24.2.2直线与圆的位置关系

24.2.2直线和圆的位置关系（3）第二十四章圆

24.2.2直线与圆的位置关系(3)在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长·OPAB切线与切线长是一回事吗？切线长概念··它们有什么区别与联系呢？24.2.2直线与圆的位置关系(3)

切线和切线长是两个不同的概念：1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量；

2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长OPAB比一比24.2.2直线与圆的位置关系(3)

OABP思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12折一折24.2.2直线与圆的位置关系(3)请证明你所发现的结论。APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论证一证24.2.2直线与圆的位置关系(3)PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB

切线长定理24.2.2直线与圆的位置关系(3)APOB若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABM试一试24.2.2直线与圆的位置关系(3)APO。B若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB

∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC24.2.2直线与圆的位置关系(3)。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想24.2.2直线与圆的位置关系(3)（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB=

PABCO60°（4）OP交⊙O于M，则

，ＡＢ

ＯＰＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M⊥牛刀小试（3）若∠P=70°，则∠AOB=

°110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA

OA=324.2.2直线与圆的位置关系(3)已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm牛刀再试24.2.2直线与圆的位置关系(3)探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有的全等三角形△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）写出图中所有的等腰三角形△ABP△AOB（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC24.2.2直线与圆的位置关系(3)例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：AC∥OPPACBDO例题讲解24.2.2直线与圆的位置关系(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。24.2.2直线与圆的位置关系(3)我们学过的切线，常有五个性质：1、切线和圆只有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个24.2.2直线与圆的位置关系(3)1、确定圆的条件是什么？圆心与半径2、叙述角平线的性质与判定性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心ACBO一、知识复习24.2.2直线与圆的位置关系(3)对一块三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。思考ABC24.2.2直线与圆的位置关系(3)三角形的内切圆CBADFEOr24.2.2直线与圆的位置关系(3)思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。

2．如图2，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠BAC,∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC24.2.2直线与圆的位置关系(3)3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？

4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？

作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。

只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。IFCABED24.2.2直线与圆的位置关系(3)作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。

I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。

DMN24.2.2直线与圆的位置关系(3)1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。2、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。O图2ABC24.2.2直线与圆的位置关系(3)

外心（三角形外接圆的圆心）

名称确定方法图形性质三角形三边中垂线的交点

（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点

（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．24.2.2直线与圆的位置关系(3)

1.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.

2.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______,OB平分∠______,OC平分∠______,.(2)若∠BAC=100º,则∠BOC=______.填空:1无数内部COBA

1.三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.

2.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______,OB平分∠______,OC平分∠______,.(2)若∠BAC=100º,则∠BOC=______.

BAC

140º

ABC

ACB

24.2.2直线与圆的位置关系(3)例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。分析：

∠O=?

∠1+∠3=?

O为△ABC的内心

BO是∠ABC的角平分线

CO是∠ACB的角平分线

OA243BC124.2.2直线与圆的位置关系(3)解：

∵点O为△ABC的内心∴∠1＝∠2＝

∴∠BOC=1800-(∠1+∠2)=1800-(250+37.50)=117.50∴∠BOC=117.50C1O243BA24.2.2直线与圆的位置关系(3)CABRrOD例2、求等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。解：由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆设内切圆切BC于D，连接OB，OD于是就有24.2.2直线与圆的位置关系(3)已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。CBAEDFOr