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文档简介

PAGE利用导数解决生活中的优化问题导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型解决建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案三、应用举例例1（体积最大问题）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为，则长为，高为．故长方体的体积为．从而．令，解得（舍去）或，因此．当时，；当时，．故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值．从而最大体积，此时长方体的长为，高为．答：当长方体的长为，宽为，高为时，体积最大，最大体积为．点评：用导数来解决实际问题时，一般首确定自变量，选定了自变量，要搞清自变量的范围，再列出关系式，对关系式进行求导，最后求出最值来。例2（帐篷设计问题）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为：m2帐篷的体积为m3求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。即当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。求解关键是设法构建函数关系，将实际问题如何转化为数学问题，再利用导数求解.例3（瞬时速度问题）若已知某质点的运动方程为S(t)=－at，要使在t∈[0,+∞]上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围。解：S’(t)=.∵|S’(t)|≤1，∴≤1，∴，即 当t∈[0,+∞]时，（）min=1，∴a≤1.当t+∞时，，且连续递增，所有值都小于1，∴a≥0.故实数a的取值范围是0≤a≤1。点评：①质点运动方程S(t)的导数S’(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度.②利用导数的物理意义列出不等式,根据不等式在t∈[0,+∞﹞上恒成立，求出a的取值范围.例4（容器的容积最大）用长为90cm，宽为48cm

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