刘克忠-九章数学中的等差数列等比数列

《九章算术》中的等差、等比数列陕西省榆林市横山区横山中学刘克忠2016年9月26日，教育部考试中心下发《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，公布了2017年各学科高考大纲的主要修订内容.在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，特别增加了数学文化的要求.提起数学文化，首先想到的就是中国古代数学文化.中国古代数学取得了极其辉煌的成就，《九章算术》是代表作.《九章算术》系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成.数列是《九章算术》的一个重要研究内容.在衰分、均输、盈不足中共有6个等差数列问题，4个等比数列问题，现将这10个问题整理如下，供参考.1.等差数列【例1】今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何？（第三章—衰分—1）【译文】现有大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配，问各得多少鹿？【注释】爵次：爵名的次序，按《汉书百官公卿表》：“爵一级曰公士，二上造，三簪袅，四不更，五大夫，，二十彻侯.皆秦制”.“衰分”：比例分配问题.【解析】由题设条件知，五人所得鹿数构成等差数列.设公士得鹿数为，则上造、簪袅、不更、大夫所得鹿数依次为、、、，于是，，解得.所以，五人所得鹿数分别为：大夫只、不更只、簪袅只、上造只、公士只.【例2】今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗.今有大夫一人后来，亦当禀五斗.仓无粟，欲以衰出之，问各几何？（第三章—衰分—6）【译文】现要给大夫、不更、簪袅、上造、公士等五个不同爵次的官员，按照一定比例分配粟，共15斗，后又来了一位大夫，也应该发给5斗粟，但仓中没有粟，需要从前面5人中按比例拿出一部分给后来的大夫，问前面5人各出多少粟？【解析】由例1知，原来5人中，公士、上造、簪袅、不更、大夫所得粟数构成等差数列，记为，且首项，公差，则，所以，，，，.现需要将15斗粟从新分配，按照公士、上造、簪袅、不更、大夫、新大夫的顺序，则这6人分配数依次为，，，，，，前5项仍然构成等差数列，公差且，于是，解得.所以公士、上造、簪袅、不更、大夫所出粟数依次为，，，，，.【例3】今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？（第六章—均输—17）【译文】今有金杖5尺.截本端一尺，重4斤；截末端一尺，重2斤.问依次每尺各重多少？【注释】“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法.本题采用“锥形衰”.李籍《九章算术音义》：“下多上少，如立锥之形也”即是以5、4、3、2、1为列衰.【解析】由题设条件知，自上而下各段重量构成等差数列，记，首项，第5项，项数，设公差为，由等差数列性质知，，，因此，，，.所以，从上到下，依次每尺重为：斤、斤、斤，斤，斤.【例4】今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何？（第六章—均输—19）【译文】现有5人分5钱，要使上面2人所得的与下面3人所得的相等，问各得的多少钱？【解析】本题采用“锥形衰”求解，按等差数列解题.自上而下的5人所得钱数构成等差数列，其中得钱较多的2人的得钱数的和