常见的追及与相遇问题类型及其解法

常见的追及与相遇问题类型及其解法

追及与相遇问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题。这类问题往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同。解决这类问题需要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式，并仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件。同时，画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景。借助于v－t图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了。相遇是指两物体分别从相距S的两地相向运动到同一位置。它的特点是：两物体运动的距离之和等于S。在分析时要注意两个物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系。同时，也要注意两物体各做什么形式的运动。由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S1+S2方程。追及问题中，两者速度大小与两者距离变化的关系十分重要。如果甲物体追赶前方的乙物体，而甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离会缩小；如果甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离会增大。如果一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离不会发生变化。追及问题的特征及处理方法：在“追及”问题中，两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种。第一种是速度小者匀加速追速度大者，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度，即v甲=v乙。第二种是匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。如果甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。如果甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。如果甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。解决问题时要注意两者是否同时出发，是否从同一地点出发。第三种情况是速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟第二种类似。分析追及问题的注意点：首先要注意追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件。其次，如果被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。最后，仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图象的应用。举例来说，如果一辆车处于静止状态，车后距车S=25m处有一个人，当车以1m/s的加速度开始起动时，人以6m/s的速度匀速追车，能否追上？若追不上，人车之间最小距离是多少？在这个问题中，需要注意人和车的运动规律不同，需要分别建立运动方程。同时，因为人和车是相向而行的，需要注意两者运动的位移关系、时间关系和速度关系。最终，可以通过求解方程得出人和车是否相遇，以及相遇时的距离和时间等信息。1.一辆汽车等待绿灯时，当绿灯亮起时，汽车开始以3m/s²的加速度行驶。此时，一辆自行车以6m/s的速度超过汽车。问题是：①汽车从路口出发后，多久才能追上自行车？在汽车追上自行车之前，它们之间的最大距离是多少？②汽车追上自行车时，它的速度是多少？2.一辆公共汽车以4m/s的速度沿着平直公路行驶。2秒后，一辆摩托车以2m/s²的加速度从同一车站出发追赶公共汽车。问题是：（1）摩托车出发后，多长时间才能追上公共汽车？（2）摩托车追上公共汽车时，它们之间的距离是多少？（3）在摩托车追上公共汽车之前，它们之间的最大距离是多少？3.一列火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一列火车沿同方向以速度v2做匀速运动。司机立即以加速度a紧急刹车，以避免相撞。要使两列火车不相撞，加速度a的大小应满足什么条件？4.一个人以4m/s的速度骑自行车前进。在某个时刻，一辆以10m/s的速度行驶的汽车从他前面7m处开始减速，以2m/s²的加速度减速。问题是：①在自行车追上汽车之前，它们之间的最大距离是多少？②自行车需要多长时间才能追上汽车？5.一个人以8m/s的速度骑自行车前进。在某个时刻，一辆以10m/s的速度行驶的汽车从他前面8m处开始减速，以2m/s²的加速度减速。问题是：①在自行车追上汽车之前，它们之间的最大距离是多少？②自行车需要多长时间才能追上汽车？6.一列快车以20m/s的速度沿平直轨道行驶，发现前方有一辆以6m/s的速度匀速行驶的货车。快车立即制动，以匀减速运动。经过40秒，快车才停下。是否发生了碰撞？7.有两个物体A和B，它们之间的距离为7m。物体A以4m/s的速度向右运动，受到水平拉力和摩擦力的作用。物体B以10m/s的速度向右运动，受到向右的匀减速运动。加速度为-2m/s²。求物体A追上物体B所需的时间。8.一只羚羊从静止开始奔跑，经过50m后达到最大速度25m/s。它能维持这个速度一段时间。猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0s。设猎豹距离羚羊x米时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑。假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m用时t1=2s，达到最大速度用时间t2=2s，则羚羊从静止开始匀加速奔跑50m用时t1=2s，达到最大速度用时间t2=3s。猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此x值为最大值，即x=S豹－S羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取x<55m。5、高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落。螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2—27所示。这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动。从示意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：S梯＋S钉=h。式中S梯＝vt十½at2，S钉＝vt－½gt2，可得t=2h/ga。1.解一：根据速度关系和位移关系，自行车的速度为a*t，位移为v*t，代入t=2s得到位移为6m。解二：利用极值法，求二次函数的极值，得到t=2s时位移最大，为6m。解三：利用相对运动的概念，选定自行车为参照物，计算出汽车相对于自行车的初速度、末速度和加速度，从而得到位移为6m。解四：根据速度-时间图象，计算出位移为6m，时间为2s，加速度为3m/s^2，从而得到位移为6m。2.解题思路：利用速度关系和位移关系，极值法，相对运动和图象法求解。其中，极值法和相对运动法需要掌握二次函数的极值和相对运动的概念。3.解题思路：根据追及问题的三个关系（时间、位移、速度），列出方程求解。需要注意临界条件和抓住关键信息，如摩托车和汽车距离最大时，摩托车速度等于汽车速度。4.解题思路：通过分析运动过程，得到物体的速度、加速度和位移等信息，从而求解问题。需要注意物理概念的理解和应用，如速度、加速度、位移等。当后车刹车后进行匀减速运动时，虽然速度会逐渐减小，但在速度减小到和前车速度相等之前，两车的距离将逐渐减小。当后车速度减小到小于前车速度时，两车的距离将逐渐增大。因此，当两车速度相等时，两车距离最近。为了避免发生撞车事故，后车的减速加速度不能过小或过大。当后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：v1t-1/2at^2=v2t+s，其中t为时间，a为后车的减速加速度，s为两车之间的距离，v1和v2分别为前车和后车的速度。联立上式可解得：a≥2s/(t^2(v2-v1)^2)，因此当a≥2s/(t^2(v2-v1)^2)时，两车即不会相撞。另外，要使两车不相撞，其位移关系应为at+(v2-v1)t+s≥2s。对于位移s和时间t，上面不等式都成立的条件为Δ=(v2-v1)^2-2as≤(v2-v1)^2。由此得a≥2s/(v2-v1)^2。还有一种解法是以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a的匀减速直线运动。当后车相对于前车的速度为零时，若相对位移s/≤s，则不会相撞。由s≤s/2a/(v2-v1)^2得a≥2s/(v2-v1)^2。综上所述，以上三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中通过位移关系得到一元二次不等式式，运用数学知识，利用根的判别式Δ=b^2-4ac来确定方程中各系数间的关系；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。最后，当后车追上前车时，相遇的位置是在前车停止后的位置，即s自=7+25=32（m），而此时s自<32，因此相遇是在前车停止后，s自=7+25=32（m）。题目：一辆车以8m/s的速度前进，行驶了8m，另一辆车从距离它100m的地方以10m/s的速度出发，两车相遇时第二辆车的速度是多少？解析：首先求出第一辆车行驶的时间t=8/8=1s。假设两车相遇时