微分几何模拟试题 A+答案

河南科技学院2005~2006学年第二学期期终考试《高等数学》试卷A第PAGE２页共4页微分几何模拟试题（A）+答案适用班级：注意事项：1.在试卷的标封处填写院（系）、专业、班级、姓名和准考证号。2.考试时间共100分。3.本试卷需A4演草纸（3）张。题号一二三四五合计合分人签字分数2014161634100得分评卷人得分一、填空题（每小题2分，共20分）1．单位正交向量和所确定的平面是_____________。2．对曲线上某点，若有_____________，则称这点为曲线的逗留点。3．切线和固定方向作固定角的曲线称为_____________。4．曲面上两方向和垂直的充要条件是_____________。5．球极投影给出球面（除北极外）到平面的一个变换是_______变换。6．球面表示的第一基本形式是原曲面的_____________。7．曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的_____________。8．曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是____________。9．直纹曲面的高斯曲率满足_____________.10．抛物面在点沿方向的法曲率_____________评卷人得分二、判断题（正确的打√，错误的×）（每小题2分，共14分）1．曲线的曲率的几何意义是曲线的副法向量对弧长的旋转速度.（）2．高斯曲率K与第二基本形式有关，不是内蕴量.（）3．在曲面的非脐点处，总有二个主方向.（）4．直纹面上任一曲线都作为直纹面的导线.（）5．曲面上联结任意两点的曲线中,测地线最短.（）6．曲面上与曲线族共轭的一族曲线是曲线族。（）7．如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。（）评卷人得分三、选择题（每小题2分，共16分）1．向量函数平行于固定平面的充分必要条件是（）A．..B．C．D．.2．若两曲线之间建立了一一对应，则下列那个结论不成立（）A．若对应点的切线平行，则主法线平行；B．若对应点的切线平行，则副法线平行；C．若对应点的主法线平行，则对应点的切线成定角；D．若对应点的副法线平行，则对应点的切线成定角；3．下列哪个量不能刻画曲面的弯曲（）A．第一基本形式；B．第二基本形式；C．法曲率；D．高斯曲率；4．下列关于可展曲面的描述不正确的是（）A．可展曲面或是柱面、或是锥面、或是空间曲线的切线曲面；B．可展曲面的高斯曲率恒等于零；C．可展曲面是单参数曲面族的包络；D．可展曲面可以与平面成等距对应；5．关于法曲率下列表达式中正确的是（）A.B.C.D.6．下列表达式中错误的是（）A．曲面上如果有直线，则直线一定是曲面上的渐近线；B．曲面上如果有直线，则直线一定是曲面上的测地线；C．曲面上非直线的曲线是测地线，则除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线；D．若除了曲率为零的点外，曲线的副法线重合于曲面的法线，则曲面上非直线的曲线是测地线；7．关于双曲点，下列表达式中正确的是（）A.B.C.D.8．下列表达式中错误的是（）A．极小曲面上的点都是双曲点或平点；B．如果曲面的平均曲率为零，则渐近网构成正交网；C．曲面上一点处沿相互为直角的方向的法曲率之和为常数；D．如果曲面的平均曲率为零，则渐近网构成共轭网；评卷人得分四、计算题（共16分）1．求螺线在点处的密切平面的方程。（8分） 2．求平面族的包络。（8分）评卷人得分五、证明题（共34分）1．证明：旋转面的坐标网是正交的。（8分）2．证明对于正螺面处处有。（8分）3．证明：曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。（9分） 4.给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角。求证是一条平面曲线。（9分）微分几何模拟试题参考答案及评分标准（A）（考试）答案适用班级：一、填空题（每小题2分，共20分）本题主要考查学生对基本理论掌握程度和分析问题的能力。评分标准：所填答案与标准答案相同，每题给2分；填错或不填给0分。1．密切平面2．3．一般螺线4．5．保角变换 6．第三基本形式7．主曲率8．L=N=09．小于等于零10．二、判断题（正确的打√，错误的×）（每小题2分，共14分）本题主要考查学生对基本概念和结论的掌握程度和判断问题的能力。评分标准：每小题判断正确给1分，判错或不判给0分。题号1234567答案××√×××√三、选择题（每小题2分，共16分）本题主要考查学生对基本理论的掌握程度和辨别问题的能力。评分标准：本题属单项选择，每小题选择正确给2分，选错、多选或不选给0分。题号12345678答案C.DACBDAD四、计算题（每小题8分，共16分）本题主要考查学生对基本问题的掌握程度以及计算能力。评分标准：1、所答完整，每小题给相应的满分；全错或不答给0分。2、部分正确可根据对错程度，依据答案评分点给分。1．解：把点代入螺线的方程，得由于所以把代入得…5分所求密切平面的方程为即展开整理得………………8分2.解：包络为…5分化简即………………8分四、证明题（共34分）1．证明：，由此得到………………4分即坐标网是正交的.………………8分2．证明：所以………………3分又因为和所以………………6分因此………………8分3．证明：因为所以3分所以切平面的方程为即6分它在三轴上的截距分别为所以四面体的体积9分4．证明：设曲面上曲率线的方程为因为，所以.……………2分两边对求s微商得由罗