2021-2022学年江苏省常州市燕山中学高二数学理模拟试题含解析

2021-2022学年江苏省常州市燕山中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹是（）A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．线段参考答案：B【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义直接求解．【解答】解：∵动点P（x，y）满足，∴动点P的轨迹是以（﹣3，0），（3，0）为焦点，实轴长为5的椭圆．故选：B．2.已知一组数据为且这组数的中位数是，那么数据中的众数是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D3.某物体其运动方程为，则物体在第t=3秒时的瞬时速度是

▲

.参考答案：略4.下列命题正确的是()A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1参考答案：C5.计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（

）

a=3b=1a=a－bb=a+bPRINTa,b

A．2,3 B．2,2 C．0,0 D．3,2参考答案：A运行程序可得，所以输出的结果为2,3。选A。

6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A、

B、

C、D、参考答案：C略7.巳知等比数列满足，且，则当时，A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.若则向量的关系是（

）A．平行

B．重合

C．垂直

D．不确定参考答案：C9.若曲线C：和直线只有一个公共点，那么的值为（

）A．0或

B.0或

C.或

D.0或或参考答案：D10.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，若，则与的和为()A．105

B．103

C．82

D．81参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前n项和满足，那么（

）A.1

B.9

C.10

D.55参考答案：A12.写出命题“x0∈R，x＋1＜0”的否定：

.参考答案：∈R，

x2＋1≥0略13.已知复数（i为虚数单位），则_________.参考答案：1014.若定义在区间D上的函数，对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数。现已知在上是凸函数，则在锐角三角形ABC中，的最大值是___________。参考答案：【分析】利用已知结论，可将转化为的余弦求解，再由为定值，即可求解，得到答案．【详解】利用已知条件，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，利用已知条件得到式子的运算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.函数的定义域是

.参考答案：略16.A(1,-2,1），B(2,2,2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|,则点P的坐标为

____________.参考答案：略17.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件、件、件.为了了解它们产品的质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间抽取了件，则=______.参考答案：13

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分16分）已知，.（1）当n=1,2,3时，分别比较与的大小（直接给出结论）；（2）由(1)猜想与的大小关系，并证明你的结论.参考答案：解：（1）当时，,

,

,当时，,,，当时，,,

.--------------3分(2)猜想：

,即.--4分下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证.

--------------5分②假设当n=k时，猜想成立，即则当n=k+1时，-----10分而，下面转化为证明：只要证：，需证：，即证：，此式显然成立.所以，当n=k+1时猜想也成立.综上可知：对，猜想都成立，

-----15分即成立.

-----16分略19.（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(1，)和动点Q（m，n）都在离心率为的椭圆（a＞b＞0）上，其中m＜0，n＞0．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l的方程为3mx+4ny=0，点R（点R在第一象限）为直线l与椭圆的一个交点，点T在线段OR上，且QT=2．①若m=﹣1，求点T的坐标；②求证：直线QT过定点S，并求出定点S的坐标．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率，a=2c，，点在椭圆上，代入即可求得c的值，即可求得椭圆方程；（2）①设，由|QT|=2，由两点直线的距离公式可知：，将Q点代入椭圆方程，，代入，由m=﹣1，即可求得T点坐标；②由①可知，，利用斜率公式可知：kQT=，直线QT的方程为，即，直线QT过定点（1，0）．【解答】解：（1）由题意，椭圆（a＞b＞0）焦点在x轴上，离心率，∴a=2c，，∵点在椭圆上，∴，解得：c=1，∴，∴椭圆C的标准方程为；…（2）①设，其中0＜t＜2，∵|QT|=2，∴，即，（*）

…（7分）∵点Q（m，n）在椭圆上，∴，则，代入（*）式，得，，∴或，∵0＜t＜2，∴，…（9分）∴，由题意，m=﹣1，∴，∵n＞0，∴，则T点坐标，…（11分）②证明：由①可知，，∴直线QT的斜率，…（13分）∴直线QT的方程为，即，∴直线QT过定点S（1，0）．…（16分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查只有与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．20.设函数(为自然对数的底数)，（）．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并说明理由；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：（Ⅰ）证明：设，所以．当时，，当时，，当时，．即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均有．即，所以．（Ⅱ）当时，．用数学归纳法证明如下：①当时，由（1）知；②假设当（）时，对任意均有，令，，因为对任意的正实数，，由归纳假设知，，即在上为增函数，亦即，因为，所以．从而对任意，有,即对任意，有，这就是说，当时，对任意，也有．由①,②知，当时，都有．（Ⅲ）证明1：先证对任意正整数，．由（Ⅱ）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．再证对任意正整数，．要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．即要证明对任意正整数，不等式（*）成立．方法1（数学归纳法）：①当时，成立，所以不等式（*）成立．②假设当（）时，不等式（*）成立，即．则．

,这说明当时，不等式（*）也成立．由①，②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．方法2（基本不等式法）：因为，，……，，将以上个不等式相乘，得．所以对任意正整数，不等式（*）都成立．综上可知，对，不等式成立．21.双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。参考答案：解析：由共同的焦点，可设椭圆方程为；双曲线方程为，点在椭圆上，双曲线的过点的渐近线为，即所以椭圆方程为；双曲线方程为22.（12分）我们已经学过了等差数列，你是否想到过有没有等和数列呢？（1）类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；（2）探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点？并加以说明．参考答