条件概率和全概率公式

第1页，课件共57页，创作于2023年2月第2页，课件共57页，创作于2023年2月第3页，课件共57页，创作于2023年2月第4页，课件共57页，创作于2023年2月第5页，课件共57页，创作于2023年2月第6页，课件共57页，创作于2023年2月第7页，课件共57页，创作于2023年2月第8页，课件共57页，创作于2023年2月第9页，课件共57页，创作于2023年2月第10页，课件共57页，创作于2023年2月例3某城市共发行A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户,问(1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少?(2)该户只订C报的概率是多少?第11页，课件共57页，创作于2023年2月第三节条件概率与全概率公式条件概率与乘法公式全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式小结第12页，课件共57页，创作于2023年2月

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.一、条件概率与乘法公式如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般地P(A|B)≠P(A)

第13页，课件共57页，创作于2023年2月P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A|B)=？掷骰子已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，

P(A|B)=1/3.B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.容易看到P(A|B)于是第14页，课件共57页，创作于2023年2月例1一批产品100件70件正品30件次品甲厂生产40件乙厂生产30件甲厂生产20件乙厂生产10件从中任取1件,记A=“取到正品”,B=“取到甲厂产品”,试计算P(A),P(B),P(AB),P(B|A),P(A|B).解

第15页，课件共57页，创作于2023年2月设A、B是两个事件，则称

1.条件概率的定义为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.第16页，课件共57页，创作于2023年2月2.条件概率的性质(自行验证)第17页，课件共57页，创作于2023年2月条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)的区别和联系联系:事件A,B都发生了.区别:(1)条件概率P(A|B)是在实验E的条件下增加条件B发生后,求此时事件A发生的概率.而积事件P(AB)是在实验E的条件下AB同时发生的概率。

(2)样本空间不同,在P(A|B)中样本空间是缩减样本空间

;而P(AB)的样本空间还是.第18页，课件共57页，创作于2023年2月条件概率的计算方法由定义，计算P(B|A).在事件A发生的条件下将原样本空间缩减为事件A所包含的样本点的集合,然后在缩减的样本空间中计算事件B发生的概率,从而求得P(B|A).

第19页，课件共57页，创作于2023年2月例2设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？解设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为P(B|A).思考：现年20岁的这种动物，它不能活25年以上的概率呢？？？第20页，课件共57页，创作于2023年2月例2.100件产品中有5件次品,现从中接连任取两件而不放回,求在第一次取得正品的条件下,第二次取得次品的概率.

第21页，课件共57页，创作于2023年2月由条件概率的定义：即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(1)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).即若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2)(1)和(2)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率4.乘法公式同样,由可以反求P(AB)第22页，课件共57页，创作于2023年2月第23页，课件共57页，创作于2023年2月一批产品共有90件产品，其中有10件次品，其余为正品.现依次进行不放回抽取三次，求第三次才取到正品的概率.乘法公式应用举例例3答案第24页，课件共57页，创作于2023年2月

某人忘记电话号码最后一位数字，因而任意地按最后一个数．试求：

（1）不超过4次能打通电话的概率（2）若已知最后一位数字是偶数．则不超过3次能打通电话的概率是多少？

乘法公式应用举例例4答案第25页，课件共57页，创作于2023年2月

袋内有

n

个球(n－1个白球，1个红球)，n

个人依次从袋中各随机地取一球，并且每人取出一球后不再放回袋中，试求第

k人取得红球的概率.乘法公式应用举例例5答案抽签原理抓阄问题第26页，课件共57页，创作于2023年2月例

五个阄,其中两个阄内写着“有”字,三个阄内不写字,五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有抓阄是否与次序有关?

第27页，课件共57页，创作于2023年2月依此类推故抓阄与次序无关.第28页，课件共57页，创作于2023年2月例4.猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6,如果第一次未击中,则进行第二次射击.但由于动物逃跑而使距离变为150米;如果第二次又没击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米.假定击中的概率与距离成反比,求猎人最多射击三次的情况下击中动物的概率.第29页，课件共57页，创作于2023年2月小结条件概率的概念概率的乘法公式要求：在计算概率时经常使用，需要牢固掌握！第30页，课件共57页，创作于2023年2月

有三个箱子,分别编号为1,2,3；1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥看一个例子:二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式第31页，课件共57页，创作于2023年2月将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥第32页，课件共57页，创作于2023年2月1.样本空间的划分第33页，课件共57页，创作于2023年2月一个事件发生.第34页，课件共57页，创作于2023年2月2.全概率公式运用全概率公式的关键在于找出样本空间一个恰当的划分.说明

全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.第35页，课件共57页，创作于2023年2月某一事件B的发生有各种可能的原因

，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解第36页，课件共57页，创作于2023年2月由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果第37页，课件共57页，创作于2023年2月全概率公式的使用要点1.如果所考虑问题的试验分两步,第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分,求与第二步试验结果有关的事件的概率,此时可用全概率公式解决.2.用全概率公式的关键是确定样本空间的一个划分,这可以从第一步试验的结果确定.第38页，课件共57页，创作于2023年2月例.有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4.若坐火车来，迟到的概率是0.25；坐船来，迟到的概率是0.3；坐汽车来，迟到的概率是0.1；坐飞机来，则不会迟到。问此人迟到的概率有多大？第39页，课件共57页，创作于2023年2月例6：某保险公司认为，人可以分为两类，第一类是容易出事故的，另一类，则是比较谨慎，保险公司的统计数字表明，一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率为0.04，而对于比较谨慎的人这个概率为0.02，如果第一类人占总人数的30%，那么一客户在购买保险单后一年内出一次事故的概率为多少？第40页，课件共57页，创作于2023年2月

例7甲箱中有5个正品3个次品,乙箱中有4个正品3个次品,从甲箱中任取3个产品放入乙箱,然后从乙箱中任取一个产品,求这个产品是正品的概率.第41页，课件共57页，创作于2023年2月

例8.某间房门上锁的概率为0.5,这个门上的钥匙是架子上的12把钥匙中的一把,有人在架子上任意取2把钥匙去开门.求他能打开门的概率.第42页，课件共57页，创作于2023年2月例9一商店出售的是某公司三个分厂生产的同型号空调器，而这三个分厂的空调器比例为3:1:2，它们的不合格品率分别,现在某顾客从这批空调器中任意选购一台

试求：（1）顾客购到不合格空调器的概率;（2）若已知顾客购到不合格的空调器，试问这台空调器是哪一个分厂生产的可能性较大？第43页，课件共57页，创作于2023年2月该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:看一个例子:3.贝叶斯公式第44页，课件共57页，创作于2023年2月接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式第45页，课件共57页，创作于2023年2月有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?第46页，课件共57页，创作于2023年2月某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B)运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?第47页，课件共57页，创作于2023年2月该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.第48页，课件共57页，创作于2023年2月贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.第49页，课件共57页，创作于2023年2月

例某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.已知P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}，求P(C|A).第50页，课件共57页，创作于2023年2月现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？第51页，课件共57页，创作于2023年2月例8答案商店出售一批收音机共10台，其中有3件次品，其余为正品.某顾客去选购时，商店已售出2台，该顾客从余下的8台中任选购一台．试求：（1）该顾客购得正品收音机的概率；

（2）若已知顾客购到正品收音机，则已售出的两台都是次品的概率是多少？第52页，课件共57页，创作于2023年2月例９答案根据对以往数据分析,结果表明:当机器调整良好时,产品的合格品率为90%;