高中数学-等比数列的前n项和公式教学设计学情分析教材分析课后反思

等比数列的前n项和公式教学设计（人教A版选择性必修第二册）本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选择性必修二第四章第4.3节《等比数列》第2课时。从内容上看它是我们等差数列前n项和的函数上的类比和等比数列基本概念的延伸，本节以此为出发点，引出了等比数列前n项和公式，体现了由特殊到一般的思想方法，本节课是“数列求和”的基础和前提，在整章中占有基础地位，学习的主要目的是将数列从等差数列扩充到等差数列和等比数列，也为数列求和的研究做好准备。【教学目标与核心素养】1.数学抽象：等比数列的前n项和公式的概念和意义；2.逻辑推理：等比数列前n项和公式的推导；3.数学运算：利用等比数列的前n项和公式进行计算；4.数学建模：通过与特殊的等比数列前n项和公式的类比，得出一般等比数列前n项和的公式。【教学重点】会用错位相减法求数列的和；掌握等比数列的前n项和公式及其应用【教学难点】会用错位相减法求数列的和；掌握等比数列的前n项和公式及其应用多媒体课件【新课导入】上节课我们推导出了等比数列的定义和通项公式。也学习了等差数列的前n项和的性质，知道了等差数列的前n项和满足二次函数的形式。那么大家想到等比数列有没有前n项和呢？它的前n项和又是怎么推导出来的呢？这节课我们就来深入研究这些问题。【新课内容】（一）情景引入，助学助教１.展示国际象棋的寓言故事问题：国王能够完成发明者的要求吗？如何求出国际象棋棋盘上的麦粒总数呢？我们把这个问题转换成数学问题，抽象出求和公式：两边同时乘公比2，得：然后错位相减得：这种方法叫做错位相减法求数列的前n项和。设计意图：通过寓言故事引入本节教学，引起学生兴趣和探知欲，学习热情高涨。学生初步接触错位相减法，为等比数列求前n项和打下了基础。（二）自主合作，探求新知1.由特殊到一般求和问题：用错位相减法求出这个等比数列的前n项和，那么由特殊到一般能否用同样的方法求出等比数列{an}的前n项和Sn呢？对于等比数列前n项和为两边同时乘公比q得：两式错位相减得：整理得：设计意图：通过小组合作讨论的方式，按照错位相减法求解一般数列的前n项和公式，能够让学生发挥自主合作的能力，提高主管能定性和逻辑分析、数学推理能力，有助于学生的学习和能力的增长。2.教师指导推理等比数列求和公式提问：如何在求和公式中保留尾项an呢？通过等比数列的通项公式来带入求解。把首项乘公比的n次方转化为首项乘公比的n-1次方，然后保留尾项的形式。设计意图：让学生自己推导等比数列求和公式的另一种方法，能够加深学生对公式的印象，提高学生对公式的应用能力。激发学生对接下来的数学知识的求知欲。（三）例题探究，巩固提高【例1】已知数列{an}是等比数列.(1)若(2)若(3)若【例2】已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若eq\f(S10,S5)＝,求公比q.数学素养：1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．【例3】已知等比数列的公比q≠-1，前n项和为.证明，成等比数列，并求这个数列的公比.巩固练习1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于()A．93B．－93C．45D．－45答案：A[S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31－25,1－2)＝93.]（四）课堂小结，回顾课堂1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．（五）课堂拓展，自主提高1、对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝264－1.2、如果用一个等差数列{bn}和一个等比数列{an}相乘，还能用同样的方法得到数列{bnan}的前n项和吗？这就是我们下节课主要探究的问题。教材为教师搭建了活动平台，教师要通过这个平台教给学生什么呢？教知识、教方法，在教学活动中提高学生的能力、素养，影响学生的世界观、价值观、人生观，因此，教师必须从教材和其他教学资源中挖掘相关的教学因子。学情分析1.学生已有学科知识分析学生已经学习了等差数列的定义和通项公式，了解了等差数列的性质，又学习了等差数列的前n项和公式，知道求解数列问题的解题思路和切入点，另外又学习了等比数列的定义和通项公式，知道了等比数列的构成和各项之间的关系，已经积累了一定的知识。理论上已经具备了接受等比数列前n项和的能力。2.学生能力分析学生正处于从初中数学的定性分析到高中数学的定量讨论；从初中的形象思维到高中的抽象思维；从初中简单的逻辑思维到高中复杂的分析推理的转变过程中。从心理学的角度分析他们的一般能力已经具备，具有一定的观察力、记忆力、抽象概括力、想象力。但其创造能力还比较欠缺，对于利用已有知识创造出新的概念、理论的能力很弱；（创造能力：利用已有知识创造出新的概念、理论的能力。在学习过程中对知识点的把握还不是很准确，数学的推理能力较弱；但学生对感性材料的认知能力较强，接受新知识的能力也很强；而且学生的社交能力也正处于发展阶段，需要得到不断的锻炼。3.学生所处环境、自身素质分析一方面我国在数学领域的突破极大的激发了学生学习有关数学知识的兴趣。另一方面学生已有的有关数学中函数、数列等的知识仅局限于认知阶段，对于它们的规律知之甚少，甚至于存在的错误的概念。所以对学习本课内容学生的愿望是迫切的，积极性很高。效果分析整堂课突出学生的主体地位，能自己解决的决不多讲。对于同学商量后解决不了的进行必要点拨。遇到问题时首先想到的是身边的同学，只要都能积极的思考，投入到热情的讨论中基本没有解决不了的问题。教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选择性必修二第四章第4.3节《等比数列》第2课时。从内容上看它是我们等差数列前n项和的函数上的类比和等比数列基本概念的延伸，本节以此为出发点，引出了等比数列前n项和公式，体现了由特殊到一般的思想方法，本节课是“数列求和”的基础和前提，在整章中占有基础地位，学习的主要目的是将数列从等差数列扩充到等差数列和等比数列，也为数列求和的研究做好准备。在认识到学生对学习新知识的迫切愿望、学生实际的知识与能力水平的现有状况；综合考虑了本节课的内容与性质、以及考试大纲后，确定了本课的基本理念：课的目的：提高全体学生的科学素养；——了解科学史实、掌握研究方法。课的结构：注重共同基础，体现选择性——教学有层次感、因材施教。课的内容：体现课程的时代性、基础性和选择性——联系生活、有浅及深。课的实施：注重自主学习，鼓励学生参与——采用问题教学法。评测练习人教版A版高中数学选择性必修二4.3等比数列的前n项和公式同步练习一、选择题1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．642．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝eq\f(1,8)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于()A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n) D．eq\f(32,3)(1－2－n)3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝()A．－2 B．－1C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5项和等于()A．eq\f(15,8)或5B．eq\f(31,16)或5C．eq\f(31,16) D．eq\f(15,8)5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏 B．3盏C．5盏 D．9盏二、填空题6．在等比数列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝eq\f(an,3n)的前n项和为Tn，求Tn.11．(多选题)设等比数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，eq\f(a7－1,a8－1)<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1 B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S712．(多选题)如图所示，作边长为3的正△ABC的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去．则下列说法正确的是()A．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为eq\f(9\r(3),16)B．△ABC为第一个正三角形，那么第三个正三角形面积为eq\f(9\r(3),64)C．n个内切圆的面积和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))πD．n个内切圆的面积和为3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))π13．(一题两空)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.14．(一题两空)在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺．15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.课后反思教材为教师搭建了活动平台，教师要通过这个平台教给学生什么呢？教知识、教方法，在教学活动中提高学生的能力、素养，影响学生的世界观、价值观、人生观，因此，教师必须从教材和其他教学资源中挖掘相关的教学因子。例如在数列这一章节中安排了等比数列的前n项和一节，从探究的角度研究数列的前n项和，从问题的提出、猜想与假设、演绎与推理、结论的得出、检验论证等，是很好的探究性学习的素材。因此体验数学研究问题的方法就成为主要的教学目标。课标分析《课程标准》加强了数列与现实生活的联系，要求帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念。讲清了数列的概念，着重学习了等差数列和等比数列的定义以及前n项和公式，等比数列的前n项和公式这节课在整本教材中有着很重要的基石作用。本节课是“数列求和”的基础和前提，在整章中占有基础地位，学习的主要目的是探索并掌握等比数列前n项和的公式，并能够用它解决简单的实际问题。根据《课程标准》对本节内容的教学要求，以及学生的认知水平，制定的教学目标如下：课程目标（一）知识与技能：1.会用错位相减法求数列的和；2.掌握等比数列的前n项和公式及其应用3.会用错位相减法求数列的和；掌握等比数列