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文档简介

第四节重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力六、小结1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是对区域具有可加性——

用微元分析法(元素法)建立积分式分布在有界闭域上的整体量3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法:平面图形的面积；旋转体的体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力等．定积分元素法的一般步骤：元素法这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力等．平面薄片的质量把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于xoy面上的闭区域D具有可加性，（1）设想将D

分成n

个小区域，并任取其中一小区域

d。

（2）将相应于小区域d的部分量U

近似表达为

（3）即当闭区域D

分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U

等于部分量之和。已知的重积分应用二重积分（1）曲顶柱体的体积

（3）平面薄片的质量（2）曲面的面积解1、二重积分一、立体体积作业：１设曲面S的方程为：二、曲面的面积１设曲面S的方程为：曲面

S

的面积元素曲面

S

的面积计算公式由元素法３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得解解方程组得两曲面的交线为在平面上的投影域为解解课练:P175;3作业:1,2学生求S2P178：3.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围体的表面积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,三、物体的质心设平面区域D有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心设物体占有平面域D

,有连续密度函数则质心公式,分别位于为坐标为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其将D分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径质点系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,同理此在第k块上任取一点则得形心坐标：常数时A为闭区域D的面积例1.求位于两圆和的质心.解:

利用对称性可知而之间均匀薄片三、转动惯量一个质点对某条轴的转动惯量等于它的质量与它到该轴距离的平方的乘积。问题：如何求该薄片对x轴和y轴的转动惯量？利用元素法解五、引力（略）D几何应用：平面的面积,空间体体积，曲面块的面积物理应用：质心、转动惯量、

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