概率论第三讲

概率论第三讲第1页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/141一、测度及其性质若对每一AA

，(A)都取有限值，则称为A上的有限集函数；则称为A上的-有限集函数。若对每一AA

，存在一集合序列{An}A

，使：若A为集代数，则{An}还可以是两两不交的。第2页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/142若集函数为有限可加且只取非负值，则称为有限可加测度；若集函数为-可加且只取非负值，则称为测度，用或表示；具有性质A

且()=1

的测度，称为概率测度或概率，用P表示。

一、测度及其性质第3页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/143一、测度及其性质定理1.2.1

设为A上的集函数若是有限可加或-可加的，且A

，则()=0；2.若A为集代数，有限可加或-可加测度(或非负的)，

A，BA

，且AB，则：

3.(半可加性)A为集代数，是有限可加测度，AiA

第4页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/144一、测度及其性质4.（次可加性）A为集代数，是测度，AiA

第5页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/145定义1.2.2

设是定义在集合类A上的集函数，若对A中任意满足条件An，且则称在A处下连续。A的集合序列{An}，有：一、测度及其性质若对A中任意满足条件An，,且至少存在一m使则称在A处上连续。第6页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/146一、测度及其性质定理1.2.2

设是集代数A上的-可加集函数（或测度），则有限可加且连续。即集代数上的测度是连续的。定理1.2.3

设是集代数A上的有限可加集函数（或有限可加测度），若满足下列条件之一：（1）是下连续的；（2）有限，且在处连续，则是-可加集函数（或测度）。第7页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/147

有了定义在集代数A上的测度，我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张？最后得到“测度扩张定理”。首先必须明白什么叫“扩张”？定义1.2.3

A1，A2是上的两个非空集合类，且A1

A2，i是Ai的测度(i=1,2)，若对AA1

,有1(A)=2(A)，则称2是1在A2上的扩张(1是2在A1上的限制)。二、测度的扩张定理第8页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/148以下讨论的前提是A是上的集代数，是A上的测度称FΩ上的v*是由A上的v所引出的外测度。(所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。)注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。外测度不见得是测度！！！1、FΩ上的外测度*(A)对任意AFΩ，定义SA第9页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/149下确界：对于给定的数集S={x}，若数满足条件：

(1)

是S的下界，即对xS，有x;(2)对任何大于的数，一定存在S中某个数x0，使得x0<.

(即对>0,x0S,使得

x0<+)

则称为数集S的下确界，记作：=infS例：第10页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1410引理1.2.1

由集代数A上的测度引出的FΩ上的外测度*，满足：下面讨论外测度的性质：证明：（1）因AA，由外测度定义，有：*(A)(A)因此，只需证明*(A)(A)不减性第11页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1411综上所述(A)=*(A)下面证明*

(A)(A)，只需说明(A)为A的所有覆盖的测度和的下界即可第12页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1412即：外测度是单调上升的函数。即覆盖B的集合序列一定覆盖A第13页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1413

则结论显然成立。由定义：第14页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1414

第15页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1415为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入*可测集的概念，并构成一个新的集合类A*

，从下面的分析可以看到，该集合类A*不仅为-代数，而且*

是A

*上的测度。问题：外测度*在FΩ上未必满足-可加性!第16页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/14162、*可测集（1.2.3）（1.2.4）证明：必要性显然成立下面简单说明充分性：第17页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1417由引理1.2.1，有*()=0

由引理1.2.1(3)知外测度函数

*具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取

我们记A

*为所有*可测集组成的集合类。第18页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1418引理1.2.3

A

*满足：（1）A

*是-代数；(若集代数对可列不交并封闭则为-代数）证明：（1）首先证明A

*是集代数a、∵*(Ø)=0，D，有：（1.2.4）式的定义具有对称性A*第19页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1419则有：A∪BA*综上所述知A*是集代数。（1.2.5）c、A，BA*，有：A∪BA*若A，BA*，则对D，有：第20页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1420下面说明A*是-代数，只需证A*对可列不交并运算封闭。

设AnA*，n=1,2,…，Ai

Aj=，ij，则：对D，有：第21页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1421令n，有：A*，则A*是-代数。（1.2.6）由前面结论，有：第22页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1422引理1.2.3

A*满足：第23页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1423由前面的结论，有:由（1.2.6）式：结论得证。第24页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1424（3）欲证*是A*上的测度，只须说明*在A*上满足-可加性。考虑到v*()=0，所以AA*上，有：v*(A)0则v*是A*上的测度。整个引理的证明完毕。第25页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/14253、测度扩张定理问题：A*是否是包含A的-代数？*是A*上的测度*不降，满足次可加性？对任意AFΩ，定义第26页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/14263、测度扩张定理若A*是包含A的-代数，则*便是定义在A上的测度在A*上的一个扩张；进一步地，这样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将扩张到A*上，而只需扩张到(A)即可。第27页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1427定理1.2.4

设是Ω的集代数A上的测度，则在(A)

上存在一个扩张；如果在A上是-有限的，则在(A)

上的扩张是唯一的。证明：显然第一部分只需证：A

A*AA，D，>0，存在A中集序列An，n=1,2,使得这是因为若A

A*，则(A

)A*,*是A*上的测度，则是(A

)上的测度，且对于是*是在(A

)

上的扩张。第28页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1428由*是A上的测度，且由的任意性，则有：即：AA*，则A

A*第29页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1429(1)首先证明：若1，2是在(A)上的任意两个扩张，证明对A(A)及任意的正整数n，有：

1(ADn)=2(ADn)（1.2.8）

第二部分：唯一性

A是集代数，是A上的-有限测度，则存在：(2)再证明对A(A)，有1(A)=2(A)第30页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1430(1)对给定的n，令：

={A：A(A)，1(ADn)=2

(ADn)}下证：=(A)显然A

，且(A)。（∵AA

，因A

为集代数，则：ADnA，必有：(ADn)=

1(ADn)=2

(ADn)，则A

）若能证明为单调类，则(A)

另：A为集代数，则：(A)=(A)所以：(A)

，即：=(A)，结论得证。第31页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1431下面证明为单调类：Ak

，Ak

，则：1(AkDn)=2

(AkDn)2

(Dn)=(Dn)<+，k=1,2,根据测度的连续性，有：第32页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1432(2):第33页，课件共38页，创作于2023年2月2023/7/1433三、测度的完全化初等概率中我们遇到这样的问题：考虑某一集合BAA

，且P(A)=0，