广东省梅州市新城中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析

广东省梅州市新城中学2022-2023学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)的底面积为Q，侧面积为S，则它的体积为()参考答案：D略2.命题p：若，则；命题q：下列命题为假命题的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p参考答案：B3.某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如图：现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为(

)零件个数x(个)102030加工时间y(分钟)213039A.112分钟 B.102分钟 C.94分钟 D.84分钟参考答案：B【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，取求得值即可．【详解】解：所以样本的中心坐标为（20，30），代入，得，取，可得，故选B．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．4.现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列为等差数列，则有成立”类比“若数列为等比数列，则有成立”，则得出的两个结论

A.只有①正确

B.只有②正确C.都正确

D.都不正确参考答案：C5.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）A． B． C. D．参考答案：C【考点】Q6：极坐标刻画点的位置．【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可．【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，结合点在第二象限得：θ=，则点M的极坐标为．故选C．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．6.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m?α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m?α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m?α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．7.一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取人数为（

）.A．

6

B.

7

C.

8

D.

9参考答案：C8.用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（

）A.48个 B.36个 C.24个 D.18个参考答案：A解：由题意知本题是一个分步计数问题，大于20000决定了第一位只能是2，3，4，5共4种可能，偶数决定了末位是2，4共2种可能当首位是2时，末位只能是4，有A33=6种结果，当首位是4时，同样有6种结果，当首位是1，3，5时，共有3×2×A33=36种结果，总上可知共有6+6+36=48种结果，故选A．

9.已知，则函数的最小值为（

）A、1

B、2

C、3

D、4参考答案：D10.下列向量中不垂直的一组是

A.,

B.,

C.,

D.,参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“”的否定是

▲

．参考答案：12.不等式的解集为______________________________;参考答案：13.已知，用数学归纳法证明时，f（2k+1）﹣f（2k）等于

．参考答案：【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题；RG：数学归纳法．【分析】首先由题目假设n=k时，代入得到f（2k）=1+++…+，当n=k+1时，f（2k+1）=1+++…+++…+，由已知化简即可得到结果．【解答】解：因为假设n=k时，f（2k）=1+++…+，当n=k+1时，f（2k+1）=1+++…+++…+，∴f（2k+1）﹣f（2k）=，故答案为．14.已知向量满足则，则

。参考答案：15.等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③前n项和为可以表示为Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．参考答案：①②③略16.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，分别交y轴和该渐近线于M，N两点，且=3，则=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【专题】数形结合；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设渐近线的方程为y=x，过N作x轴的垂线，垂足为P，根据向量关系建立长度关系进行求解即可．【解答】解：设渐近线的方程为y=x，过N作x轴的垂线，垂足为P，由=3，得==，得N的坐标为（，），∵NF2⊥ON，∴=﹣，化简得=，则=，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线向量的计算，根据条件结合向量共线的条件进行转化是解决本题的关键．17.已知一个算法的流程图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x的值为________．

参考答案：－2或1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在区间[0,3]上有最大值3和最小值－1.(1)求实数的值；(2)设，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.参考答案：(1)∵的对称轴是，又∵.∴在上单调递减，在上单调递增；∴当时，取最小值，当时，取最大值3；即，解得.(2)∵，∴，∴，∴，令，则在上是增函数，故，∴在上恒成立时，.19.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组80.16第二组①0.24第三组15②第四组100.20第五组50.10合

计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．参考答案：解：(1)①②位置的数据分别为12、0.3；

……4分(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；…………………8分(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．…………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．…………………12分所以，故2人中至少有一名是第四组的概率为．……………14分略20.如图所示，已知多面体中，四边形为矩形，，，平面平面，、分别为、的中点．（）求证：．（）求证：平面．（）若过的平面交于点，交于，求证：．参考答案：见解析（）证明：∵平面平面，平面平面，在矩形中，，平面，∴平面，∴，又∵，点，、平面，∴平面，∴．（）取中点为，连接，，∵、分别为，中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，平面，∴平面．（）∵，∴过直线存在一个平面，使得平面平面，又∵过的平面交于点，交于点，平面，∴，∴．21.已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6A：函数的单调性与导数的关系；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出函数在x=1处的值，求出导函数，求出导函数在x=1处的值即切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．（II）求出函数的导函数，令导函数大于等于0恒成立，构造函数，求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范围．（III）通过g（x）的单调性，求出g（x）的最小值，通过对p的讨论，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范围．【解答】解：（I）当p=2时，函数，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0.，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2﹣2=2．从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1）即y=2x﹣2．（II）．令h（x）=px2﹣2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．由题意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是上是减函数，∴x=e时，g（x）min=2；x=1时，g（x）max=2e，即g（x）∈，当p＜0时，h（x）=px2﹣2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在y轴的左侧，且h（0）＜0，所以f（x）在x∈内是减函数．当p=0时，h（x）=﹣2x，因为x∈，所以h（x）＜0，，此时，f（x）在x∈内是减函数．∴当p≤0时，f（x）在上单调递减?f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意；当0＜p＜1时，由，所以．又由（2）知当p=1时，f（x）在上是增函数，∴，不合题意；当p≥1时，由（2）知f（x）在上是增函数，f（1）=0＜2，又g（x）在上是减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈，而，g（x）min=2，即，解得综上所述，实数p的取值范围是．22.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，且PA⊥底面ABCD中，AB=1，PA=2．（I）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求三棱锥B﹣PAC的体积；（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PC⊥平面MBD，若存在，请证明；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由PA⊥底面ABCD得PA⊥BD，由正方形的性质得AC⊥BD，故BD⊥平面PAC；（II）以△ABC为棱锥底面，PA为棱锥的高，代入体积公式计算即可；（III）过D作DM⊥PC，垂足为M，则PC⊥平面BDM．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，DB?面ABCD，所以PA⊥DB．又因为四