人教版必修五数学课件1 2应用举例二

第一章

解三角形§1.2应用举例(二)能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.能运用正弦、余弦定理解决测量角度的实际问题.学习目标栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.答案知识点二 坡角与坡度坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度l(tan

α＝h)，如图.返回题型探究重点突破题型一求高度问题例1

如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800

m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解析答案反思与感悟解

由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，反思与感悟由AB

ADsin

15° sin

45°＝

，sin

15°得AD＝AB·sin

45°＝800×

226－

24＝800(

3＋1)(m).即山的高度为

800( 3＋1)

m.在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.反思与感悟跟踪训练1

(1)甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是

.解析答案解析

甲楼的高为

atan

60°＝

3a，乙楼的高为

3a－atan

30°＝

3a－33a＝233a.2

33a，

3

a(2)如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解析答案解

在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·

1

＝

3h.tan

30°在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·

1

＝h.tan

45°在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos

60°，2即

202＝(

3h)2＋h2－2·

3h·h·1，4－

3解得

h2＝

400

≈176.4，∴h≈13

m.3－1)海里的B处题型二 测量角度问题例2

如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10

3海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解析答案反思与感悟∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，sin

A∴BC＝

6.又∵

BC

＝ACsin∠ABC，6BC

2又∠ABC∈(0°，60°)，∴sin∠ABC＝AC·sin

A＝2·sin

120°＝

2，解

设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10

3t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos

A＝(

3－1)2＋22－2( 3－1)·2·cos

120°＝6.解析答案反思与感悟在△BCD

中，由正弦定理得＝BD

CDsin∠BCD

sin∠CBD，10

3t2∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBD＝10t·sin

120°＝1.∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，CD又∵∠BCD∈(0°，90°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，解析答案反思与感悟∴BD＝BC，即

10t＝

6.10∴t＝

6小时≈15

分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.反思与感悟航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.反思与感悟解析答案跟踪训练2

甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a

n

mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的

3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n

mile?返回解

如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x

nmile，则AC＝

3x，由正弦定理得sin

θ＝BC·sin

120°＝1，AC

2而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了anmile.返回当堂检测1

2

3

4

5A.北偏西34°27′C.北偏西55°33′B.北偏东55°33′D.南偏西34°27′解析答案解析

由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的(

A

)1

2

3

4

5解析答案2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离B.d1<d2D.d2<20

m解析

仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.旗杆的距离，那么有(

B

)A.d1>d2C.d1>20

m1

2

3

4

5解析答案A.北偏东5°C.南偏东5°B.北偏西10°D.南偏西10°3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(B

)解析

由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.1

2

3

4

5解析答案4.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α<β)，则点A离地面的高度AB等于(

)A.asin

αsinβ

B.asin

αsinβsin(β－α)

cos(β－α)C.acos

αcos

β

D.acos

αsin

βsin(β－α)

cos(β－α)1

2

3

4

5解析

结合图形可知∠DAC＝β－α.sin∠DACsin

αDC

＝

AC

，在△ACD

中，由正弦定理得∴AC＝

asin

α

＝

asin

αsin(β－α).sin∠DAC在Rt△ABC中，AB＝ACsin

β＝asin

αsin

βsin(β－α

.)答案

A1

2

3

4

5解析答案A.32C.

3－1B.

3D.

2－15.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于()1

2

3

4

5解析

在△ABC

中，由正弦定理AB

ACsin

30° sin

135°＝

，∴AC＝100

2.在△ADC

中，ACsin(θ＋90°)＝CDsin15°，CD∴cos

θ＝sin(θ＋90°)＝AC·sin

15°＝3－1(m).答案

C课堂小结在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何