，并鼓励学生上台讲解。最后，再次回顾题目，体会添加辅助圆之后，角的转化变得简单明晰。设计意图：此例中的辅助圆构造模型，是最为简单且明显的一类模型。因此，在课上，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，采用自主探究的方式，引导学生自主总结模型特点，并给予学生充分展示自我的机会。使学生在探究中经历知识形成发展的过程，初步建立辅助圆的概念，了解辅助圆构造的优点和必要性，体会在圆中解决数学问题的便捷。类型二：借助具有公共斜边的直角三角形添加辅助圆。例2．如图，四边形ABCD中，∠ACD＝25°，∠ACB＝∠ADB＝90〫，求∠ABD的度数。此例题是学生学习三角形相似时的重点题型，因此，带领学生回顾之前的解题方法，需要证明两组相似，体会证明过程的繁琐，进而提出问题：能否利用添加辅助圆的方法，简化解题步骤呢？如何添加？这时，教师引导学生观察，图中有没有具有特殊位置的三角形呢？学生不难发现，图中有两个具有公共斜边的直角三角形。由直角三角形的斜边又可以联想到什么性质呢？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。顺势做出公共斜边AB的中线。这样，就回归到模型一中添加辅助圆的方法了。请学生思考后，说出添加方法和证明思路。利用同弧所对的圆周角相等直接得出等于已知的25〫的角。进一步引导学生体会，借助辅助圆，使角的转化变得非常简单清晰，避免了之前证明两组相似的过程，优化解题步骤。回顾思考：我们是借助图中具有怎样特殊位置的直角三角形？怎样添加的辅助圆呢？学生自主总结：借助具有公共斜边的直角三角形。以其斜边的中点为圆心，以斜边为半径画圆，则两个直角顶点也在圆上。跟踪训练二如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求∠DFE。由例2中的方法可知，需构造具有公共斜边的直角三角形。引导学生自主思考，如何构造？从哪个三角形入手？学生不难想到，由让我们求的∠DFE所在的RT∆DFE入手，连接DB，以DF为直径画辅助圆。接下来，学生观察思考后，便可想到∠DFE＝∠DBE＝45°（同弧所对的圆周角相等）。设计意图：此例中构造辅助圆的方法比较隐蔽，因此，需要教师设置问题链，采用启发引导的方式，步步引导学生发现数学模型，并灵活的总结运用到跟踪练习中。练习的设置，有意引导学生不仅要能发现模型，更要有自主构建，灵活运用模型的意识。有利于发展学生的数学思维，进一步提高学生的解题能力。类型三：对角互补的四边形四顶点共圆。例3.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180〫，BC>BA，BD平分∠ABC，求证：AD＝CD。此例题是学生前一天的作业题，学生已有了较为深刻的认识。先请学生分享作业中的解题方法，此题的解法很多，但都需要构造全等，证明过程比较复杂。引导学生由题目中四边形的对角互补的特点入手，尝试构造辅助圆，简化证明过程。学生不难联系到，之前证明过的结论：对角互补的四边形，四个顶点共圆。由此，便可过其中的三个顶点画圆，则另外一个顶点也在圆上。接下来，请学生思考后，尝试说出证明方法：因为∠DBA＝∠DBC，所以AD＝DC（圆周角相等，其所对的弦也相等。）回顾思考：我们利用题目中的什么特征添加的辅助圆呢？学生自主总结：当题目中出现对角互补的四边形时，可过其任意三个顶点画圆，则另外一个直角顶点，也在圆上。跟踪训练三如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，求tan∠DMN的值。此题引导学生在学案中，利用尺规作出辅助圆，并写出必要的解答过程。然后小组内交流分享，学生上台投影展示。解：过A、M、N三点做辅助圆，∴D点在圆上，连接AD，则∠DMN=∠DAN，∵D为BC中点，∴AD=DC，∴∠DAN=∠C，∴tan∠DAN=tan∠C=设计意图：此例题的设计，意在从学生已掌握的解题方法入手，带领学生尝试构造辅助圆，以达到简化解题步骤的目的。引导学生利用对角互补的四边形四点共圆的性质，做出辅助圆，并在跟踪训练中进一步复习巩固，过不在同一条直线的三点画圆的方法步骤。再次引导学生体会借助辅助圆解题的便捷。（三）举一反三学以致用本环节针对三种做辅助圆的方法设计了三个练习题，以学生自主思考，小组合作交流，投影展示分享的方式分别进行。如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的长。如图，直线y＝-x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，求点M运动路径的长。如图，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠B+∠C＝180°,∠B<90°，DE⊥AB，FE＝BE，求证:AB＝AC+2BE。设计意图：本环节是对本节知识的巩固、总结、提高。借助三个不同类型的题目，再次加强学生对三个模型的灵活运用能力。本环节以学生自主探究为主，鼓励学生分享自己的解题思路，不仅注重学生数学素养的提升，更在交流分享中提高了语言组织能力和逻辑思维能力，培养了学生的自信心和数学学习兴趣。（四）课堂小结布置作业师：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？鼓励学生交流分享。引导学生总结本节课的收获，在学生总结的基础上进行总结升华。作业：辅助圆专项练习题。（3个必做题，1个选做题）设计意图：作业采用分层个性化布置的方式，学生可根据自己的知识水平和掌握情况自主选择作业内容。充分体现以学生为主体，面向全体学生的教学原则。板书设计《巧添辅助圆》学情分析本节课的授课对象是九年级学生，学生的抽象思维趋于成熟，且具有一定的独立思考，合作交流，逻辑推理，归纳总结的能力。学生已经学习了圆的基本知识，掌握了圆的相关性质。有了一定的几何学习基础，形成了一些基本的解题策略。在平时的解题过程中，遇到过添加辅助圆的情况，对辅助圆有初步的认识，但缺乏系统的总结归纳。本节内容采用例题引导，步步启发的授课形式，带领学生对添加辅助圆的基本类型进行归纳总结。在之前的解题过程中，学生虽然接触过辅助圆，但没有形成利用辅助圆解决问题的知识系统。在教学时需要着重建立辅助圆与学生已往知识的联系，例如，从圆的定义，直角三角形的性质等入手，逐步引导观察思考，归纳总结出添加辅助圆的三种基本模型。使学生体会知识形成发展的全过程，让学生不仅知其然，更知其所以然。本节授课班级的数学基础较好，数学学习兴趣浓厚，所以在教学的设计上，教师给予学生充分展示自我的机会。利用投影展示的方式，鼓励学生走上讲台，分享解题思路。把课堂交给学生，充分体现以学生为主体，教师为主导的教学指导思想。有助于培养学生的自信心和数学学习兴趣。学生在讲解的过程中，语言组织能力，逻辑推理能力以及几何思维能力都得到了不同程度的提高。使学生真正成为课堂的主人，更有利于教学目标的达成和教学重难点的突破。《巧添辅助圆》效果分析本节课采用例题引导的方式，借助三个典型例题，引导学生探究三种添加辅助圆的模型，并紧跟练习巩固。跟踪训练一已知：四边形OABC中，OA＝OB＝OC，且∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC。跟踪训练二如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求∠DFE。跟踪训练三如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，求tan∠DMN的值。跟踪训练一学生能够比较迅速地找到解题思路，而跟踪训练二需要学生添加辅助线，自主构建模型，部分学生略显吃力，因此此题需要教师适时引导。跟踪训练三，部分学生对利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法掌握不牢固，作图时间较长。举一反三，学以致用1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的长。2.如图过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，求点M运动路径的长.3.如图，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠B+∠C＝180°,∠B<90°，DE⊥AB，FE＝BE，求证:AB＝AC+2BE。在反馈练习环节，本节设置了三个针对不同模型的练习题。题目的设置由浅入深，对课堂知识进行巩固，夯实，再提高。通过课堂效果来看，大部分学生能够比较迅速的构造辅助圆，找出解题思路。《巧添辅助圆》教材分析教材的地位与作用《圆》是鲁教版数学义务教科书，九年级下册第五章的内容。是在学生学习了直线型图形的有关性质和证明的基础上，来探索一种特殊的曲线型图形。本章内容意在引导学生通过动手体验，推理证明，实验探究等方法，掌握圆的定义，理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念，掌握圆周角定理、垂径定理等相关性质定理。本节课是在学生学习完第五章圆的相关知识后进行的，是对圆的知识的复习总结，并进一步将圆升华为一种解题工具，在许多几何问题中，巧妙地添加辅助圆，会使解题的思路变得较为简单。本节内容将辅助圆的优点和基本类型进行了归纳总结，使学生充分体会利用辅助圆探究几何问题时，因为有了“弧”这条“纽带”，我们能很容易的找出角之间的关系，并且能通过“弧”把角和线段得到关联，为学生接下来解决几何问题，提供了新的思路和方法。教材内容分析圆是初中数学中非常重要的组成部分，也是初中数学教学的一个难点。在许多几何问题中，看似没有圆，却需要依靠圆的相关知识来解题，这就需要我们做出“辅助圆”。本节内容，通过例题指引，步步启发的方式带领学生逐步归纳出三种添加辅助圆的方法：一、圆的半径处处相等，借助到某一定点距离相等添加辅助圆；二、直径所对的圆周角是直角，借助具有公共斜边的直角三角形作辅助圆；三、对角互补的四边形的四个顶点共圆。在探究归纳的过程中，引导学生体会利用辅助圆解题，角的转化会变的简单、清晰，进一步体会适时添加辅助圆解题的必要性和优越性。《巧添辅助圆》评测练习1.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的长。如图过点A作AM垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，求点M运动路径的长.如图，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠B+∠C＝180°,∠B<90°，DE⊥AB，FE＝BE，求证:AB＝AC+2BE。《巧添辅助圆》课后反思《巧添辅助圆》这节课是在学生学习了圆的基本知识后安排的一节专题课。本节课的教学设计，注重遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程，重视从学生已有知识出发学习数学，理解数学。本节教学主要突出了以下几点：设置问题链，采用启发式教学，循序渐进的引导学生在现有知识的基础上探究新知，使学生经历知识形成发展的全过程，更有利于学生对知识的理解和灵活运用。注重培养学生的模型意识，在探究中分析出模型，在练习中培养学生灵活运用模型的能力。题目的选择由易到难，由浅入深。同时注重课堂的时效性，及时关注学生的掌握程度，教师适时引导，确保学生掌握解题方法。采用体验式教学法，引导学生进行一题多解，培养学生发散性思维和举一反三的能力。对比添加辅助圆前后解题思路的变化，使学生自主体验，在课堂中观察利用辅助圆解题的多种方法路径，发现利用辅助圆解题的优越性，从而总结出自己的一套解题方法。课堂给予学生充分展示自我的机会，通过设置小组交流分享、投影展示讲解等课堂活动，活跃课堂气氛、调动学生积极性，鼓励学生勇于作答，善于作答的精神，让学生真正成为课堂的主人。学生的潜力是无穷的，教师要充分的把课堂交给学生，善于让学生表达，同时注重课堂生成性资源，及时的、适时的、灵活的改变教学策