相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：比例的性质可以分为以下几个方面：（1）基本性质：对于比例式a:b=c:d，有ad=bc（其中bd≠0）。（2）反比性质：对于比例式a:b=c:d，有a:c=b:d（其中b≠0，d≠0）。（3）更比性质：对于比例式a:b=c:d，有a+b:c+d=a-b:c-d（其中b≠0，d≠0）。（4）合比性质：对于比例式a:b=c:d=e:f，有a+e:b+d:f+c=a:e:b:d:c:f（其中b≠0，d≠0，f≠0）。（5）分比性质：对于比例式a:b=c:d=e:f，有a:b:e:d:f:c（其中b≠0，d≠0，f≠0）。（6）合分比性质：对于比例式a:b=c:d=e:f，有a+b:a-b=c+d:c-d=e+f:e-f（其中b≠0，d≠0，f≠0）。（7）等比性质：对于比例式a:b=b:c=c:d=d:e=⋯=m:n（其中b≠0，c≠0，d≠0，e≠0，⋯，n≠0），有am=bn。示例剖析：比例的性质是解决相似三角形问题的基础，其中最基本的性质是基本性质，即对于比例式a:b=c:d，有ad=bc（其中bd≠0）。此外还有反比性质、更比性质、合比性质、分比性质、合分比性质和等比性质等。在解决具体问题时，我们需要根据问题的不同，选择合适的比例性质来运用。二、成比例线段的概念：1．比例的项：在比例式a:b=c:d（即a/b=c/d）中，a，b称为比例外项，c，d称为比例内项。特别地，在比例式a:b=b:c（即a/b=b/c）中，b称为a，c的比例中项，满足b²=ac。2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即a/b=c/d，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。3．黄金分割：黄金分割是一种特殊的比例关系，指的是将一条线段分成两条线段，使得其中一条线段与整条线段的比等于整条线段与另一条线段的比。如果线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AC²=AB×BC），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点。黄金分割点有两个。三、平行线分线段成比例定理：1．平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理指的是，如果两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例。具体地，如果l1//l2//l3，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。在解决相似三角形问题时，我们需要灵活运用比例的性质和平行线分线段成比例定理等知识，根据问题的不同，选择合适的方法来解决问题。线、高线和角平分线．则有：AM:AM=AH:AH=AD:AD=k（相似比）3．相似三角形的判定①AAA判定：两个三角形对应角相等，则这两个三角形相似．②AA判定：两个三角形有两个对应角相等，则这两个三角形相似．③SAS判定：两个三角形的一个角相等，另外两边分别成比例，则这两个三角形相似．④SSS判定：两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似．【小结】相似三角形的定义、性质和判定是初中数学中重要的内容，需要掌握好相似三角形的性质和判定方法，以便于后续的学习和应用。在应用中，相似三角形常常用来解决各种实际问题，如测量高楼、塔、桥梁等高度，计算太阳高度角、影长等。线、高线和角平分线的比例关系如下：在相似三角形中，相似比等于周长比，即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。如图，如果△ABC中的∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。如图，如果AB/BC=A'B'/B'C'，则△ABC∽△A'B'C'。如果两个三角形的两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。如图，如果AB/AC=A'B'/A'C'，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。在“A”字型中，如果DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且AD/AB=DE/BC。在“8”字型中，如果AB∥CD，则△AOB∽△COD，且AB/AO=CD/CO。如果四边形DEFG是△ABC的内接矩形，且E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，且DG/BC=AD/AB。斜“8”模型如图所示。1.当∠A=∠D时，根据相似三角形的性质，可得到△AOB∽△DOC，进而得到DA/O=BC/AO=AB/OC，其中AO×OC=BO×OD。2.图中展示了斜“A”字型基本图形，当∠AED=∠B时，根据相似三角形的性质，可得到△ABC∽△AED，进而得到AE/AB=AD/AC，其中AE×AC=AD×AB。3.当E点与C点重合时，得到△ABC∽△ACD，进而得到AC/AB=AD/BC，其中AC=AD×AB。4.当E点在AC的延长线上时，同样可以得到△ABC∽△AED，进而得到AE/AB=AD/AC，其中AE×AC=AD×AB。5.在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD垂直于BC于点D，根据射影定理可得到AD²=BD×CD，AB²=BD×BC，AC²=CD×CB，同时还可以得到∠B=∠CAD，∠C=∠BAD，以及AB²=AD²+BD²，AC²=AD²+CD²，BC²=AB²+AC²。6.已知AB∥EF∥CD，根据平行线的性质，可得到AB/EF=BD/DF=BC/CD，进而得到111/AB=1/BD+1/CD，以及111/EF=1/BD+1/DF，其中BD+DF=BC。7.在图中，AB垂直于BD，ED垂直于BD，AC垂直于EC，根据三角形相似的性质，可得到AB/BC=CD/DE=AC/CE，进而得到AB×DE=BC×CD，同时当C是BD的中点时，还可以得到△ABC∽△CDE∽△ACE，且∠ABC=∠CDE=∠ACE。十三、角平分线定理内角平分线定理：在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则有AB/BD=AC/CD。证明：过C作CE∥AD交BA延长线于E。∵CE∥AD，∴∠1=∠E，∠2=∠3又∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠E=∠3，∴AE=AC，AB/BD=AB/CE=AC/CD，∴AB/BD=AC/CD。外角平分线定理在△ABC中，∠BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有AB/BD=AC/CD。证明：过C作CE∥AD交AB于E。∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4又∵AD平分∠CAF，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE=AC，AB/BD=AB/CE=AC/CD，∴AB/BD=AC/CD。十四、线束模型若EF∥BC，则有EN/NF=EB/FC。若EF∥BC，则有EN/NF=EM/MF。例题1（2）已知x:y:z=1:3:5，则(x+3y-z)/(x-3y+z)=234/(xyz)。解析：设x=k，y=3k，z=5k。则(x+3y-z)/(x-3y+z)=(k+9k-5k)/(k-9k+5k)=4k/(-3k)=-4/3。又234/(xyz)=234/(15k^2)。∴(-4/3)=234/(15k^2)，解得k=√(-39/5)。代入原式得答案为-4/3。（3）已知2a=3b=4c，且abc≠0，则(a+b)/(c-2b)=11/3。解析：由已知得a=3/2b=2c。代入原式得(3/2b+2c)/(c-4c)=11/3，解得b=-8/3c。代入a=3/2b=2c，得a=-16/9c。∴(a+b)/(c-2b)=(-16/9c-8/3c)/(c-2(-8/3c))=11/3。答案为11/3。例题3如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC=∠AEB。（1）证明：由平行线性质可知，∠ADC=∠AEB，∠ADF=∠CAE，因此△ADF∽△CAE。（2）当AD=8，DC=6，点E、F分别是BC、AC的中点时，设BE=x，则CE=6-x。由勾股定理可得：AB^2=AD^2+BD^2=8^2+6^2=100BC^2=CD^2+BD^2=6^2+x^2AC^2=AD^2+DC^2=8^2+6^2=100AC^2=CE^2+AE^2=(6-x)^2+(AB/2)^2将上述方程联立解得x=3，AB=10，BC=√45，AC=10，因此直角梯形ABCD的面积为(AB+CD)×(AD/2)=(10+6)×8/2=56。（2）由题意可知，AMMBAB，∴APAMAB，PQACAB，QCACAB，∴AP2PQ，QC∴APPQQCD、E在AC上，F、G在BC上，且DEFG，求△ABC的面积．AFDBEGC图解析：连接DF、EG，设DEFGx，则DF3x，EG4x，由勾股定理得：x2（3x）2AD2x2（4x）2BC2解得x1，DF2，EG3，因此SABC1332．题目：已知△ABC中，AD=2DE，求证：AP=3AB解析：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H。∵HD∥PC，AD=2DE→AH/HD=2/1→AH=2HD，∵AH=2HD，PH=HD，∴AP=AH+PH=3PH，∵AH=BH+AB=2PH+AB，∴AB=BH=PH，∴AP=3AB。还可用如下辅助线来证此题：如图，连接BE，取BD的中点为F，连接EF交BC于G点，由中位线定理，得EF//AB//CD，∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，又∵∠EBA=∠GBE，∴∠GEB=∠GBE，∴EG=BG=BC/2，而GF=CD，EF=AB，EF=EG+GF，即：AB=BC/2+CD，∴AB=BC/2+CD；∴AB=BC/2+CD；巩固：已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点。（1）若BK=5CD/2，KC=3AB/2，求AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有AB=BC+CD；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AB/2时，线段AB、BC、CD三者之间有AB=2BC+CD。解析：（1）∵BK=5CD/2，KC=3AB/2，∴BK/KC=5/3，又∵CD∥AB，∴△KCD∽△KBA，∴AB/CD=KB/KC=5/3，又∵AB=BC+CD，∴BC=2/3AB，CD=1/3AB，∴AB=2/3AB+1/3AB，∴AB=AB；（2）当BE平分∠ABC，AE=AB/2时，∵AF=FD，∴BE∥AC，又∵BE平分∠ABC，∴∠BEC=∠CEB，∴∠BAC=∠BCE，∴△BAC∽△BCE，∴AB/BC=AC/CE=2/1，又∵AB=BC+CD，∴2BC+CD=3BC，∴CD=BC，∴AB=2BC+CD。当$n>2$且$AE=AD$时，有$BC+CD=(n-1)AB$。例题7：在$\triangleABC$中，$AD\perpBC$于$D$，$CE\perpAB$于$E$，且$\triangleABC$的面积是$\triangleBDE$面积的4倍，$AC=6$，求$DE$的长度。解析：由$\angleABD=\angleCBE$，$\angleEBD=\angleCBA$可得$\triangleABD\sim\triangleCBE$，$\triangleBED\sim\triangleBCA$。因此，$$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB},\quad\frac{DE}{AC}=\frac{S_{\triangleBED}}{S_{\triangleBCA}}=\frac{1}{4}$$代入$AC=6$，解得$DE=3$。巩固7：（1）如图，在等边$\triangleABC$中，点$D$、$E$分别在$BC$、$AC$上，且$BD=CE$，$AD$与$BE$相交于点$F$。证明：①$BD^2=AD\cdotDF$；②$AF\cdotAD=AE\cdotAC$；③$BF\cdotBE=BD\cdotBC$。（2）如图，四边形$ABCD$是菱形，$AF\perpAD$交$BD$于$E$，交$BC$于$F$。证明：$AD^2=2DE\cdotDB$。解析：（1）①由等边$\triangleABC$可得$\triangleABD\cong\triangleBCE$，因此$\angleBAD=\angleCBE$，$\angleBFD=\angleBAD+\angleABE=\angleCBE+\angleABE=\angleABC$。故$\triangleABD\sim\triangleBFD$，$\frac{BD}{AD}=\frac{BF}{BD}$，即$BD^2=AD\cdotDF$。②由$\triangleABD\sim\triangleCBE$可得$\frac{AF}{AE}=\frac{BD}{AB}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，两式相乘得$AF\cdotAD=AE\cdotAC$。③由①可得$DF=\frac{BD^2}{AD}$，代入$\triangleABD\sim\triangleBFC$可得$\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BF}$，即$BF^2=BD\cdotBC$，故$BF\cdotBE=BD\cdotBC$。（2）$\becauseAB=BC$，$\therefore\angleABD=\angleBCD$。又$\becauseAF\perpAD$，$\therefore\angleAFE=\angleADE$。故$\triangleAFE\sim\triangleADE$，$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{DE}$，即$AF=\frac{AD\cdotAE}{DE}$。又$\becauseAB=BC=CD=DA$，$\thereforeAD=CD=\frac{1}{\sqrt{2}}AB$，$AE=\sqrt{3}AB$。代入$AF=\frac{AD\cdotAE}{DE}$，得$AF=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$。又$\because\angleBPF=60^\circ$，$\therefore\angleAFP=120^\circ$，故$\triangleAFP$为等边三角形，$AP=FP=AF=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$。又由菱形的性质可得$AP=BD$，故$BD=\frac{\sqrt{3}}{2}DE$，即$DE=\frac{2}{\sqrt{3}}BD$。代入$AD=CD=\frac{1}{\sqrt{2}}AB$，$AB=2BD$，得$DE=\sqrt{2}BD$，即$AD^2=2DE\cdotDB$。(1)在△ABC中，由射影定理可得：CD^2=CE·CA，CD^2=CF·CB，因此CE·CA=CF·CB，即CE/CF=CB/CA。又因为∠ECF=∠BCA，所以△ECF∽△BCA。(2)在Rt△ABC中，由射影定理可得：AD^2=AE·AC，AD^2=AF·AB，因此AE·AC=AF·AB，即AE/AF=AB/AC。又因为∠EAF=∠ABC，所以△EAF∽△ABC。由于△ADF∽△CEF，所以FD/CE=AD/AE。综合上述比例关系可得：AB·FB·FD=AB·AF·(AD/AE)·FD=AD·AF·FD/AE=AD^2·FD/(AD·AE)=FD^2/CE=EF^2/CE=AC·EC·ED/CE=AC·ED因此，AB·FB·FD/AC·EC·ED=EF^2/CE，即AB·FB/AC·EC=EF^2/ED。因此△CEF∽△CBA。（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，则D点坐标为___________．解析：（2）过D点做DF垂直于x轴于F点，BC与FD的延长线交于G点，则△CGD∽△DFA，因此有CG/GD=CD/AF，设CG=x，则DF=3x，AF=1+x，GD=3-3x。由于AF=3GD，列得方程1+x=3(3-3x)，解得x=4/12=1/3，因此CG=4/12=1/3，DF=3(1/3)=1，AD=AF+FD=1+3=4，DE=AD-AE=4-3=1，因此D点坐标为(0,1)。求得点D的坐标为(-5,5)。如图11-1，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，且∠BAC=∠EDF=90°，顶点E与斜边BC的中点重合。将△DEF绕点E旋转到如图11-2，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q。(1)由于△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，所以∠B=∠C=∠DEF=45°。因此，∠BEP+∠CEQ=135°，∠CQE+∠CEQ=135°，所以∠BEP=∠CQE。又因为∠B=∠C=45°，所以△BPE∽△CEQ。(2)连接PQ，由△BPE∽△CEQ可得BP/BE=CQ/CE，即BP/CQ=BE/CE=1/2。已知BP=a，CQ=a，BE=CE=2a，所以BC=3√2a，AB=AC=3a，AQ=a，PA=2a/5。在直角三角形APQ中，PQ=a/2，所以根据勾股定理，AP=4a/5，AQ=3a/5。因此，PQ=√(a^2/4)=(a/2)。在梯形ABCD中，AB//CD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F。(1)由于AB//CD，所以ME/AM=MF/BM，即AM/MB=ME/MF。又因为AM=MB，所以ME=MF，即EF//CD。(2)由于AM//EF//CD，所以EF/CD=AM/AB=1/2。已知AB=a，CD=b，所以EF=(b-a)/3。在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于点D。由角平分线定理，BD/DC=AB/AC。又因为∠BAC=120°，所以AB/AC=1/2。因此，BD/DC=1/2，即BD=(1/3)BC。又因为AD是BC的平分线，所以BD=CD。因此，BC=3BD=3CD，即BD=CD=(1/4)BC。由正弦定理可得，AD=2√3BD=2√3CD。因此，AD/AB=2√3/3，AD/AC=2√3/3，AB/AC=1/2。根据相似三角形的性质可得，AD/AB=AD/AC，即AB=AC。因此，∠ABC=∠ACB=30°，∠BDC=60°，∠DBC=∠DCB=30°，BD=CD=(1/4)BC。由平行线分比定理得到APQAB，又由题意得到BMCN，因此APMBPN，即△APM和△BPN全等．∴∠AMP∠BNP，∠MAP∠BPN，∴△AMP和△BNP相似，由相似比得到ANBN，∴APBM，即BP2AP．同理可得，CE2AF．又因为DF∥AC，故△DPE和△ABC相似，由相似比得到DEAC，∴DEACAEAC2CEAC4AF．同理可得，EF2ADAC．因此EFDE3，即EF3DE．题目：如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF，连接EF交对角线BD于点G，若AG=3，求BE的长度。解析：首先，我们可以利用正方形的对称性，将图形旋转45度，得到如下图：由于AE=CF，所以AEFC是一个菱形，因此AG是菱形对角线的一半，即AG=1。又因为BE是正方形边长的一半，所以我们只需要求出BG和GE的长度，即可得到BE的长度。根据相似三角形的性质，我们可以得到：△ABG∽△DGE因此，BG/GE=AG/GD=1/2，即BG=GE。又因为△BGE是等腰直角三角形，所以BG=GE=BE/√2。将AG=1代入，得到：1+BE/√2=3解得BE=4-2√2。因此，BE的长度为4-2√2。题目13：已知点A的坐标为(2,2)，点C是线段OA上的一个动点（不与O、A两点重合），过点C作CD垂直于x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF，连接AF并延长线段AF交x轴的正半轴于点B，连接OF。若以B、E、F为顶点的三角形与△OFE相似，则点B的坐标是多少？解析：要使△BEF与△OFE相似，必须满足∠FEO=∠FEB=90°，因此只需要满足OE/EF=OE/BE=1或2即可。①当OE/EF=1时，BE=EF=OE，因此B点在x轴上，坐标为(6,0)。②当OE/BE=2时，BO=4BE/3，因此需要解方程2BE/BE-2=4BE/3，得到BE=2/3。此时B点在