2021人教A版数学选修2-1配套训练：3.1.2空间向量的数乘运算

[A组学业达标]→→→→1．设M是△ABC的重心，记a＝BC，b＝CA，c＝AB，则AM为()b－cc－b2A.2B.b－cc－b3C.3D.解析：M为△ABC重心，则AM→＝→→→→＋AC2111cb＋AC＝(＝－)．)(ABAB3233答案：D→→2.如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，→→→点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于()121A.a－b＋c232211B．－a＋b＋c322112C.a＋b－c223221D.a＋b－c332解析：MN→＝ON→－OM→＝(OB→→→2＋OC＝)－OA(b＋c)－a＝－a＋b＋c.1212232113223答案：B→→→3.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝→→CA＋λCB，则λ等于(13)2313A.B.132D．－3C．－-1-→＝CA→＋AD→＝CA→＋2→→→→→→12－CA＋，∴λ＝)＝CACB2323＝CA＋解析：∵CDAB(CB.333答案：A4．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k等于()A．0B．1C．－1D．±1解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，k＝λ，∴λk＝1，∴k＝±1.答案：D5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()→→→→A.OM＝3OA－2OB－OC→→→→B.OM＋OA＋OB＋OC＝0→→→C.MA＋MB＋MC＝0→→→→11D.OM＝OB－OA＋OC42→＋MB→＋MC→＝0，解析：∵MA∴MA→＝－MB→－MC→，∴M与A，B，C必共面．答案：C12212abc3236．化简：(a＋2b－3c)＋5－＋－3(a－2b＋c)＝________.13105101105＋－3＋＋6解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋3c－3a＋6b－3c＝－a1b2322232-2-310＋－＋－c323597626＝a＋b－c.597答案：a＋b－c626→→→→→7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝3DB，CD＝41CA＋λCB，则λ＝________.→→→→1→→＝CB－DB＝CB－＝CB－→→1－CA(CB)＝CBCA4→→31＋，解析：CDAB444又CD→＝→＋λCB→，所以λ＝413CA.43答案：4→→→→平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AC1＝xAB＋2yBC＋3zC1C，则x＋y＋z＝8．在________.→→→→→→→1C.＝AB＋BC＋CC＝AB＋BC＋(－1)C解析：如图所示，AC11→又∵AC→＝xAB→＋2yBC→＋3zC，C11∴xAB→＋2yBC→＋3zC＝AB＋BC＋(－1)C，→→→→CC11x＝1，∴2y＝1，3z＝－1，-3-x＝1，1，2＝解得y13，z＝－117∴x＋y＋z＝1＋－＝.2367答案：69.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的→→→→→AB＝a，A1D1＝b，A1A＝c.试用a，b，c表示B1M，C1M.11交点，若→解析：B1M→→→A1＝B＋A＋AMA11→1＝－a＋c＋AC212＝－a＋c＋(a＋b)＝－11a＋b＋c，22→C1M→→→→＝C＋B＝D＋B1MBMA11111＝－b－11a＋b＋c22＝－11a－b＋c.2210.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，→→→CD的中点，请判断向量EF与AD＋BC是否共线？解析：∵E，F分别是AB，CD的中点．∴AE→＝1→2AB→→→12＝＋ACAF(AD)-4-又∵EF→＝AF→－AE→＝→→＋AC(AD→1212)－AB→＋AC→－AB→＝AD2又∵AD→＋BC→＝AD→＋AC→－AB→＝2EF→∴EF→与AD→＋BC→共线．[B组能力提升]11．给出下列命题：→→→→①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；→→③若AB，CD共线，则AB∥CD；→→→→④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1C．3B．2D．4解析：显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若AB→，CD→共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.答案：C→→→12．已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点(A．一定共线)B．恰是空间四边形的四个顶点C．一定共面-5-D．肯定不共面→→→＝e解析：因为非零向量e1，e2不共线，AB＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e－3e2，11→→→→→→所以5AB－AD＝5e＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝AC，所以AC＝5AB－AD.由平面向1量基本定理可知，A，B，C，D四点共面．答案：C→→→13.如图所示，在四面体O-ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝→E为AD的中点，则OE＝________(用c，D为BC的中点，a，b，c表示)．→→→→→→→AD→→＋OC)121211)＝a＋ODa＋×(OB22222111解析：OE＝OA＋AE＝a＋＝a＋－OA＝(OD＝111a＋b＋c.244111答案：a＋b＋c24414.如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶→→→→MC＝2∶1，N为PD的中点．若MN＝xAB＋yAD＋zAP，则x＋y＋z＝________.解析：在PD上取一点F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF(图略)，则→→→.＝MF＋FNMN→→→→→→→→12131616因为FN＝DN－DF＝－＝＝－AD)，DPDPDP(AP→→→→232323＝MFCDBA＝＝－，AB→→→→231616所以MN＝－－＋ABADAP，231616所以x＝－，y＝－，z＝.-6-23故x＋y＋z＝－.2答案：－315．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD的中点，点N在AC上，且AN∶NC1→→→＝2∶1，求证：AN与A1B，A1M共面．1→→→→→→→→→→→→23122＝AB－AA，A＝A＋D＝AD－，AN＝AA1＝＋ADAC(AB证明：∵A1BMDM)，311111→→→→→→→→→－→1－AA(AB1)＋ADAA2323232∴A＝AN－AA＝＋AD)－AA(AB＝N1111→ABAM→，23231＝＋1→→→∴A与A，A共面．NBM11116.如图，已知M，N分别为的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：N三点四面体A-BCD的面BCD与面ACDB，G，共线．证明：设AB＝a，AC→＝