鸽巢问题经典例题10道

鸽巢问题经典例题10道鸽巢问题，或称为抽屉原理，是一个经典的组合数学问题。它通常形式化为一个简单的问题：如果有N个鸽子和M个巢穴，其中N>M，每个鸽子必须被安置在某个巢中，那么无论如何都会有至少一个巢中有两个或多个鸽子。这个问题看似简单，却包含着组合数学的重要思想和方法。在此，我们将介绍10个关于鸽巢问题的经典例题，以加深读者对这个问题的理解，并提高解决类似问题的能力。

例1：12个人坐在一张圆桌旁，问其中至少有多少个人相邻？

解析：对于这个问题，我们可以解决的方法是用抽屉原理。假设有n个人坐在一起，那么他们之间必定有至少n-1个间隙，每个间隙可以放置一个人。那么，12个人的情况下，他们之间最多有11个间隙（每个人坐左右两个间隙之间），所以最少有两个相邻的人。答案为2。

例2：有一个装有红、黄、蓝三种颜色的球各6个的盒子，从中任取5个球，必定存在至少2个颜色相同的球。

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，就是假设我们要从盒子中取出5个球，那么每个球可以看作一个“鸽子”，每个颜色的球可以看作一个“鸽巢”。因此，我们一共有15个“鸽巢”和5个“鸽子”，如果每个球所选的颜色都不同，也就是每个颜色只取一个球，那么我们最多只能选择3个颜色。但由于我们要选择5个球，这意味着我们必须至少选一种颜色的两个球，因此可以证明，无论如何都会存在至少2个颜色相同的球。答案为2。

例3：有1到100一百个整数，其中任取两个数若不相等，则它们之差不等于7，求最多能取出多少个数？

解析：先假设最多能选出n个数，令第i个数为a_i，则有a_1<a_2<...<a_n。由题意可知，对于任意1<=i<j<=n，a_j-a_i≠7。由此可以列出不等式组：a_2-a_1≥8，a_3-a_2≥8，...，a_n-a_(n-1)≥8。两边相加得：a_n-a_1≥8(n-1)，即a_n≥8(n-1)+a_1。又因为a_1>=1，所以a_n≥8n-7。而因为a_i-a_1≤i-1，所以a_n-a_1≤n-1，由此得到8n-7≤n-1，即n≤14。因此最多能取出14个数。

例4：假设一个班级里有50人，他们的生日都是在1月1日至12月31日之间随机分布的。那么这个班级中至少有两个人的生日在同一天的概率是多少？

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，假设我们有50个人的生日需要去匹配日历上的365天，每个人为一个“鸽子”，每一天为一个“鸽巢”。那么，我们一共有50个“鸽子”和365个“鸽巢”。由于是随机分布，可以将每个“鸽子”所在的“鸽巢”看作独立的，那么至少有两个人生日相同的概率就等于至少有一对人生日相同的概率，也就是1-没有一对人生日相同的概率。因此，我们可以计算出没有一对人生日相同的概率：

P（没有一对人生日相同的概率）=（365/365）×（364/365）×（363/365）×...×（365-49/365）

其中，（365-49/365）表示第50个人生日不与前面的任何一位重复，也就是不在前49天之内。带入计算，得到P（没有一对人生日相同的概率）≈0.08。因此，至少有两个人生日相同的概率就是：

P（至少有两个人生日相同的概率）≈1-0.08=0.92

答案为0.92。

例5：在[1,100]的整数中，任取51个数，证明其中至少有一对数，满足它们的和或者差可以被7整除。

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，我们将所有的整数看作一个“鸽子”，把7个余数（0、1、2、3、4、5、6）看作7个“鸽巢”。那么，在[1,100]中，每个数的余数可能是0、1、2、3、4、5、6中的一个，所以我们一共有100个“鸽子”和7个“鸽巢”。由于51>7×6+1，因此无论如何，必然会有至少两个数它们的余数相同，而它们的和或差也必定可以被7整除。答案为1。

例6：有n个整数，每个整数不超过n，证明其中至少有一个数重复出现了。

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，我们将这n个整数看作“鸽子”，把1到n共n个整数看作“鸽巢”。那么，由于每个整数不超过n，所以每个“鸽子”都可以放到1到n中的某个“鸽巢”中，但因为有n+1个“鸽子”，所以必然会有至少两个“鸽子”放到同一个“鸽巢”中，也就是至少有一个数重复出现了。答案为1。

例7：有n+1个菜肴，其中有n个是辣的，n个人每人最多吃一种辣菜，问至少需要多少个人才能保证辣菜能被所有人尝到？

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，我们将n个辣菜看作“鸽子”，把n+1个菜肴看作“鸽巢”。那么，每个人尝到的菜肴可以看作一个“鸽子”，我们需要求的就是最小需要多少个“鸽子”才能将所有的“鸽子”匹配到“鸽巢”上。由于每个人最多尝到一种辣菜，所以我们需要假设有k个人来尝辣菜，那么一定有n+1-k道菜没有人尝。因此，我们需要保证每道辣菜至少被一人尝到，才能保证辣菜能被所有人尝到，即需要满足：

k>=n+1-k=>k>=(n+1)/2

因此，我们需要至少(n+1)/2个人才能保证辣菜能被所有人尝到。答案为（n+1）/2或(n+2)/2（向上取整）。

例8：有n个人参加一个考试，每个人都必须回答其中的m个问题。如果一个人的答案全部相同，则这个人就被认为是作弊的。已知每个问题都有两种答案，求最多有多少人能参加该考试，使得没有任何一个作弊者被发现。

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，我们将n个人看作“鸽子”，把2^m-1个可能的答案（其中1个答案是错的）看作“鸽巢”。因此，我们一共有n个“鸽子”和2^m-1个“鸽巢”。由于有两种答案，所以每个人最多可以选择其中的一种答案，因此每个“鸽子”最多可以放到2个“鸽巢”中，也就是说，如果每个“鸽子”都是有区分的，那么最多只能放到2n-1个“鸽巢”中。但是，我们知道，如果一个人的答案全部相同，则这个人就被认为是作弊的，因此我们需要排除掉这些情况。因为一共有2^m-1个“鸽巢”，所以如果我们选择n+1个“鸽子”，那么他们至少填入了2个“鸽巢”，因此，那两个“鸽巢”中必定没有相同答案的“鸽子”。而当我们选择的“鸽子”数目超过了2(2^m-1)，也就是4n-2时，根据鸽巢原理，必然出现至少一个“鸽巢”中有至少3个“鸽子”，这意味着，至少有两个“鸽子”的答案相同，因此，最多有4n-3个人参加考试时，不可能有任何一个作弊者被发现。答案为4n-3个。

例9：有20个学生，每个学生都从10个话题中随机选择并写一篇作文，但两篇作文题目一模一样的概率很小。求题目库中至少有多少话题？

解析：第一次考虑，这个问题似乎就是一个简单的概率问题，然而，相同题目的概率并不容易算出，因此，我们将这个问题转化为鸽巢问题。将这20篇作文看作“鸽子”，把每个话题看作一个“鸽巢”（因为我们需要让鸽巢的数量最小），那么一共有20个“鸽子”和x个“鸽巢”。根据鸽巢原理，我们需要保证每个“鸽巢”中至少有一个“鸽子”，也就是20个“鸽子”中必须有至少20个不同的“鸽巢”，即x≥20。另一方面，如果我们将题目库中的话题数量设为y，那么一篇作文选择的话题就相当于从y个“鸽巢”中选择了1个“鸽巢”，因此，一篇作文的话题选择是一个从20个“鸽子”中选y个“鸽子”且没有相同“鸽子”的过程，通俗的说，就是从20个不同的数中选y个数，这个过程的总数目为C(20,y)。由于一共会有20篇作文，因此会有20×C(20,y)种不同的选择方式，而同样的话题被选择两次的情况就是20×C(20,y)-C(20,y)^2，因此，我们需要保证同样的话题不会被选择两次，也就是20×C(20,y)-C(20,y)^2≤C(y,1)×20，即C(20,y)≤(C(y,1)×20+C(20,y)^2)/20，带入计算，我们可以得出当y≥7时，该不等式成立，因此，题目库中至少有7个话题。答案为7。

例10：某工程项目需要采购2000只机器人，并分配到n个小组作为装配任务。如果每个小组至少需要1只机器人，且每个小组分配到的机器人数不能超过1000只，证明：无论如何分配，必然有一个小组至少分配到了4只机器人。

解析：将这个问题转化为鸽巢问题，将2000只机器人看作“鸽子”，将n个小组看作“鸽巢”。那么，每个小组分配到的机器人数可以看作一个“鸽子”。我们需要保证无论如何分配，每个小组至少需要1只机器人，因此，我们需要保证每个“鸽巢”中至少要有1个“鸽子