结构力学之位移法-课件

结构力学之位移法结点转角、杆轴弦转角:顺时针为正。符号剪力:以绕隔离体顺时针转动为正。杆端弯矩:绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。★★1形常数1AB4i2iAB6i/lAB1AB6i/l6i/lAB12i/l2AB3iAB1AB3i/lAB1AB3i/lAB3i/l2AB1ABiiABABABABA1B2载常数qql2/12ql2/12ql/2ql/2ABABABFPFPl/8l/2l/2FPl/8FP/2FP/2ABABABlt1t2ABABABqABql2/85ql/83ql/8ABABFPl/2l/2AB3FPl/16AB11FP/165FP/16ABlt1t2ABABABqlABql2/3ql2/6ABqlABFPl/2l/2AB3FPl/8FPl/8ABFPABlFPABFPl/2FPl/2ABFPABt1t2lABABAB1AB1AB1AB1AB1ABFPl/2l/2ABqABqABFPl/2l/2ABqlABFPl/2l/2ABlFPAB7-2位移法基本概念Δ1qΔ1iC例AiBqllΔ1q一、基本概念解③MBA=4iΔ1

MBC=3iΔ1-ql2/8∑MB=0MBA+MBC=07iΔ1-ql2/8=0Δ1=ql2/56i④MAB=2iΔ1=

ql2/28MBA=4iΔ1=ql2/14MBC=-ql2/14

⑤M图ql2/14

ql2/28

5ql2/56

2iΔ14iΔ1ql2/83iΔ1②AB①BCqΔ1Δ1总结

1)将结构化成独立的单跨超静定梁;

2)基本未知量:结点独立位移;

3)基本方程:结构局部隔离体的平衡方程。二、基本未知量的选取2、结构独立线位移:

1、结点角位移数:结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。(1)梁式杆——不计轴向变形Δ1Δ2Δ3Δ2Δ1Δ3Δ4EI

EI

E1I1=∞

EI

Δ1Δ2(2)桁架杆——不计轴向变形EIEA(3)桁架杆——计轴向变形Δ2Δ1Δ3Δ5Δ4(4)弹性支座EIkΔ1E1A1=∞

EA

EIEIEIEIΔ1Δ27-3位移法Ⅰ——直截了当平衡法1无侧移结构【例题】试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/6。

FP=20kN，q=2kN/m。q3m3m6mFPACB【解】B点转角位移Δ1（1）基本未知量BAΔ1FPBCΔ1q(2)写出杆端弯矩(3)利用隔离体的平衡方程求结点位移。解得取B点为隔离体,建立B点的力矩平衡方程BAΔ1FPBCΔ1qB16.7211.5715.853.21M图（kNm）(4)将结点位移代回杆端弯矩表达式。(5)依照区段叠加法作出弯矩图q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0【例题】试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。B点顺时针转角位移Δ1（1）基本未知量C点顺时针转角位移Δ2解（2）写出杆端弯矩设EI0=1q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0q=20kN/mA4m4m6m5m4mBCDEF4I05I04I03I03I0(3)建立隔离体平衡方程,求基本未知量解（a）和（b），得(4)求杆端弯矩3.443.546.91.74.899.824.514.7M图(kNm)(5)依照区段叠加法作出弯矩图2有侧移结构C、B点水平位移Δ1【解】（1）基本未知量(2)杆端弯矩由杆端弯矩求得杆端剪力试做图示刚架的弯矩图。各杆E相同。AE1A=∞lBCDqii【例题】(3)建立隔离体平衡方程,求基本未知量FQCAFQDB（4）求杆端弯矩M图★有侧移的题一定用到由弯矩求剪力(5)依照区段叠加法作出弯矩图C、D点水平位移Δ2【解】（1）基本未知量(2)杆端弯矩试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同,i=EI/4。【例题】D点的转角位移Δ1A4mBCD20kN/m4m2m30kN30kNABCD20kN/m60kNm30kN由杆端弯矩求得杆端剪力(3)建立隔离体平衡方程,求基本未知量FQCAFQDB30(4)求杆端弯矩(5)依照区段叠加法作出弯矩图M图(kNm)§7-4位移法Ⅱ——典型方程法一、超静定结构计算的总原则:

欲求超静定结构先取一个基本结构,然后让基本结构在受力方面和变形方面与原结构完全一样。

力法的特点:基本未知量——多余未知力;基本结构——静定结构;基本方程——位移条件(变形协调条件)

位移法的特点:基本未知量——

基本结构——

基本方程——

独立结点位移平衡条件？一组单跨超静定梁基本结构

为了使原结构变成独立的单跨超静定梁,在原结构结点上加上附加约束(刚臂、支链杆),使其变成固定端或铰支端。如此,原结构就变成了若干个单跨超静定梁的组合体——基本结构。Ah=4mCq=3kN/mi2iBDil=8m★★假如基本体系与原结构发生相同的结点位移,则附加约束上的约束反力一定等于零。q=3kN/mF1≡0Δ1Δ2基本体系F2≡0基本结构二、选择基本体系k11k212i4i6i图(1)Δ1=1单独作用时,附加约束的反力k11、k21。k11=10ik21=-6i/h=-1、5i★附加刚臂上的约束力以顺时针为正。★附加链杆上的约束力以读者规定的方向为正6i/hk21k114i6i三、建立基本方程k12k226i/h6i/h3i/h图(2)Δ2=1单独作用时,附加约束的反力k12、k22。k12=-6i/h=-3i/2k22=15i/h2=15i/1612i/h23i/l2k22k126i/hF1PF2P(3)荷载单独作用时,附加约束的反力F1P、F2P。MP图F1P=qh2/12=4qh/2F2P=-qh/2=-6F2PF1Pqh2/12qh2/12qh2/12将三种情况下的附加约束反力叠加,得位移法方程为位移法方程的物理意义★★基本结构在荷载和结点位移作用下,附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程,得系数自由项将三种情况下的弯矩图叠加M图(kNm)4.4213.625.69四、计算结点位移五、绘制弯矩图典型方程法的解题步骤(1)选择基本结构(2)建立位移法方程(3)求系数和自由项,解方程,求基本未知量(4)利用叠加原理,作弯矩图k111+k122+

··········+k1nn+F1P=0

k211+k222+··········+k2nn+F2P=0

··································kn11+kn22+

··········+knnn+FnP=0

121=1k11k21k12k222=1k11×0+k21

×1

k21=k12=k12

×1+k22

×0kij=kji具有n个独立结点位移的超静定结构:反力互等定理7-5无侧移刚架的计算k11=6i例1qililqΔ1Δ1=13i3i①基本体系解k11Δ1+F1P=0②位移法方程③求系数、解方程k113i3iF1Pql2/8MP图ql2/8F1P=-

ql2/8Δ1=-F1P/k11=ql2/48iM图ql2/163ql2/32⑤考虑题:图示结构是否可把C处的转角φC也作为基本未知量计算？①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程k11=8i

k12=k21=2ik22=4iΔ1Δ2Δ1=14i4i2i2iΔ2=14i2iqllABC④ql2/14ql2/28位移法的基本结构不唯一!!ql2/12ql2/12F1P=-ql2/12F2P=ql2/12Δ1=3l2/14iΔ2=3l2/14i

例2EI=常数

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0③求系数、解方程k11=11ik114i3i4iΔ1=13i4i2i4i2iA

B

D

E

C

q

l

l

l

△1F1P=

ql2/24Δ1=-F1P/k11=-ql2/264iF1Pql2/12ql2/85/4413/1325/661/661/132⑤ql2/8ql2/12ql2/12例3EI=常数i=EI/l

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0③求系数、解方程k11=5ik11i4iΔ1l

l

MΔ1=1i4i2iiMΔ1=-F1P/k11=M/5i⑤F1P=-

MF1PM4M/5M/5

M/52M/5只有结点集中力偶作用时,MP图=0,F1P≠0例4EI=常数,i=EI/4

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程k11=12ik118i4i20kN/m

4m2m2m

4m

2EI

2EI

EI

EI

40kN

10kNm

Δ1=14i2i8i4ik21=4ik214iΔ2Δ1Δ2=18i6i4i2i4i26.730k12=4ik124ik22=18ik218i6i4iF2P=-3.3F2P26.730F1P=-36.7F1P26.710Δ1=3、2/iΔ2=-0、54/i④结点集中力偶对MP图没有影响;对FiP有影响。13.33.3336.62.21.135.2已知弹簧刚度K=12EI/l,试求梁的弯矩图。qEIEIll基本结构解(1)选择基本结构（2）建立位移法方程7-6

有侧移刚架的计算例1(有弹性支座时的计算)k11图(3)求系数和自由项,解方程Kk11F1PF1P图将系数和自由项代入方程,求得(4)作弯矩图讨论例2①基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0l

l

i

i

Pi

i

EA=∞

Δ1Δ1=13i/l3i/l3i/l3i/l③求系数、解方程k113i/l23i/l2k11=12i/l23i/l23i/l2PΔ1F1PF1P=-PPΔ1=Pl2/12i只有结点集中力作用时,

MP图=0,F1P≠0④Pl/4Pl/4Pl/4Pl/4例3①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程4m

2i

2i

i

2m

2m

20kN/m

Δ1Δ23i

Δ1=14i

4i

8i

k11=19ik113i8i8ik21=012i/212i/2k21Δ1Δ2=112i/2

12i/2

12i/2

k22=12i6i6ik12=0k1212i/2

12i/2

k22Δ110

10

10

Δ2F1P=0F2P=-60F1P303010

10

F2PΔ1=0

Δ2=5/i④40

40

20

例4各杆EI=常数i=EI/l①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程Δ1Δ2k21=06i/lk216i/l2i

2i

Δ1=1Δ24i

4i

3i

k11=11i3i4i4ik11l

l

l

MΔ2=1Δ16i/l6i/l3i/l3i/l6i/lk22=30i/l212i/l2k2112i/l23i/l23i/l2F2P=0F2PΔ2Δ1MF1P=-MF1PMk12k12=06i/l6i/lΔ1=M/11iΔ2=0④2M/11

4M/11

4M/11

3M/11

例5

①基本体系解②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0③求系数、解方程l

l

l

P

P

EI→∞

EI→∞

i

i

i

i

Δ1Δ2Δ26i/l6i/l6i/lΔ1=16i/lk11=24i/l212i/l212i/l2k11k21=-24i/l2k2112i/l212i/l2k12=-24i/l212i/l212i/l2k12k22=48i/l2k2212i/l212i/l212i/l212i/l26i/l6i/l6i/lΔ16i/lΔ2=16i/l6i/lΔ1Δ2PPF1P=-PF2P=-PPPPl/2Pl/2PlPlΔ1=3Pl2/24iΔ2=Pl2/12i④k216i/l6i/lk21=04i4i3ik11=11i①基本体系解③求系数、解方程②位移法方程k11Δ1+k12Δ2

+F1P=0k21Δ1+k22Δ2

+F2P=0Δ2lllΔ1=13i4i4iΔ2Δ1lllqq例6F1P=-ql2/8F1Pql2/12ql2/12ql2/8F2PF2P=-qlql/2ql/2k12=06i/l6i/lk12k2212i/l2k22=30i/l212i/l23i/l23i/l2Δ2Δ1ql2/12ql2/12ql2/12ql2/8Δ2=1Δ16i/l6i/l6i/lΔ1=ql2/88iΔ2=ql3/30i

④101ql2/330107ql2/66047ql2/66043ql2/1654ql2/44ql2/10ql2/107-7对称结构的计算(取半边结构同力法)PPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的,其内力图的特点是:对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的,其内力图的特点是:利用这些特点,能够取结构的一半简化计算。NQ一、单数跨(1)对称荷载Δ1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11Δ1+F1P=0(2)反对称荷载PPABCDEΔ1Δ2Δ3ABEl/2P反弯点ABΔ3Δ1ABEl/2q二、偶数跨(1)对称荷载qqCCM=Q=0PPIN=0PP反弯点P无限短跨+PP(2)反对称荷载①取半边结构，基本体系解②位移法方程k11Δ1+F1P=0qllqΔ1半边结构2i2i例1F1P=-ql2/12F1Pql2/12k11=4i2ik112i③求系数、解方程Δ1=ql2/48iΔ1ql2/12ql2/24Δ1=12i2i④ql2/24ql2/24ql2/24ql2/24Δ1q

i2

2i1

①基本体系:取半边结构解②位移法方程k11Δ1+F1P=0例2l

l

q

i1

i2

i2

ABC③求系数、解方程k11=4i1+2i2k