第四章-直梁的弯曲

NanjingUniversityofTechnology《食品机械基础》第一篇工程力学基础授课教师：仲兆祥第四章梁的弯曲弯曲的概念与梁的分类

12梁的内力分析

3纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件

拉压杆：承受轴向拉、压力轴：承受扭矩§4-1平面弯曲的概念梁的类型起重机大梁目录P镗刀杆目录P火车轮轴目录火车轮轴简化PP弯曲特点：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或力偶的作用变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线以下截面都具有对称轴：圆形截面，矩形截面

工字钢，T型钢等。对称轴与梁的轴线构成梁的纵向对称面以下截面都具有对称轴：圆形截面，矩形截面

工字钢，T型钢等。具有纵向对称面外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线平面弯曲梁载荷的分类qq(x)均匀分布载荷线性（非均匀）分布载荷P2)集中力TT3)集中力偶T1)分布载荷载荷集度q(N/m)注意还有支座反力!!!MA固定支座（fixedsupport)XAYAA滚动铰支座

(rollersupport)YAA固定铰支座

(pinsupport)YAXA支座种类支座反力AB

简支梁AP2P1YBYAXA梁的类型悬臂梁ABP1P2MAYAXAP1P2外伸梁ABCYAYBXA跨度：简支梁或外伸梁的两支座间的距离称为梁的跨度简支梁外伸梁悬臂梁Pmnxl力矩平衡：M-P(l-x)=0剪力：Q=P弯矩：M=P(l-x)力平衡：Q-P=0PQM（按左半边梁，能算出Q、M吗？）QM§4-2梁弯曲时的内力注意:当梁的跨度(两支点间的距离)较大时，剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪力的作用，只考虑弯矩。符号约定

FS

左上右下FS>0

左下右上FS<0

或者对截面内侧任一点取矩

顺时针FS>0

逆时针FS<0

M左顺右逆M>0

左逆右顺M<0

或者根据弯曲变形

上凹下凸M>0

上凸下凹M<0MMMM弯矩为正弯矩为负梁任一横截面上的剪力在数值上等于此截面一侧（左侧或右侧）梁上所有横向外力的代数和。

符号：左侧梁上向上的外力（或右侧梁上向下的外力）引起正剪力；反之引起负剪力。2.梁任一横截面上的弯矩在数值上等于此截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心之力矩的代数和。

符号：在左侧梁上的外力偶，顺时针转向的产生正值弯矩，反之产生负值弯矩；在右侧梁上的外力偶，逆时针转向的产生正值弯矩，反之产生负值弯矩。在实际计算中可不必将梁假想地截开，而是直接从横截面的任意一侧梁上的外力来求该横截面上的剪力和弯矩。通过外力计算例一

求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m

§4-3弯矩图

梁横截面上的剪力与弯矩，一般随横截面的位置而变化，以坐标x表示横截面位置，则剪力与弯矩可表示为x的函数：剪力图与弯矩图的作法：1）先求得梁的支座反力；2）列出剪力方程与弯矩方程；3）选择适当的比例，以x为横坐标，剪力与弯矩为纵坐标，按方程作图。1.剪力、弯矩方程：

2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例二作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。xFSFFlMFlAB

例三在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。

由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：1、求支反力2、建立剪力方程和弯矩方程FAFBFSMlFab/梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－

纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－

横力弯曲§4-4纯弯曲时梁横截面上的正应力F一、实验观察和假设推论研究对象：等截面直梁研究方法：实验——观察——假设1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成互相平行的弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。1、平面假设：横截面变形后保持为平面，并仍垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。2、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压。结论：1、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力；3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴旋转的。中性层中性轴Zydx1、几何关系变形前二、弯曲正应力公式的推导1、几何关系纯弯曲时梁横截面上各点的纵向正应变沿截面高度方向呈线性分布，中性轴处正应变为零，中性轴两侧分别为拉应变和压应变，距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。

zy2、物理关系胡克定理将

代入，得(a)横截面上正应力分布规律：1、受拉区拉应力，受压区压应力；2、中性轴上应力为零；3、沿y轴线性分布，同一高度处，正应力相等，即沿截面宽度均匀分布；4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处；若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力MMsmaxsmaxσmaxσmaxxzyyбdAcM因：将(a)式代入(b)，于是有：即：由此可见，中性轴过截面形心。(b)(c)3、静力学关系(a)截面对Z轴静矩将(a)式代入(c)并令得：由此可知，中性层的曲率为：

Iz为截面对Z轴的轴惯性矩，单位为m4或mm4

中性层的曲率1/ρ与弯矩M成正比，与EIz成反比。可见，EIz的大小直接决定了梁抵抗变形的能力，因此称EIz为梁的截面抗弯刚度，简称为抗弯刚度。将上式代入(a)式，得：正应力公式变形几何关系物理关系静力学关系为梁弯曲变形后的曲率为曲率半径4、横截面上的最大弯曲正应力抗弯截面模量，单位为m3或mm3

三、弯曲正应力公式的适用范围1、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部挤压应力。弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立；2、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截面模量不同；3、弹性变形阶段，而且拉伸或压缩时的弹性模量相等的条件下才能用。常见截面的IZ和WZ矩形截面§4-5常用截面的轴惯性矩和抗弯截面模量空心圆截面圆截面弯曲正应力强度条件1.等截面直梁，弯矩最大的截面的上下边缘4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑§4-6弯曲正应力的强度条件2.变截面梁要综合考虑与3.如横截面不对称于中性轴时，上下表面抗弯截面模量不同FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，

C截面的曲率半径ρ1.求支反力（压应力）解：例题6-1BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120K2.C截面最大正应力C

截面弯矩C

截面惯性矩BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120K3.全梁最大正应力最大弯矩：截面惯性矩：BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMx30zy180120K4.C截面曲率半径ρC截面弯矩：C截面惯性矩：分析步骤：（1）确定危险截面（3）计算（4）计算，选择工字钢型号某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力起重量跨度试选择工字钢的型号。（2）例题6-2（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据计算（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢如图所示简支梁，受均布载荷q作用，梁跨度l=2m，[σ]=140MPa，q=2KN/m，试按以下两个方案设计轴的截面尺寸，并比较重量。qlql2/81.实心圆截面梁2.空心圆截面梁，其内、外径之比α=0.9。解：画梁的弯矩图，由弯矩图可知，梁中点截面为危险截面，其上弯矩值为：（1）据强度条件设计实心截面梁的直径d：例题6-3取d=42mm（2）.确定空心截面梁的内、外径d1及D