山西省晋中市上湖中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析

山西省晋中市上湖中学2021-2022学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点坐标是（

）A．

B．(0,1)

C．(1,0)

D．参考答案：C2.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的取值范围是（

）A.

B.或

C.

D.或参考答案：A∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1.∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;∴存在,使得成立,即.∵即为点到直线的距离,∴,解得.3.棱长都相等的一个正四面体和一个正八面体，把它们拼起来，使面重合，则所得多面体是（

）A．七面体

B．八面体

C．九面体

D．十面体参考答案：A略4.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”.设该问题中的金杖由粗到细是均匀变化的，则其重量为（

）A．6斤

B．10斤

C．12斤

D．15斤参考答案：D由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，故选：D.

5.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．参考答案：B略6.在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A．

B．2

C．

D．4参考答案：B试题分析：由面积公式，得，代入得，由余弦定理得，故，由正弦定理，得，解得，故答案为B．考点：1、三角形的面积公式应用；2、余弦定理的应用；3、正弦定理的应用．7.已知全集U=R，集合，则(CUA)∩(CUB)（

）A.(－1,1) B.(0,1] C.(－1,0) D.(－1,0]参考答案：D【分析】根据不等式解法得到集合A，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，，，，∴.故选D.【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题.8.设实数满足则的最小值为A.－5 B.－4 C.－3 D.－1参考答案：A9.执行如图的程序框图，则输出的S值为（）A．33 B．215 C．343 D．1025参考答案：C【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当k=10时不满足条件k＜9，输出S的值为343．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=2，k=0满足条件k＜9，执行循环体，S=3，k=2满足条件k＜9，执行循环体，S=7，k=4满足条件k＜9，执行循环体，S=23，k=6满足条件k＜9，执行循环体，S=87，k=8满足条件k＜9，执行循环体，S=343，k=10不满足条件k＜9，退出循环，输出S的值为343．故选：C．10.某高中数学兴趣小组准备选拔x名男生、y名女生，若x、y满足约束条件，则数学兴趣小组最多可以选拔学生(

)A.21人

B.16人

C.13人

D.11人参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且，b＝2则△ABC面积的最大值为_______。参考答案：3【分析】利用余弦定理得出ac的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB===，∴a2+c2=+4≥2ac，解得ac≤10，∴S△ABC=acsinB=≤3．∴△ABC面积的最大值是3．故答案为：3

12.已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为

．参考答案：13.设F1、F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（）=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为．参考答案：5【考点】双曲线的简单性质．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用双曲线的定义，结合条件可得|PF1|=8a，|PF2|=6a，再由（）=0，可得|OP|=|OF2|，得到∠F1PF2=90°，由勾股定理及离心率公式，计算即可得到．【解答】解：由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=|PF2|，解得|PF1|=8a，|PF2|=6a，由（）=0，即为（）?（﹣）=0，即有2=2，则△PF1F2中，|OP|=|OF2|=|OF1|，则∠F1PF2=90°，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有64a2+36a2=4c2，即有c=5a，即e==5．故答案为：5【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查双曲线的离心率的求法，同时考查向量垂直的条件和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．14.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则的值为

.参考答案：15.已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）= ．参考答案：考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得f（2）=loga2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．解答： 解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=loga2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．点评：本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题．16.如图，在中，为中点，为上的两个三等分点，若，，则

．参考答案：－1

17.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

▲

。参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知向量，其中＞0，且，又的图像两相邻对称轴间距为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函数在[－]上的单调减区间.参考答案：解析：(Ⅰ)由题意

由题意，函数周期为3，又＞0，；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

又x，的减区间是.19.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．参考答案：【考点】：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1?平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1?平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．20.（本题满分13分）已知｛｝是等差数列，其前项和为，｛｝是等比数列，且==2,,-=10（I）求数列｛｝与｛｝的通项公式；（II）记=+，（n,n>2）。参考答案：21.（本小题满分14分）已知函数有且只有一个零点，其中a＞0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的，有成立，求实数k的最大值；

（III）设，对任意，证明：不等式恒成立.参考答案：（Ⅰ）的定义域为，．由，得.∵当时，；当时，，∴在区间上是增函数，在区间上是减函数，∴在处取得最大值．由题意知，解得．…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知=ln(x+1)-x，当k≥0时，取x=1得，，知k≥0不合题意.当时，设.则.令，得，.①若≤0，即k≤-时，在上恒成立，∴在上是增函数，从而总有，即≥在上恒成立.②若，即时，对于，，∴在上单调递减.于是，当取时，，即≥不成立.故不合题意.综上，的最大值为.……………8分（Ⅲ）由．不妨设，则要证明，只需证明，即证，即证．设，则只需证明，化简得．设，则，∴在上单调递增，∴．即，得证．故原不等式恒成立．………14分22.（本题满分14分）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（4分）（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；（5分）（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.（5分）参考答案：证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.

………………（2分）∵PA⊥平面ABCD，BDì平面ABCD，∴BD⊥PA.

又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC.

………………

（4分）解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平