2019中考数学试题分类汇编考点22：勾股定理(含解析)

2019中考数学试题分类汇编：考点22勾股定理一.选择题（共7小题）.（2019-滨州）在直角三角形中，若勾为3,股为4,则弦为（ ）A.5B.6C.7D.8【解答】解：•・•在直角三角形中，勾为3,股为4,，弦为,'3；Y?=5.故选：A.2.（2019"枣庄）如图，在RtAABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,∙.∙∠ACB=90°,CD⊥AB,.∙.∠CDA=90°,.∙.NCAF+NCFA=90°,NFAD+NAED=90°,∙.∙AF平分∠CAB,.∙.∠CAF=∠FAD,.∙.∠CFA=∠AED=∠CEF,.∙.CE=CF,•「AF平分∠CAB,NACF=NAGF=90°,.∙.FC=FG,∙.∙NB=NB,NFGB=NACB=90°,.,.△BFGsABAC,/.K.AB蝮,∖∙AC=3,AB=5,NACB=90°,.∙.BC=4,・'"JPG5 3VFC=FG,5应'解得：FC=∙∣,即CE的长为∣∙.C故选：A.3.(2019・泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,・「每一个直角三角形的面积为：yab=∕×8=4,4×77ab+(a-b)2=25,.∙.(a-b)2=25-16=9,；.a-b=3,故选：D.4.(2019・温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()A.20【解答】解：设小正方形的边长为x,∙.'a=3,b=4,.∙.AB=3+4=7,在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72,整理得，X2+7X-12=0,解得X=嗯史或X=Wi(舍去)，・•・该矩形的面积二-7+-97 -7÷∙/97(—^j→3)(-+4)=24,Ξ Ξ故选：B.5.(2019∙娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正【解答】解：•・•小正方形面积为49,大正方形面积为169,・•・小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得，AC2+7AC-60=0,蛆「且BCl2AB^fJ，解得AC=5,AC=-12（舍去），故选：D.（2019・长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米【解答】解：：52+122=132,・•・三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，，这块沙田面积为：y×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.故选：A.7.（2019・东营）如图所示，圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A.3.TΓ,∏7B.弓C.—ɪi-ɪ— D.ɔ1-1-TI2【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长.在RtAADC中，∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长，AD=1.5∏,所以AC=；/卜日6'故选：C.二．填空题（共8小题）8.（2019・吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4,0）,B（0,3）,以点A为圆心,AB长为半径画弧，交X轴的负半轴于点C,则点C坐标为」^1，0^.【解答】解：•二点A,B的坐标分别为（4,0）,（0,3）,.∙.OA=4,OB=3,在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=-Uy2=5,.∙.AC=AB=5,.∙.OC=5-4=1,・•・点C的坐标为（-1,0）,故答案为：（-1,0）,9.（2019-玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是2<AD<8D【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.A g在RtAABE中，∙.∙∠E=30°,AB=4,.∙.AE=2AB=8,在RtAABF中，AF=±∙AB=2,,AD的取值范围为2<AD<8,故答案为2<AD<8.（2019•襄阳）已知CD是AABC的边AB上的高，若CD=√1,AD=1,AB=2AC，则BC的长为2'；三或2-：下.【解答】解：分两种情况：①当AABC是锐角三角形，如图1,∖∙CD⊥AB,.∙.∠CDA=90°,VCD=/3，AD=1,.AC=2,VAB=2AC,.AB=4,.BD=4-1=3,.BC=.CL<τni∣-,二落卜）Z=2∙J'3;②当AABC是钝角三角形，如图2,同理得：AC=2,AB=4,.BC=.CDL⅛D=%•工综上所述，BC的长为2∙门或2∙..∙7.故答案为：2∙月或2√Γ.（2019・盐城）如图，在直角AABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使AAPQ是等腰三角形且ABPQ是直角三角形，则AQ=F30CPB【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ,∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x,•「PQ〃AC,.•.△BPQsABCA,BA^⅛C,10~κx10=6X=N.∙.AQ=∙154.②当AQ=PQ,∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y.•「△BQP—BCA,.⅛MAC-BC-，-ɪlɔɪFX，,、，奥,∙y..综上所述，满足条件的AQ的值为牛或牛.（2019•黔南州）如图，已知在AABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且NBAC=45°,BD=6,CD=4,则AABC的面积为60.SDC【解答】解：∙.∙AD⊥BC,BE⊥AC,.∙.NAEF=NBEC=NBDF=90°,∙.∙∠BAC=45°,.∙.AE=EB,∙NEAF+NC=90°,NCBE+NC=90°,.∙.NEAF=NCBE,.,.△AEFSBEC,.AF=BC=10，设DF=x.•△ADCsABDF,DCDH',,=工'整理得X2+10X-24=0,解得x=2或-12（舍弃），.AD=AF+DF=12,.•・Saabc4・BC・AD='X10×12=60.故答案为60.13.（2019∙滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上，若AE=√ξ,ZEAF=45o,则AF的长为里丝ɔ【解答】解：取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=X,,・,四边形ABCD是矩形,.*.ZD=ZBAD=ZB=90o,AD=BC=4,.*.NF=jJ^2x,AN=4-X,,.∙AB=2,ΛAM=BM=I,VAE=√5,AB=2,ΛBE=1,ʌME=VBJ(2+BE2=√2,,.∙ZEAF=45o,ΛZ≡E+ZNAF=45o,,.,ZMAE+ZAEM=45o,.*.ZMEA=ZNAf,Λ∆AME^∆FNA,.AM=ME,,FN^AN,V2K4-s'解得:χgʌaf=√ad2+dfU114.（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，AABC中，ZACB=90o,AC+AB=10,BC=3,求AC的长，如果设AC=X，则可列方程为二2⅛=O^χ）.【解答】解：设AC=x,∙.∙AC+AB=10,.∙.AB=10-x.•・•在RtAABC中，∠ACB=90°,.∙.AC2+BC2=AB2，即χ2+32=(10-x)2.故答案为：X2+32=(10-X)2.15.（2019-黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20Cm（杯壁厚度不计）.蚂蚊用【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A',连接A'B,则A’B即为最短距离，A'B=,-AyD2+βΓ∣162+l22=20(cm).故答案为20.三.解答题(共2小题)16.(2019∙杭州)如图，在AABC中，∠ACB=90°,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E,连结CD.(1)若∠A=28°，求NACD的度数.(2)设BC=a,AC=b.①线段AD的长是方程χ2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由..∙.NB=62°,VBD=BC,.∙.NBCD=NBDC=59°,ΛZACD=90°-ZBCD=31(2)①由勾股定理得，AB=v'ΛC2+BC2=V'a2÷b2,解方程χ2+2ax-b2=O得,X=2a' +∖∙,a^--∣-}0--a,・∙・线段AD的长是方程χ2+2ax-b2=0的一个根;②VAD=AE,AE=EC=~",由勾股定理得，a2+b2=(-j^b+a)2,整理得，ɪ17.(2019・台湾)嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1,R2,R3,其行经位置如图与表所示：路径编号图例行径位置第一条路径 R1 _ A→C→D→B第二条路径 R2 … A-E—D—F-B第三条路径 R3 - A→G→B已知人、8、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断％、R2