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文档简介
2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.直线的斜率为()A. B. C. D.2.读下面的程序框图,若输入的值为-5,则输出的结果是()A.-1 B.0 C.1 D.23.中,则A. B. C. D.4.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则()A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中,已知四边形是平行四边形,,,则()A. B. C. D.6.平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A,B的坐标分别为(1,1),(-3,3).若动点P满足,其中λ,μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为()A. B. C. D.7.点到直线(R)的距离的最大值为A. B. C.2 D.8.过点且与直线垂直的直线方程为()A. B.C. D.9.如图所示,4个散点图中,不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是()A. B.C. D.10.已知,是平面,m,n是直线,则下列命题不正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.在我国古代数学著作《孙子算经》中,卷下第二十六题是:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?满足题意的答案可以用数列表示,该数列的通项公式可以表示为________12.在中,已知M是AB边所在直线上一点,满足,则________.13.数列的前项和,则的通项公式_____.14.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米).15.若方程表示圆,则实数的取值范围是______.16.定义为数列的均值,已知数列的均值,记数列的前项和是,若对于任意的正整数恒成立,则实数k的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.某体育老师随机调查了100名同学,询问他们最喜欢的球类运动,统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.最喜欢的球类运动足球篮球排球乒乓球羽毛球网球人数a201015b5(1)求的值;(2)将足球、篮球、排球统称为“大球”,将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人,再从这5人中任选2人,求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.18.如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.19.如图,已知点和点,,且,其中为坐标原点.(1)若,设点为线段上的动点,求的最小值;(2)若,向量,,求的最小值及对应的的值.20.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到下表数据:单价(元)销量(件)且,,(1)已知与具有线性相关关系,求出关于回归直线方程;(2)解释回归直线方程中的含义并预测当单价为元时其销量为多少?21.某大学要修建一个面积为的长方形景观水池,并且在景观水池四周要修建出宽为2m和3m的小路如图所示问如何设计景观水池的边长,能使总占地面积最小?并求出总占地面积的最小值.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】
化直线方程为斜截式求解.【详解】直线可化为,∴直线的斜率是,故选:A.【点睛】本题考查直线方程,将一般方程转化为斜截式方程即可得直线的斜率,属于基础题.2、A【解析】
直接模拟程序框图运行,即可得出结论.【详解】模拟程序框图的运行过程如下:输入,进入判断结构,则,,输出,故选:A.【点睛】本题主要考查程序框图,一般求输出结果时,常模拟程序运行,列表求解.3、B【解析】试题分析:由余弦定理,故选择B考点:余弦定理4、B【解析】
通过成等比数列,可以列出一个等式,根据等差数列的性质,可以把该等式变成关于的方程,解这个方程即可.【详解】因为成等比数列,所以有,又因为是公差为2的等差数列,所以有,故本题选B.【点睛】本题考查了等比中项的性质,考查了等差数列的性质,考查了数学运算能力.5、D【解析】因为四边形是平行四边形,所以,所以,故选D.考点:1、平面向量的加法运算;2、平面向量数量积的坐标运算.6、C【解析】
设点坐标,代入,得到即,再根据,即可求解.【详解】设点坐标,因为点的坐标分别为,将各点坐标代入,可得,即,解得,代入,化简得,故选C.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算和点的轨迹的求解,其中解答中熟记向量的坐标运算,以及平面向量的基本定理是解答的关键,着重考查了推理运算能力,属于基础题.7、A【解析】
把直线方程化为,得到直线恒过定点,由此可得点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离,得到答案.【详解】由题意,直线可化为,令,解得,即直线恒过定点,则点P到直线的距离的最大值就是点P到定点的距离为:,故选A.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用,其中解答中把直线方程化为,得出直线恒过定点是解答本题的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题.8、A【解析】
先根据求出与之垂直直线的斜率,再利用点斜式求得直线方程。【详解】由可得直线斜率,根据两直线垂直的关系,求得,再利用点斜式,可求得直线方程为,化简得,选A【点睛】当直线斜率存在时,直线垂直的斜率关系为9、A【解析】
根据线性回归模型建立方法,分析选项,找出散点比较分散且无任何规律的选项可得答案.【详解】根据题意,适合用线性回归拟合其中两个变量的散点图必须散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,分析选项可得A选项的散点图杂乱无章,最不符合条件.故选A【点睛】本题考查了统计案例散点图,属于基础题.10、D【解析】
由题意找到反例即可确定错误的选项.【详解】如图所示,在正方体中,取直线m为,平面为,满足,取平面为平面,则的交线为,很明显m和n为异面直线,不满足,选项D错误;如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,所以A正确;如果两个平面与同一条直线垂直,则这两个平面平行,所以B正确;由A选项和面面垂直的判定定理可得C也正确.本题答案为D.【点睛】本题主要考查线面关系有关命题真假的判断,意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力,属基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】
根据题意结合整除中的余数问题、最小公倍数问题,进行分析求解即可.【详解】由题意得:一个数用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,即最小的一个数为23,同时这个数相差又是3,5,7的最小公倍数,即,即数列的通项公式可以表示为,故答案为:.【点睛】本题以数学文化为背景,利用数列中的整除、最小公倍数进行求解,考查逻辑推理能力和运算求解能力.12、3【解析】
由M在AB边所在直线上,则,又,然后将,都化为,即可解出答案.【详解】因为M在直线AB上,所以可设,
可得,即,又,则由与不共线,所以,解得.故答案为:3【点睛】本题考查向量的减法和向量共线的利用,属于基础题.13、【解析】
根据和之间的关系,应用公式得出结果【详解】当时,;当时,;∴故答案为【点睛】本题考查了和之间的关系式,注意当和时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题14、1.76【解析】
将这6位同学的身高按照从低到高排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76.【考点】中位数的概念【点睛】本题主要考查中位数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,涉及统计的题目,往往不难,主要考查考生的视图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力.15、.【解析】
把圆的一般方程化为圆的标准方程,得出表示圆的条件,即可求解,得到答案.【详解】由题意,方程可化为,方程表示圆,则满足,解得.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与圆的标准方程的应用,其中熟记圆的一般方程与圆的标准方程的互化是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础.16、【解析】
因为,,从而求出,可得数列为等差数列,记数列为,从而将对任意的恒成立化为,,即可求得答案.【详解】,,故,,则,对也成立,,则,数列为等差数列,记数列为.故对任意的恒成立,可化为:,;即,解得,,故答案为:.【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)根据最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和,以及总人数列方程组求解;(2)利用分层抽样,抽取的5人中,3人喜欢大球,2人喜欢小球,根据古典概型求解概率.【详解】(1)由题最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和,所以,解得:,所以;(2)由题可得:喜欢大球的60人,喜欢小球的40人,按照分层抽样抽取5人,其中喜欢大球的3人记为,喜欢小球的2人记为,从中任取2人,情况为:共10种,这两人中,至少一人喜欢小球的情况:共7种,所以所求概率为;【点睛】此题考查统计与概率相关知识,涉及分层抽样和求古典概型,关键在于弄清基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.18、(1)见解析;(2).【解析】
(1)利用三角形中位线和可证得,证得四边形为平行四边形,进而证得,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系,通过取中点,可证得平面,得到平面的法向量;再通过向量法求得平面的法向量,利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】(1)连接,,分别为,中点为的中位线且又为中点,且且四边形为平行四边形,又平面,平面平面(2)设,由直四棱柱性质可知:平面四边形为菱形则以为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:则:,,,D(0,-1,0)取中点,连接,则四边形为菱形且为等边三角形又平面,平面平面,即平面为平面的一个法向量,且设平面的法向量,又,,令,则,二面角的正弦值为:【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型.19、(1);(2),或.【解析】
(1)设,求出,把表示成关于的二次函数;(2)利用向量的坐标运算得,令把表示成关于的二次函数,再求最小值.【详解】(1)设,又,所以,,所以当时,取得最小值.(2)由题意得,,,则=,令,因为,所以,又,所以,,所以当时,取得最小值,即,解得或,所以当或时,取得最小值.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求向量的模和数量积,在求解过程中用到知一求二的思想方法,即已知三个中的一个,另外两个均可求出.20、(1);(2)销量为件.【解析】
(1)利用最小二乘法的公式求得与的值,即可求出线性回归方程;(2)的含义是单价每增加1元,该产品的销量将减少7件;在(1)中求得的回归方程中,取求得值,即可得到单价为12元时的销量.【详解】(1)由题意得:,,,,
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