第十一章统计与案例数学

数学

A（理）第十一章 统计与统计案例§11.1随机抽样基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.2.系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体编号；n(2)确定分段间隔k

，对编号进行

分段

.当

N

(n是样本容量)是整数时，取k＝

N

；n(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l

(l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.3.分层抽样定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分

组成时，往往选用分层抽样.思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.(

√

)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.(

×

)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.(

√

)要从1

002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.(

×

)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(

×

)题号答案解析1B2A3C480由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，分段间隔数k＝N＝1

000＝20，n

50则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×20＝695.思维点拨解析思维升华题型一 简单随机抽样例1

下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.思维点拨

解析

思维升华由简单随机抽样的特征判断.题型一 简单随机抽样例1

下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.解

(1)不是简单随机抽样.因为被抽取的样本总体的个体数是无限的，而不是有限的.题型一 简单随机抽样例1

下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.思维点拨解析思维升华思维点拨

解析

思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.题型一 简单随机抽样例1

下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.思维点拨解析思维升华(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).题型一 简单随机抽样例1

下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.例1 (2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后

再把它放回盒子里.思维点拨解析思维升华思维点拨

解析

思维升华由简单随机抽样的特征判断.例1

(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.(2)不是简单随机抽样.因为它是放回抽样.例1

(2)盒子里共有80个零件，

解从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.思维点拨

解析

思维升华思维点拨

解析

思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.例1

(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.思维点拨解析思维升华(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).例1

(2)盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.例1(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是

“逐个”抽取.解析思维升华思维点拨思维点拨

解析

思维升华由简单随机抽样的特征判断.例1

(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.解

(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.例1

(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.思维点拨

解析

思维升华思维点拨

解析

思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.例1

(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.思维点拨解析思维升华(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).例1

(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取.例1

(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.思维点拨解析思维升华思维点拨

解析

思维升华由简单随机抽样的特征判断.例1

(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.解

(4)不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.例1

(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.思维点拨

解析

思维升华思维点拨

解析

思维升华(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.例1

(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.思维点拨解析思维升华(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).例1

(4)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.跟踪训练1

(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()781665720802631407024369972801983204A.0892344935B.078200C.0236234869D.0169387481解析

从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.答案

D思维点拨解析答案思维升华题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )A．26,16,8

B．25,17,8C．25,16,9

D．24,17,9根据“等距”抽样确定各营区被抽中的人数．思维点拨解析答案思维升华题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

)A．26,16,8

B．25,17,8C．25,16,9

D．24,17,9题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽由题意及系统抽样的定义可样方法抽取一个容量为50的样本，知，将这600名学生按编号依且随机抽得的号码为003.这600名学次分成50组，每一组各有12生分住在三个营区，从001到300在名学生，第k(k

∈N*)组抽中第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，的号码是3＋12(k－1)．从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

)A．26,16,8

B．25,17,8C．25,16,9

D．24,17,9思维点拨解析答案思维升华题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

)A．26,16,8

B．25,17,8C．25,16,9

D．24,17,9令

3

＋

12(k

－

1)≤300

得103k≤4

，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；思维点拨解析答案思维升华题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在103令300<3＋12(k－1)≤495

得4

<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，结合各选项知，选B.从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

)A．26,16,8

B．25,17,8C．25,16,9

D．24,17,9思维点拨解析答案思维升华题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A．26,16,8C．25,16,9B．25,17,8D．24,17,9第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，结合各选项知，选B.从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

B

)思维点拨解析答案思维升华103令300<3＋12(k－1)≤495

得4

<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，体容量不能被样本容量整题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A．26,16,8C．25,16,9B．25,17,8D．24,17,9思维点拨

解析

答案

思维升华系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．使用系统抽样时，若总从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

B

)(3)

起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．题型二

系统抽样例2

将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A．26,16,8C．25,16,9B．25,17,8D．24,17,9思维点拨解析答案思维升华第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(

B

)跟踪训练2

(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(B

)A．11

B．12

C．13

D．1442解析

由840＝20，即每

20

人抽取

1

人，所以抽取编号落入720－480区间[481,720]的人数为 ＝240＝12(人)．20

20解析思维升华答案样)题型三分层抽例3(2014·广东已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10该地区中小学生总人数为3

500＋2

000＋4

500＝10

000，200，其中抽取的高中生近视样)题型三分层抽例3(2014·广东已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和

则样本容量为10

000×2%＝图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽

人数为2000×2%×50%＝20，取2%的学生进行调查,则样本容量和

故选A.抽取的高中生近视人数分别为(

)A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10解析答案 思维升华该地区中小学生总人数为3

500＋2

000＋4

500＝10

000，200，其中抽取的高中生近视解析答案 思维升华样)题型三分层抽例3(2014·广东已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和

则样本容量为10

000×2%＝图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽

人数为2000×2%×50%＝20，取2%的学生进行调查,则样本容量和

故选A.抽取的高中生近视人数分别为(

A

)A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n总体的个数N＝该层抽取的个体数该层的个体数；解析答案 思维升华题型三

分层抽样)例3(2014·广东已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(A

)A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.解析思维升华答案题型三

分层抽样)例3(2014·广东已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(A

)A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10跟踪训练3

(2013·湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于(D

)A.9

B.10

C.12

D.1360解析

∵

3

＝n120＋80＋60，∴n＝13.典例：(12分)某单位有2

000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：审图路线图系列5 五审图表找规律人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200共计16032048010402000若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？审图路线图系列5 五审图表找规律规范解答温馨提醒审题路线图抽取40人调查身体状况↓(观察图表中的人数分类统计情况)样本人群应受年龄影响↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)要以老、中、青分层，用分层抽样规范解答温馨提醒审题路线图↓要开一个25人的座谈会↓(讨论单位发展与薪金调整)样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样规范解答审题路线图 温馨提醒↓要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解↓(可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当)将单位人员看作一个整体↓(从表中数据看总人数为2

000人)人员较多，可采用系统抽样规范解答审题路线图 温馨提醒抽取比例为

40 ＝

1

.2

000

50故老年人，中年人，青年人各抽取4人，12人，24人.规范解答温馨提醒审题路线图解

(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，1分2分4分(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为故管理，技术开发，营销，生产各部门抽取2人，4人，6人，13人.25

＝

1

，2

000

80规范解答审题路线图 温馨提醒5分6分8分规范解答审题路线图 温馨提醒(3)用系统抽样，对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1

900，共20人组成一个样本.12分本题审题的关键有两点，一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚；二是对样本的功能要审视准确.本题易错点是，对于第(2)问，由于对样本功能审视不准确，按老、中、青三层分层抽样.规范解答审题路线图 温馨提醒方法与技巧简单随机抽样的特点：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性；个体间无固定间距.系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样.方法与技巧3.分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.失误与防范进行分层抽样时应注意以下几点：分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.23456789101方法中，最合理的抽样方法是(

)A.简单随机抽样

C.按学段分层抽样B.按性别分层抽样

D.系统抽样1

2

3

4

5

6

7

8

9

101.(2013·课标全国Ⅰ)为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样解析

不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.答案

C234567891012.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(B

)A.6

B.8

C.10

D.12解析

设样本容量为N，则N×

30

＝6，70∴N＝14,40∴高二年级所抽学生人数为14×

70

＝8.1

2

3

4

5

6

7

8

9

103.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：1

2

3

4

5

6

7

8

9

10A.②、③都不能为系统抽样C.①、④都可能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样D.①、③都可能为分层抽样89101

2

3

4

5

6

7①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270关于上述样本的下列结论中，正确的是(

)解析

因为③为系统抽样，所以选项A不对；因为②为分层抽样，所以选项B不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对，故选D.答案

D234567891014.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应为(

C

)A.13

B.19

C.20

D.51解析

抽样间隔为46－33＝13，故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.1

2

3

4

5

6

7

8

9

105.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生是高一学生的两倍，高二学生比高一学生多300人，现在按的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，则高一学生应抽取的人数为()A.8

B.11

C.16

D.101

2

3

4

5

6

7

8

9

10解析

设高一学生有x人，则高三学生有2x人，高二学生有(x＋300)人，学校共有4x＋300＝3 500(人)，解得x＝800(人)，由此可得按

1

的抽样比例用分层抽样的方故应选A.答案

A法抽取样本，高一学生应抽取的人数为

1

×800＝8(人)，1001002

3

4

5

6

7

8

9

1016.已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则61组抽出的号码为

1211

.由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，a61＝11＋60×20＝1211.解析

每组袋数：d＝

3

000

＝20，1501

2

3

4

5

6

7

8

9

107.将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是

16,28,40,52

.解析

编号组数为5，间隔为

60

＝12，5因为在第一组抽得04号：4＋12＝16,16＋12＝28,28＋12＝40,40＋12＝52，所以其余4个号码为16,28,40,52.1

2

3

4

5

6

7

8

9

108.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

15

名学生.解析

抽取比例与学生比例一致.设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.1

2

3

4

5

6

7

8

9

109.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为

.一年级二年级三年级女生373xy男生377370z1

2

3

4

5

6

7

8

9

10解析依题意可知二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×

2

＝16.8答案

162

3

4

5

6

7

8

9

10110.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10解析由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.答案

112

3

4

5

6

7

8

9

1011213141511A.p1＝p2<p3C.p1＝p3<p2B.p2＝p3<p1D.p1＝p2＝p311

12

13

14

15解析

由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.11.(2014·湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为