流体运动方程的应用

流体运动方程的应用第1页，课件共90页，创作于2023年2月流体流动研究的核心问题就是流动阻力问题，也就是动量传递速率问题。粘性流体流动时，流体内部存在速度梯度，导致流体流动产生粘性摩擦力。另一方面，速度梯度的存在使动量自发地从高速区向低速区传递，其结果是流体的动量不断地被消耗。这就是流体流动阻力产生的来源。应该指出，流体的这种内摩擦力与固体表面上的摩擦力存在着本质上的不同。固体摩擦仅发生在固体的外表面上，而流体与壁面之间的摩擦则发生在流体内部，因为紧贴壁面的流体与壁面之间没有相对运动。流体的流动阻力是由于壁面的介入，使流体内部出现速度梯度而进行动量传递，从而消耗了流体能量的结果。流体流动问题按其流动方式可以分为两类：一类是流体包围着固体壁面的流动（绕流流动）；另一类是流体被壁面包围的流动（约束流）。下面分别给出这两种流动的阻力系数定义。第1节流体流动方式及流动阻力系数第2页，课件共90页，创作于2023年2月一、绕流流动与曳力系数当粘性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，流体将受到物体壁面的阻力，而物体则受到流体所施加的曳力(dragforce)，此曳力和阻力大小相等，方向相反。其中，Fd——流体对物体施加的总曳力

u0——远离物体表面的流体速度

A——与流动方向向垂直的投影面积

CD——曳力系数上式称为牛顿阻力平方定律，称为动能因子。理论分析和实验研究均表明流体对圆柱体所施加的曳力与物体在垂直于流动方向上的横截面积以及流速的平方成正比，用公式可以表述如下：（3－1）现以流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动状况为例进行讨论，如右图所示。第3页，课件共90页，创作于2023年2月总曳力Fd由两部分组成，一部分是由于压力在物体表面上的不对称分布所引起的形体曳力(formdrag)或称为压差曳力——Fdf，另一部分是物体表面上的剪应力所引起的摩擦曳力(skindrag)——Fds。总曳力为形体曳力与摩擦曳力之和。从上式中即可求出曳力系数（3－2）式（3－2）即为曳力系数或绕流阻力系数的定义式。CD可由动量传递理论推导出来或由实验测定出来，通过CD可以计算绕流问题的流动阻力（动量传递速率）。L二、约束流动与范宁摩擦因数工程上，许多流体都是在封闭的管道内输送的。右图即为粘性流体在一水平圆管内稳态流动的示意图。在管中心处取一长为L，半径为r的流体元进行受力分析。第4页，课件共90页，创作于2023年2月在此流体元上存在着两个方向相反的力，一个是促使流体流动的推动力F1，该力的方向与流动方向一致，力的大小为另一个是流体的内摩擦力，该力为阻止流体向前运动的力F2，力的方向与流动方向相反，其大小为：在稳态流动下，推动力和阻力大小相等，即F1＝F2，所以有带入（3－3）式得，（3－3）（3－4）在壁面处，r=d/2，带式（3－4）得壁面处的剪应力（3－5）第5页，课件共90页，创作于2023年2月上式两侧同乘以剪应力τw的作用面积，即管内表面积A，得流体流动的摩擦阻力其中，A=πdL。理论分析及大量的实验研究表明，对于管内流动，流体产生的摩擦阻力与流体的动能因子及流体与壁面的接触面积成正比，即其中，um——流体的平均流速

A——流体与壁面的接触面积

f——比例系数，称为范宁摩擦系数（3－6）（3－7a）或（3－7b）第6页，课件共90页，创作于2023年2月流体在封闭的管道中流动时，流动阻力可以通过沿程压力损失表现出来，研究发现压力损失与管道的长径比和流体的动能成正比，可表示为将上（3－9）式与（3－5）式带入（3－8）式，得该式即为范宁摩擦因数f的定义式，f可由动量传递理论推导或由实方法求得，通过f可以计算流体在管内的流动阻力。从式（3－7b）中可以求得范宁摩擦系数（3－8）（3－9）λ称为摩擦阻力系数CD和f是雷诺数的函数，它是在计算动量传递速率（流动阻力）时首先要确定的系数。关于CD和f的求法，将在本章及下两章中详加讨论。（3－10）第7页，课件共90页，创作于2023年2月第2节无限大平行平板间的稳态层流在工程实际中，经常遇到流体在两平壁间作平行稳态流动的问题，例如板式换热器、平板式膜分离装置等。这类装置的特点是平壁的宽度远远大于两平壁间的距离，因此可以认为平壁无限宽，流体在平壁间的流动可视为一维流动。试求在这种情况下流体在流道截面上的速度分布及流动阻力的问题右图即为流体在平壁间作稳态层流横断面上的示意图。设流体不可压缩，且所考察的部位远离流道的进出口（即不需要考虑端效应的影响），流道在宽度方向上（z方向）上为无限宽，流道的高度为2b。坐标系选用直角坐标。2boyxuxux第8页，课件共90页，创作于2023年2月2.1数学模型的建立上一章给出了稳态流动下不可压缩流体的连续性方程由于流体在两平行平板间的流动属不具有自由表面的流动，故选用动压力梯度表示的运动方程更为简便，在直角坐标系中，以动压力表示的不可压缩流体的运动方程为x方向y方向z方向第9页，课件共90页，创作于2023年2月2.2微分方程的化简(1)连续性方程的化简：由于流动仅为x方向上的一维流动，故uy

=uz

=0。所以连续性方程可简化为第10页，课件共90页，创作于2023年2月(2)x方向运动方程的化简：x方向运动方程简化条件由于z方向上为无限宽，故可以忽略任何物理量沿着z方向的变化，所以有将上述简化条件代入x方向运动方程，化简后，可得第11页，课件共90页，创作于2023年2月可以写作所以x方向运动方程最终可化简为：第12页，课件共90页，创作于2023年2月(3)y方向运动方程的化简：将简化条件uy=0代入y方向上的运动方程可得，(4)z方向运动方程的化简：可得，同理，将简化条件uz=0代入z方向上的运动方程第13页，课件共90页，创作于2023年2月由此可见，pd与y和z无关，也仅仅是x的函数可以写作这样连续性方程和三个方向上的运动方程最终可化简为：2.1.3微分方程的分析由上述分析可知pd仅仅为x的函数，而ux仅仅为y的函数，因而pd对x求导只能是一个关于x的函数，或者是一个常数；同样ux对y求导只能是一个关于y的函数或者是一个常数

。而x、y又是两个独立变量。故欲使该方程（3-6）成立，方程两侧只能同时等于一个与x和y都无关的常数C，即：（3-6）第14页，课件共90页，创作于2023年2月2.1.4微分方程的求解上述微分方程为二阶线性常微分方程。方程的边界条件为对式(3-7）连续两次积分，并将边界条件代入得：（3-7）（3-7a）（3-7b）式中的常数C可以通过平均流速um来求得。第15页，课件共90页，创作于2023年2月根据平均流速的定义在流动方向上，取单位宽度，则流道的截面积为则通过该截面的体积流率为第16页，课件共90页，创作于2023年2月所以流体在两静止平板间作一维稳态层流时的速度分布方程为由上式可知，当y=0时，即在两平壁中心处，速度最大，最大流速为所以平板间流体流动的速度分布方程还可以写作第17页，课件共90页，创作于2023年2月由常数C的值还可以求得流动方向上的压力梯度，即解得：由上式可知，当流体作稳态流动且流体粘度不变时，动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，因此有2.1.5速度分布方程的应用——求流动阻力及阻力系数第18页，课件共90页，创作于2023年2月由牛顿粘性定律可得，平板壁面处的剪应力为将速度分布方程代入得：根据摩擦阻力系数定义有需要注意的是，上述关于平壁间一维流动的运动公式仅适用于流体在流道中作层流流动，当流体在流道中作湍流流动时，上述关系式不成立流动阻力为第19页，课件共90页，创作于2023年2月Re<2000，层流；Re>4000，湍流。另外注意在计算Re时，d应该用当量直径。什么是当量直径？当流道的宽度B远远大于流道的高度2b时，平壁间的当量直径为将当量直径de与b的关系代入平板间流动阻力系数的计算式有：第20页，课件共90页，创作于2023年2月例3.110℃的水以4m3/h的流率流过一宽1m、高0.1m的矩形水平管道。假定流动为已经充分发展的一维流动，试求截面上的速度分布及通过单位长度管道的压力降。已知时，水的粘度为1.307×10-3Pa·s解：（1）题意分析首先，由于该水平管道的宽度（1m）比管道的高度（0.1m）大的多，所以可以视为流体在无限大的两平壁之间流动。其次需要判断一下流型，是属于层流还是属于湍流。这时就需要计算当量直径和平均流速。当量直径平均流速雷诺数第21页，课件共90页，创作于2023年2月所以速度分布可以用下面的公式来计算单位长度管道的压力降可以用式（3－17）来计算第22页，课件共90页，创作于2023年2月作业：P72:3-1第23页，课件共90页，创作于2023年2月第3节圆管内的稳态层流流体在圆管内的流动是工业过程中最为常见的一种流动形式。本节主要研究流体在圆管内流动时的速度分布和流动阻力。现考察粘性不可压缩流体在水平圆管内的稳态层流，并设所考察的部位远离管路进出口。流动方向为轴向一维流动。3.1数学模型的建立由于管内流动属于轴对称流动，故采用柱坐标系下的运动方程较为方便。如图所示，已知流体在直径为d(半径为ri)的圆管中流动，流动方向为z方向，圆周方向为θ。第24页，课件共90页，创作于2023年2月对于封闭管道内的流动，属于无自由表面的情况，所以采用以动压力表示的运动方程较为方便。在柱坐标系中，不可压缩流体稳态流动的连续性方程为在柱坐标系中，以动压力表示的运动方程为r方向第25页，课件共90页，创作于2023年2月θ方向z方向3.2微分方程的化简(1)连续性方程的化简第26页，课件共90页，创作于2023年2月连续性方程可得(2)r方向运动方程的化简将简化条件ur=uθ=0代入r方向上的运动方程得：由于管内流动为沿方向的一维流动，所以ur=uθ=0第27页，课件共90页，创作于2023年2月(3)θ方向运动方程的化简同理，将ur=uθ=0代入θ方向上的运动方程由此可见，动压力pd与r和θ无关得：第28页，课件共90页，创作于2023年2月(4)z方向运动方程的化简(5):ur=uθ

=0(一维流动)z方向运动方程将简化条件代入z方向上的运动方程后可得：简化条件第29页，课件共90页，创作于2023年2月由于动压力pd与r和θ无关，只是z的函数，因此同时由于，所以uz也仅仅是r的函数因此，偏微分方程可化为常微分方程（3-21）第30页，课件共90页，创作于2023年2月3.3简化后的微分方程的分析方程（3-21）为二阶线性偏微分方程，方程左侧为pd对z求导,由于pd仅仅为z的函数，因此pd对z求导只能是一个关于z的函数，或者是一个常数；同理，方程右侧uz对r求导结果只能是一个关于r的函数，或者是一个常数；而z和r又是两个相互独立的自变量，故该式两侧只有同等于某一常数C时方程才能成立。所以可将上式进一步写为该方程的边界条件为（3-24）（3-24a）（3-24b）第31页，课件共90页，创作于2023年2月3.4微分方程的求解对式(3-24)两侧积分可得方程的通解:由边界条件式(3-24a)和(3-24b)求得积分常数由此可得速度分布式为式中的常数C可以管内平均流速um求得。(3-26)第32页，课件共90页，创作于2023年2月根据平均流速的定义式可得：将速度分布方程(3-26)式代入并积分得由此解得于是，用管内平均流速um表示的速度分布方程为第33页，课件共90页，创作于2023年2月当r=0时(管中心处)，流速取得最大值，最大流速为如果用最大流速来表示管内的速度分布，则有此式称为哈根-泊肃叶(Hagen-poiseuille)公式(3-29)第34页，课件共90页，创作于2023年2月流动方向上单位管长的压力损失：3.4速度分布方程的应用——求流动阻力和阻力系数流体在圆管中作稳态层流时，壁面处的摩擦剪应力可由牛顿粘性定律求得：流体在圆管中的流动阻力：1、流动阻力：第35页，课件共90页，创作于2023年2月由范宁摩擦系数的定义式得：摩擦阻力系数λ为2、阻力系数：第36页，课件共90页，创作于2023年2月作业：P73:2第37页，课件共90页，创作于2023年2月第4节套管内的稳态层流4.1套管环隙间的轴向稳态层流在热交换器中经常遇到流体在套管环隙中的轴向稳态流动。由于流动是轴对称的，故采用柱坐标系求解运动方程比较方便。在这种情况下，方程的形式和简化条件与流体在圆管内稳态层流的情况是完全一致的，因此化简的后形式也是一样的。即仍满足4.1.1数学模型的建立与求解第38页，课件共90页，创作于2023年2月只不过边界条件发生了变化，这时的边界条件变为(3-36a）(3-36b）对(3-24)式连续两次积分，并将边界条件代入得式中的常数C可由平均流速求得，根据平均流速的定义式可得将速度分布方程代入并积分，得（3-24）第39页，课件共90页，创作于2023年2月于是，不可压缩流体在套管环隙间作轴向稳态层流时的速度分布方程为：由此解得：第40页，课件共90页，创作于2023年2月4.2.2速度分布方程的应用（1）求套管环隙间的最大流速套管环隙间的最大流速可以根据速度分布方程，以u对r求导得到：解得：将其代回速度分布方程得：第41页，课件共90页，创作于2023年2月（2）求套管环隙间的沿程压力降由此可见，沿流动方向动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，而静压力不变。于是单位管长的压力降就可以表示为第42页，课件共90页，创作于2023年2月（3）求流体在套管中的流动阻力由牛顿粘性定律得内管外壁处的剪应力此处取“+”是因为在内管外壁面处，速度梯度与r方向相同将套管环隙速度分布方程代入得：内管外壁对流体流动产生的阻力第43页，课件共90页，创作于2023年2月将套管环隙速度分布方程代入得：外管内壁对流体流动产生的阻力外管内壁处的剪应力此处取“-”是因为在外管内壁处，速度梯度与r方向相反第44页，课件共90页，创作于2023年2月4.2套管环隙间的周向稳态层流流体在两个转动的长同心圆筒环隙间的周向流动(θ方向)也是一种常见的流体流动形式。用于测量粘度的旋转粘度计就是根据此原理制成的。如图所示，同轴双层圆筒间充满不可压缩的牛顿型流体，内筒的外半径为r1，外筒的内半径为r2，当内筒以角速度ω1旋转、外筒以角速度ω2旋转时，将带动环隙内流体按切线方向作稳定的层流流动，假设圆筒足够长，端效应可以忽略，求流体在两圆筒之间的速度分布及壁面上的粘性摩擦力。第45页，课件共90页，创作于2023年2月4.2.1数学模型的建立与化简由于是轴对称流动，因此同样取柱坐标系研究比较方便,，取r为半径方向，z为轴向，θ为周向。

(1)连续性方程的建立与化简柱坐标下的连续性方程为由于流体仅沿θ方向流动，所以因此，连续性方程可以化为：第46页，课件共90页，创作于2023年2月(2)r方向运动方程的建立与化简r方向运动方程可以化简为简化条件第47页，课件共90页，创作于2023年2月同理，θ方向和z方向上的运动方程可分别简化为θ方向z方向4.2.2微分方程的求解由于所以uθ仅仅是r的函数故θ方向化简后的运动方程可以写作常微分方程的形式(3-47)第48页，课件共90页，创作于2023年2月方程的边界条件为对常微分方程(3-47)连续两次积分得：将边界条件带入得于是，流体在两圆筒间的速度分布方程为(3-50)第49页，课件共90页，创作于2023年2月4.2.3速度分布方程的应用——计算流动阻力及测量粘度根据第3章的结论，柱坐标系下θ方向上的剪应力与形变速率的关系为由于ur=0，故上式可简化为将速度分布方程代入上式，化简可得如果外筒固定不动，内筒以角速度ω

转动(即。此时，作用于内筒外壁上的剪应力为第50页，课件共90页，创作于2023年2月若圆筒的长度为L，则可以得到作用于内筒外壁上的摩擦力为内筒绕轴旋转的总摩擦力矩为由此可得粘度的表达式上式即为利用转筒粘度计测量流体粘度的计算公式，测量时由于粘度计的L,ω,r1,r2等参数都是固定的，因此从粘度计指针偏转角度（与扭矩成正比）就可以直接读出粘度的数值。第51页，课件共90页，创作于2023年2月第5节降膜流动5.1降膜流动?如右图所示，不可压缩流体沿倾角为β的平板表面作降膜流动。取流动方向为x方向，以壁面的外法线方向作为y方向，以液膜宽度方向作为z方向，坐标原点取在壁面上，建立起直角坐标系。在自身重力的作用下，液体在倾斜或垂直的壁面上呈膜状下流。此时液膜的一侧紧贴壁面，另一侧则为自由表面，与气体接触。本节主要讨论液膜内流体处于稳态层流时液膜内的速度分布和流动阻力问题。5.2降膜流动数学模型的建立：第52页，课件共90页，创作于2023年2月x方向y方向z方向在直角坐标系下，以全压力梯度表示的不可压缩流体运动方程为连续性方程由于降膜流动具有自由表面，因此运动方程应采用以全压力梯度表示的微分方程。第53页，课件共90页，创作于2023年2月5.3运动方程的简化：5.3.1连续性方程的简化：连续性方程uy=uz=0（一维流动）得：第54页，课件共90页，创作于2023年2月5.3.2运动方程的简化：x方向(3):uy=uz=0（一维流动）简化条件：将上述简化条件代入后，x方向运动方程可简化为：第55页，课件共90页，创作于2023年2月同理，y方向和z方向的运动方程简化后的形式分别为所以ux仅仅是y的函数因此x方向的运动方程可以写作(3-57)第56页，课件共90页，创作于2023年2月对y方向的运动方程积分，得：上式对x微分，得：代入(3-57）式，可得：上式左边是一个关于x的函数，上式右边是一个关于y的函数，因此，若要使上式成立，等式两边都必须等于某一常数C

第57页，课件共90页，创作于2023年2月上式对x积分得：代入得：由于在液膜表面处(y=δ)，p=p0(大气压)，而且表面上的大气压力不随x而变化，由此可得代入得液膜中的压力分布方程为上式对x求导得：第58页，课件共90页，创作于2023年2月把上式改写为：方程的边界条件为：(3-58)对式(3-58)积分，并将边界条件代入得：——流体作层流降膜流动时液膜内速度分布方程所以式(3-57)变为5.4方程的求解：第59页，课件共90页，创作于2023年2月5.5速度分布方程的应用：从速度分布方程在z方向单位宽度平板上通过的流体体积流量为平均流速可以看出，当y=δ时（即在气液相界面处），流速取得最大值（1）求液膜内的最大流速（2）求液膜厚度第60页，课件共90页，创作于2023年2月由此可得液膜厚度（3）求流动阻力（对壁面的曳力）壁面处的剪应力：作用在长度为L，宽度为b的斜面上的曳力F为第61页，课件共90页，创作于2023年2月降膜流动类型的判别：依据——雷诺数(Re)当Re<30降膜流动为层流当30<Re<250降膜流动为涟漪流当Re>250降膜流动为湍流注意此时雷诺数的定义中d要用当量直径de来代替b——液膜的宽度当b>>

δ时第62页，课件共90页，创作于2023年2月如果液膜沿垂直固体壁面下降，相当于β

=π

/2。这时膜内速度分布变为：最大速度变为：液膜厚度变为：壁面处的剪应力变为：单位宽度上的摩擦曳力变为第63页，课件共90页，创作于2023年2月例3.2某流体的运动粘度为，密度为，欲使该流体沿宽为1m的垂直平壁下降的液膜厚度达到2.5mm，则液膜下降的质量流率应为多少？解：题意分析，要求质量流率，现在液膜厚度已知，平壁宽度已知，如果知道了平均流速，体积流率就知道了，进而可以求得质量流率。流速可以用下面的公式来计算因此，单位宽度的质量流率为上述计算结果仅当液膜内流动为层流时才是正确的，因此需要验算雷诺数。由此可知，流动确为层流，上述计算结果是正确的。第64页，课件共90页，创作于2023年2月作业：P73:3第65页，课件共90页，创作于2023年2月第6节爬流一、爬流的定义爬流又称为蠕动流，是指雷诺数很低的流动(Re<1时即为爬流）。二、爬流的特点由于作爬流流动的流体雷诺数很小，因此与粘性力相比，惯性力可以忽略不计？。因为雷诺数的物理意义就是惯性力与粘性力之比本节主要研究流体作爬流流动时的速度分布和流动阻力问题第66页，课件共90页，创作于2023年2月6.1爬流的运动方程的建立重力场中不可压缩流体的运动方程的向量形式为上式两边同乘以流体的体积V得：式中，与m有关的项代表惯性力（因为质量是惯性力大小的量度），将其忽略以后，方程可简化为该方程即为流体作爬流流动的运动方程，又称作斯托克斯方程。第67页，课件共90页，创作于2023年2月6.2爬流的运动方程的求解现以小球在流体中的自由沉降为例来说明斯托克斯方程的求解过程。如右图所示，一半径为r0的小球在流体中以u0的速度作匀速自由沉降运动。根据相对运动原理，可以将小球的下落运动视为小球不动，流体以u0的速度匀速向上流动。选择球坐标，以小球的中心作为坐标原点，θ

方向为余纬度方向(取沿流动方向为正θ∈[0,π])，φ方向为方位角φ

∈[0，2π]。以流动方向作为z方向。第68页，课件共90页，创作于2023年2月（1）球坐标系下爬流的斯托克斯方程r方向θ方向φ方向（2）斯托克斯方程的简化其中，由于流动是稳态的，所以由于流动是轴对称(z轴)的，因此第69页，课件共90页，创作于2023年2月r方向θ方向φ方向方程的边界条件为(无穷远处)p0为外界流体的压力将简化条件带入上述方程，爬流的运动方程可简化为第70页，课件共90页，创作于2023年2月（3）斯托克斯方程的求解上述由3个偏微分方程组成的偏微分方程组，可采用分离变量法求解，求解的结果为6.3爬流运动方程解的应用:求小球在沉降过程中的流动阻力小球在沉降过程中受到的阻力来自于流体对小球施加的曳力，形体曳力Fdf摩擦曳力Fds第71页，课件共90页，创作于2023年2月（1）形体曳力Fdf＝？形体曳力来自于压应力，压应力的方向始终垂直于小球表面，而曳力的方向则与流动方向相同，因此形体曳力应该等于小球表面上的压应力在流动方向上的分量在整个小球表面上的积分。即，其中，微元面积积分方向为：θ从0到π不可压缩粘性流体作用于圆球上的压应力为：将速度分布和压力分布方程代入上式，得第72页，课件共90页，创作于2023年2月在小球表面上，压应力为：将其代入形体曳力的计算公式中，积分得：（2）摩擦曳力Fds＝？摩擦曳力是由表面剪应力引起的，小球表面上所受到的摩擦剪应力的方向为小球表面的切线方向，即uθ方向。而摩擦曳力的方向与流体的主流方向一致，即u0方向。所以摩擦曳力应为小球表面的摩擦剪应力在流动方向上的分量在整个球面上的积分。即第73页，课件共90页，创作于2023年2月不可压缩粘性流体作用于圆球上的剪应力的表达式为：于是，在球面上小球所受的剪应力为：将其代入摩擦曳力的计算公式中，积分得：第74页，课件共90页，创作于2023年2月所以，小球所受到的总曳力由此可以看出，小球在流体中作爬流流动时，流动阻力1/3来自于形体曳力，2/3来自于摩擦曳力。根据绕流流动阻力系数的定义，可得爬流时的阻力系数为斯托克斯方程是忽略全部惯性力后的求解结果，当Re>1时，流体流动的惯性力不可忽略，这时采用斯托克斯方程求解得到的结果误差较大。奥森（Oseen）在1910年将运动方程作一级近似，保留部分惯性力后求解，得到的结果为：第75页，课件共90页，创作于2023年2月Stocks公式和Ossen公式计算得到的爬流阻力系数结果的比较Reexperimentstokeserrorossenerror0.0531475.6451.98-4.97%456.48-4.02%0.2437109.698.48-10.14%102.98-6.04%0.727738.8232.98-15.04%37.48-3.45%1.49319.416.08-17.14%20.586.06%与Stokes公式相比，Ossen公式计算结果更准确，其适用范围Re<5第76页，课件共90页，创作于2023年2月例：直径为80μm，密度为3000kg/m3的固体粒子在25℃的水中自由沉降，求其沉降速度。水的粘度为0.897×10-3Pa·s。解：固体粒子在流体中的沉降过程中，开始时处于加速状态，当达到稳定后，粒子的速度将趋近于一恒定值，这时的速度称为沉降速度。当达到稳定状态时，作用于粒子上的合外力——重力、浮力和阻力——的代数和应该等于零，即其中，r0为小球的半径，ρs为小球的密度，ρ为流体的密度从上式可以解出最后要验证一下流动是否为爬流第77页，课件共90页，创作于2023年2月二、势流运动方程——欧拉方程因为作势流流动的流体可以不可虑粘性力的作用，因此重力场中的运动方程可以简化为该方程又被称为的欧拉方程第7节势流与势函数一、势流的定义不考虑粘性力影响的流动就是势流流动，理想流体的流动就是一种势流流动。第78页，课件共90页，创作于2023年2月（二）流体的旋度与速度势函数1、流体的旋度流体流动时，流体质点除了在流动方向有运动以外，在粘性力的作用下还可能产生旋转运动，用于描述流体质点旋转程度的物理量称为流体的旋度，其定义为式中rotu为流体的旋度，ω为流体旋转的角速度。当流体作无旋运动时，流体的旋度rotu=0，这时有第79页，课件共90页，创作于2023年2月2、速度势函数当流体作无旋运动时，存在着一个与流体流动在三个方向分速度（ux，uy，uz）都有关的流动函数

φ

(x,y,z)，使得该函数就被称为速度势函数，简称势函数。为什么存在势函数？证明如下：由于而即同理而即而即第80页，课件共90页，创作于2023年2月由此可见，上述定义的势函数满足流体的旋度rotu=0，所以对于作无旋流动的流体必然存在着这样的一个势函数φ。引入速度势函数的目的在于将三