第二章函数极限与连续xd2 5存在准则

一、函数极限与数列极限的关系二、两个极限存在的准则及两个重要极限第五节极限存在准则及机动目录上页下页返回结束两个重要极限第二章一、函数极限与数列极限的关系定理1.

lim

f

(x)

=

Axn

„

x0

,

f

(xn

)xfi

x0有定义,且有

lim

f

(xn

)

=

A.nfi

¥说明:

此定理常用于判断函数极限不存在

.法1

找一个数列xn

„

x0

,使

lim

f

(xn

)

不存在

.nfi

¥法2

找两个趋于的不同数列{xn

}及{xn

},使机动目录上页下页返回结束lim

f

(xn

)

„

lim

f

(xn

)nfi

¥

nfi

¥例1.证明不存在.证:

取两个趋于

0

的数列n2np1x

=212np

+

p及x¢=nxnnfi

¥xn¢nfi

¥由定理1知不存在.(n

=1,

2

,)有

lim

sin

1

=

lim

sin

2np

=

0nfi

¥2lim

sin

1

=

lim

sin(2np

+

p

)

=1nfi

¥机动目录上页下页返回结束二、两个极限存在的准则及两个重要极限1.极限存在的夹逼准则准则I.设在自变量的同一变化过程中，f

(x),g(x),h(x)有定义且(1).g(x)

£

f

(x)

£

h(x)(2).lim

g(x)

=

lim

h(x)

=

A.则

lim

f

(x)

=

A.机动目录上页下页返回结束h(x)

-

A

<

e

即

A

-

e

<

h(x)

<

A

+

e

（2）准则I.设在自变量的同一变化过程中，f

(x),g(x),h(x)有定义且(1).g(x)

£

f

(x)

£

h(x)(2).lim

g(x)

=

lim

h(x)

=

A.则

lim

f

(x)

=

A.证：只证x

fi

x0时的情形.对"e

>0.xfi

x0

lim

g(x)

=

A,\

$d

>

当

<

- <

d时，101,00xxxfi

x0又

lim

h(x)=A,\$d2>

0,

0

<

x

-

x0<d2时，g(x)

-

A

<

e

即

A

-

e

<

g(x)

<

A

+

e

（1）取d

=min{d1

,d2

}.则当0

<x

-x0即A

-e

<f

(x)<A

+e,xfi

x0f

(x)

-

A

<

e.

\

lim

f

(x)

=

A.从而有A

-e

<g(x)£

f

(x)<d时,(1)、(2)均成立£

h(x)

<

A

+

e,机动目录上页下页返回结束准则I

¢

如果数列{xn

},{yn

},{zn

}满足：(1).yn

£

xn

£

zn

,

n

=1,

2,3,(2).lim

yn

=

lim

zn

=

A.nfi

¥

nfi

¥则lim

xn

=

A.yn

£

xn

£

znnfi

¥注：条件(1)可改为:从某项起（n

>

N）.机动目录上页下页返回结束2212nnfi

¥例2.求

lim

.+++n

+

n

+1

n2

+

n

+

212n

+

n

+

nn+n2

+

n

+1n2

+

n

+

2n2

+

n

+

n++n2

+

n

+

n解：1+2++n

<<

1+2++nn2

+

n

+12nfi

¥n

+

n

+

n1+2++n而lim1

n(n

+1)=

lim

2

.12=2limnfi

¥n

+

n

+11+2++nnfi

¥

n2

+

n

+

n1

n(n

+1)=

lim

2

nfi

¥

n2

+

n

+

n.12=.12\原式=机动目录上页下页返回结束xcos

x

<

sin

x<1重要极限：即21

sin

x

<2<

1

tan

x亦即2(0

<

x

<

p

)sin

x

<

x

<

tan

x证:

当

x

˛

(

0,

p

)

时，2(0

<

x

<

p

)显然有2△AOB

的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积B

D1ox

C

A故有注目录 上页 下页 返回 结束2当0

<

x

<

p

时0

<

1

-

cos

x

=

1

-

cos

x=

2

sin22

x

xx22

<

2

(2

)

=

2\

lim(1

-

cos

x

)

=

0xfi

0其中:xxfi

0lim

sin

x

=1机动目录上页下页返回结束例3.求解:xxfi

0lim

tan

x

=

lim

sin

x

1xfi

0

x

cos

x

xxfi

01=

lim

sin

x

limxfi

0

cos

x=1例4.求解:

令t

=arcsin

x

,则x

=sin

t

,因此tt

fi

0

sin

t原式=limtsin

t=1机动目录上页下页返回结束例5.

求解:原式=2lim

2

122

sin2

xxxfi

0=12sin=

limxfi

0

x

2

2x22机动目录上页下页返回结束12x

.arctan

x

~

x, 1

-

cos

x

~说明:计算中注意利用小结：当x

fi

0时,sin

x

~

x, tan

x

~

x, arcsin

x

~

x,12cos

x

-1lim

(1

+

x

)3

-1.xfi

0例6.

求解:机动目录上页下页返回结束例7.

求2sin

33xxfi

¥=

3

lim

2x

+1

lim

xxfi

¥

x2

+

2xsin

.limxfi

¥2x2

+1

3xx

+

2解:=

3

2

1

=

62sin

3

x3x=

3

lim

2x

+1xfi

¥

x2

+

2xlimxfi

¥2x2

+1

3x

+

2

x解2:

原式=2机动目录上页下页返回结束=6.xfi

¥

x2x2

+1=

3

lim+

2x例8.

求.(arctan

x)2limxfi

0cos

x

-

1

+

x2解:原式=cos2

x

-

(1

+

x2

)=

limxfi

0

x2

(cos

x

+

1

+

x2

)-sin2

x

-

x2=

limxfi

0

x2

(cos

x

+

1

+

x2

)21limx-sin2

x

-

x2=

limxfi

0xfi

0

(cos

x

+

1

+

x2

)2x

1

-sin2

x=

lim

-1xfi

0

1

2

2机动目录上页下页返回结束=

(-1

-1)

=

-1.例9.

求lim

1

-

cos

x

.xfi

0

x(1

-

cos

x

)解:cos

x

)=

2

lim

1

-

cos

x

xfi

0

x2

(1

+11

x2x2cos

xxfi

0=

2

lim

2

limxfi

0

1

+=

2

1机动目录上页下页返回结束1

=

1

.2

2

22.单调有界收敛准则定义：如果数列{xn

}满足：x1

£

x2

£

£

xn

£机动目录上页下页返回结束x1

‡

x2

‡

‡

xn

‡则称数列{xn

}单调增加.减少单增数列和单减数列统称为单调数列.准则II.

单调有界数列一定收敛.注：条件可改为数列{xn

}单调上升有上界或单调下降有下界.2

+

2

,

2

+

2

+

2

,,例10.

证明：数列

2,的极限存在，并求此极限.证：记该数列为{an

}.n+1个n由于an+1

=

2+2

++2

+2

>

2+2

++

2+0

=an+1个\{an

}单增.又由于an

=

2+2

++2

+2

<

2+2

++2

+4机动目录上页下页返回结束=2n个

n个\{an

}有上界.故该数列单增有上界，其极限存在.nfi

¥设lim

an

=

a.从而lim

an

+1

=anfi

¥令

n

fi

¥，对an+1

=a

=2

+an

两边取极限，则有2

+

anfi

¥解得a

=2,a

=-（1

舍去）.故

lim

an

=

2.机动目录上页下页返回结束1n

+1n

nnfi

¥再例

设0

<

x

<1,

x

=

x2

，证明lim

x

存在，并求其极限值.解

由题意知,

0

<

xn

<1,

n

=1,2,...,

因此数列{xn}为有界数列.又nnxxn+1n=x

<1,即有xn+1<

x

,

n

=

1,

2,...,nfi

¥所以数列{xn}为单减数列，由准则Ⅱ的推论2.5.2知lim

xn

存在.其值记为a，则应有n0≤a≤x1

<1，在等式xn

+1=x2

两边同时令n

fi

¥

，并注意到n+1lim

xnfi

¥=a

，从而有a

=

a2

,nfi

¥解得a

=0,a

=1（舍去），所以lim

xn

=0

.机动目录上页下页返回结束xxfi

¥lim(1+

1

)x

=

e重要极限：机动目录上页下页返回结束nnfi

¥先证

lim(1

+

1

)n

=

e.1nnn记

x

=

(1+)

,则112n3nnn1

1nn2n3nnx

=

C0

+

C1n

n

n+

C+

C+

+

C12!

3!

n!nnn(n

-1)

1n(n

-1)(n

-2)

1=1+1+n(n

-1)

n

-(n

-1)n2

+

n3

++2!

n3!

n

nn!

n

n=1+1+

1

(1-

1)

+

1

(1

-

1

)(1

-

2)

++

1

(1-

1)(1-

n

-1)xn+13!

n+1

n+1n!

n+1

n+1

1

2

1

1

n

-1=1+1+

1

(1-

1

)

+1

(1-

)(1-

)

++

(1-

)(1-

)2!

n+11+(1-

1

)(1-

2

)(1-

n

)（n+1）!

n+1

n+1

n+1<<<\xn

<xn+1，

{xn

}单增.机动目录上页下页返回结束)2!

n3!

n

nn!

n

n

n1+1+

1

(1-1

+

1

(1

-

1

)(1

-

2)

++

1

(1-

1)(1-

2)(1-

n

-1)又xn

=<1

+1

+

1

+

1

+

+

12!

3!

n!12222n-1<1

+1

+

1

+

1

+

+=1

+

2

1

-

11

-（

1

）n<1

+

2

=

32由单调有界收敛准则II，该数列极限存在.极限记为e,e=2.71828机动目录上页下页返回结束证:x

>0

时,设n

£

x

<n

+1,则(1

+

1

)n

<

(1

+

1

)

x<

(1

+

1

)n+1n+1

x

n

n1

)n+1lim

(1

+nfi

¥=

limnfi

¥

(1

+

1

)n+1n+11

+

1

n+1=

en

n

nnfi

¥

nfi

¥lim

(1

+

1

)n+1

=

lim

[(1

+

1

)n（1

+

1）]

=

exxfi

+¥lim (1

+

1

)

x

=

e机动目录上页下页返回结束当从而有=

lim

(1

-

1

)-(t

+1)t

+1t

fi

+¥t

+1t

fi

+¥=

lim

(

t

)-(t

+1)

=

lim

(1

+

1)t

+1tt

fi

+¥t

tt

fi

+¥=

lim

[(1

+

1)t

(1

+

1)]

=

e故xxfi

¥lim

(1

+

1

)

x

=

e时,

令

x

=

-(t

+1)

,

则机动目录上页下页返回结束xxfi

¥lim

(1

+

1

)

x

=

e(2).此极限也可写为1lim

(1

+

z)

zzfi

01=

e

（令

z=

x

）（3）.对于形如1¥型的未定式，一般可利用此重要极限求其极限.j

(

x)

1

j

(

x)=

e,注：(1). lim

(1

+

)j

(

x)fi

¥机动目录上页下页返回结束例11.

求1解:

原式=

limxfi

0

x1xfi

0ln(1

+

x)

=

lim

ln(1

+

x)

x=

ln

e

=1.说明，

x

fi

0时,例12.

求解:

原式说明，

x

fi

0时,=1.此外，ax

-1

x

ln

a,(a

>

0,

a

„

1)令t

=ex

-1=x

=

ln(1+t)lim机动目录上页下页返回结束ttfi

0

ln(1

+

t)例13.求解:

令

t

=

-x

,

则t

fi

¥lim

(1

+

1)-tt1=

limt

fi

¥说明：若利用j

(

x

)j

(

x

)fi

¥lim

(1

+

1

)j

(

x

)

=

e

,则机动目录上页下页返回结束原式

=

lim

[(1

+

1

)-x

]-1

=

e-1-x-xfi

¥幂指函数的极限设

lim

f

(x)

=

A（,

A

„

1，A>0）,lim

g(x)

=

B.则

lim

f

(x)g

(

x)

=

AB证：

lim

f

(x)g

(

x)机动目录上页下页返回结束=

lim

eg

(

x)

ln

f

(

x)=

elim

g

(

x

)

ln

f

(

x)=

eB

ln

A=

AB

.例14.

求21x2x1x+

cos

)

]解:

原式

=

lim

[(sinxfi

¥xx=

lim

(1

+

sin

2)

2xfi

¥x(1

+

sin

2)=

ex机动目录上页下页返回结束sin

2

1

例15.

求解:x

1

e原式

=

lim

(1+xex

)

xexxfi

0

=

e1

=

e.例16.

求2n

1

2

2

n

-n+1

-

2

n+1解:

原式

=

lim

1

-

n

+1

=

lim

1

-

n

+1

nfi

¥

nfi

¥

=

e-2

.其中，

lim

-

2n

=

-2.nfi

¥

n

+1

机动目录上页下页返回结束例17.

求=

e-1.例18.

求解:2sin2

x-

2-

1

x22

x

2sin2

x

2

原式=lim

1

-2sin2xfi

0

2sin22x2xfi

0x

其中，lim

--1

1

x-1解:

原式=

lim

[1+

(x

-1)]

xfi

1

12-=

e

.1机动目录上页下页返回结束2x2

x

2

2

2

=

lim

-

=

-

.xfi

0

xfi

01

-

xxfi

0cot

x2x1

-

x2)

12

x

xln

(1

+

1-

x

～

-x=

e20v

(

x

)xfi

x利用lim

u(x)=

elim

(

cos

x

2

x

)sin

x

1-xxfi

0例18.

求

lim

(1

+

x

)cotx解:原式=

lim

(1

+

)2x

)lim

cot

x

ln(1

+=

e

x

fi

01

-

x=

e机动目录上页下页返回结束求幂指函数的极限.内容小结x0

(

n

fi

¥

)1.函数极限与数列极限关系的应用利用数列极限判别函数极限不存在

法1

找一个数列{xn

}:

xn

„

x0

,

且

xn

fi使

lim

f

(xn

)不存在

.nfi

¥法2

找两个趋于

x0

的不同数列{xn

}及

{xn

},

使lim

f

(xn

)

„

lim

f

(xn

)nfi

¥

nfi

¥2.极限存在的夹逼准则及单调有界收敛准则机动目录上页下页返回结束3.两个重要极限或注:

代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束练习题1.

填空题

(

1～4

)(1).;xxfi

¥lim

sin

x

=(2).;xxfi

¥lim

x

sin

1

=(3).xxfi

0(4).n1nlim(1

-nfi

¥)

=

;01lim

x

sin

1

=

0

;-1e第七节 目录 上页 下页 返回 结束2.求(arc

sin

5x)3xfi

0lim

tan

3x

(1-

cos

x)

.3

.3x

1

x2(5x)3

250xfi

0解：

原式

=

lim

2

=3.

下列命题中正确的是（

）．若lim[f

(x)+g(x)]存在，则lim

f

(x),lim

g(x)同时存在或xfi

x0

xfi

x0

xfi

x0同时不存在若

lim[

f

(x)

g(x)]存在，则

lim

f

(x),

lim

g(x)

均存在xfi

x0

xfi

x0

x

fi

x0若

lim

f

(x)

，

lim[

f

(x)

g(x)]均存在，则

lim

g(x)

必存在xfi

x0

xfi

x0

xfi

x0g(x)（D）若

lim

f

(x),

lim

g(x)

均存在，则

lim

f

(x)

必存在xfi

x0

xfi

x0

x

fi

x0答案：选（A）．xfi

x0x

fi

x0解：若lim[f

(x)+g(x)],lim

f

(x)均存在，则由极限的加法法则可得：lim

g(x)

=

lim{[

f

(x)

+

g(x)]

-

f

(x)}

=

lim[

f

(x)

+

g(x)]

-

lim

f

(x)

．xfi

x0

xfi

x0

xfi

x0

xfi

x0机动目录上页下页返回结束x

fi

x0

x

fi

x0

x

fi

x0题

3

续

（B）若lim[

f

(x)

g(x)]

存在，则

lim

f

(x),

lim

g(x)

均存在（C）若lim

f(x)

，

lim[

f

(x)

g(x)]均存在，则

lim

g(x)

必存在x

fi

x0

x

fi

x0

x

fi

x0g(x)x

fi

x0

x

fi

x0

x

fi

x0（D）若

lim

f(x),

lim

g(x)

均存在，则lim

f

(x)

必存在1x解：（B）、（C）的反例：

f

(x)

=

x,

g(x)

=

sin ,

x

fi

0

．xxfi

0

xfi

0xfi

0

xfi

0lim

f

(x)g(x)

=

lim

x

sin

1

=

0

，

lim

f

(x)

=

lim

x

=

0

，xxfi

0

xfi

0lim

g(x)=lim

sin

1

不存在．（D）的反例：f

(x)=x,g(x)=x2

,x

fi

0

．lim

f

(x)=lim

x

=0

，xfi

0

xfi

0xfi

0

xfi

0f

(x)

1lim

g(x)=lim

x2

=0

，但limx

fi

0

xx

fi

0

g(x)=

lim不存在．机动目录上页下页返回结束4.

求

lim.2xfi

0

xarcsin1

-

etan

x解:x机动目录上页下页返回结束xfi

0=

-2

lim

tan

x=

-2.5.x

fi

0求极限lim

f

(x)，其中，1|

x

|sin

x+41

+

e

x2

+

e

xf

(x)

=解:1当x

fi

0

时，ex

两侧极限不同，以及|

x

|

均提示需从单侧极限入手．1

1∵

lim

ex

=

+¥

,

lim

exxfi

0+

xfi

0-=

0,

limxfi

0+sin

x

sin

xxfi

0-x

-x=1，lim

=-1，故14xsin

xsin

xxx+-xfi

0

xfi

0+lim

f

(x)

=

lim+

limxfi

0+=

limxfi

0++

limxfi

0+e

x

+1-

4

-

32e

x

+

e2

+

ex=

0

+1

=1

，sin

x机动目录上页下页返回结束-xfi

0

xfi

0-lim

f

(x)

=

lim41+

ex12

+

ex+

limxfi

0--x41+

ex=

2

-1

=1．x

fi

0于是，由极限与左右极限关系可得：lim

f

(x)=1

．6.求22cos

cos

n

)]lim[lim(cosxfi

0

nfi

¥x x

x2

2．解：利用三角公式2

sin

t

cos

t

=sin

2t

可得sin2nxxx

x

xcos

cos

cos

sin2

22

2n

2ncos

x

cos

x

cos

x

=2

22

2n2

sin22

sinxxx2nx2n==cos

x

cos

x

cos

x

sin2

22

2n-1

2n-1cos

x

cos

x

cos

x

sin2

22

2n-2

2n-22n2nx2ncos

x

sin

xsin

x2n

sin

xsin

xx2n-1

sin

x=

sin

x=

=

2 2

=，sinsin2

n2

nn

fi

¥x

fi

02

n2

nx

fi

0

n

fi

¥xxx]

=

lim

sin

x

limx2nxx故：原式=lim[lim

sin

x=

1

．机动目录上页下页返回结束xfi

0

x

7.求lim

x

2

，其中，