2022-2023学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年河北省邯郸市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若复数z满足(2+i)z=A.15 B.−15 C.12.已知两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，则下列说法正确的是(

)A.若l/​/α，α∩β=m，则l/​/m

B.若l⊥α且l/​/β，则α⊥β

C.若l3.已知a=(−1,3)，b=A.13b B.12b C.4.为了解不同年级男、女学生对食堂饭菜的满意程度，某中学采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级的所有学生中抽取样本进行调查.该中学高一、高二、高三年级学生的比例与高一男、女生人数如图所示，若抽取的样本中有高一男生140人，则样本容量为(

)

A.500 B.600 C.700 D.8005.“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为45.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为(

)A.2425 B.1625 C.8256.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点M，N分别为边ABA.0 B.4 C.4−27.武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得点A的仰角为30°，45°，60°，且CD=DE=22m，则武灵丛台的高度A.22m B.27m C.30m8.如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为a.若a为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若a为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为b.设事件A：a≤2；事件B：b=4；事件C：b=5；事件D：a+b=A.C与E为互斥事件 B.A与B相互独立

C.D与E为互斥事件 D.A与D相互独立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.如图为2022年2月至2023年2月建筑业和服务业的商务活动指数，该指数等于50%反映该行业经济与上月比较无变化，大于50%反映该行业经济比上月总体上升，小于50%反映该行业经济比上月总体下降，则下列说法正确的是(

)

A.2022年9月至12月服务业经济持续下降 B.2022年9月至12月建筑业经济持续下降

C.2022年5月建筑业经济上升幅度最小 D.2023年2月服务业经济上升幅度最大10.对于非零复数z1，z2，下列结论正确的是(

)A.若z1和z2互为共轭复数，则z1z2为实数

B.若z1为纯虚数，则|z1|2=z1211.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=4，A.若a≥4，则△ABC有两组解

B.若2<a<4，则△ABC有两组解

C.12.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点PA.线段B1P长度的最小值为22

B.三棱锥A−PB1C的体积为定值

C.异面直线BP与AC所成角正弦值的取值范围为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，B=45°，14.已知非零向量a,b满足|b|=2|a|=115.若圆台的高是4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是______．16.在△ABC中，AB=BC=5，D为AC的中点，AD=3，沿BD将△BCD折起.当A四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

为了推进共同富裕，国家选择在某省建设共同富裕示范区，为全国推动共同富裕提供范例.为了了解共同富裕示范区的建设成果，某统计机构调查了该省某示范区100位居民2022年整年的可支配收入，整理后得到如图频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图估计这100位居民可支配收入的众数和80%分位数；

(2)居民人均可支配收入的中位数和平均数的比值是衡量收入分配的指标之一，比值越大收入分配越公平.已知2022年全国居民的人均可支配收入为36883元，人均可支配收入的中位数是平均数的85.1%.18.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段P19.(本小题12.0分)

在△ABC中，AE=12EC．

(1)若2BF=3FE，用AB20.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−cosA=bcosB．

(1)求cb21.(本小题12.0分)

五行，指金、木、水、火、土五个元素.五行学说用五行之间的生、克关系来阐释事物之间的相互关系，是中国文化的重要组成部分，五行之间相生相克的关系如图所示.现有一个不透明的盒子，盒子中有5个完全相同的小球，5个小球上分别标有“金、木、水、火、土”5个字，代表5个元素.现在甲、乙两人各从盒子中随机抽取一个球：

(1)若甲抽到的元素克乙抽取的元素，则甲+2分；

(2)若甲抽到的元素生乙抽取的元素，则甲−1分；

(3)若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，则甲−2分；

(4)若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，则甲+1分；

(5)若甲抽到的元素与乙抽取的元素相同，则甲不计分．

现有两个游戏方案可供甲选择：

方案一：乙先从盒子中随机抽取一个元素后放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素；

方案二：乙先从盒子中随机抽取一个元素不放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素．

每次积完分后把所有小球放回盒子再进行下次游戏．22.(本小题12.0分)

在正三棱锥D−ABC中，AB=AD=3，点P在线段CD上.过点P作平行于BC和AD的平面α，分别交棱AB，AC，BD于点M，N，

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：(2+i)z=1+i，

则z=1+2.【答案】B

【解析】解：两条不同的直线l，m与两个不同的平面α，β，

对于A，若l/​/α，α∩β=m，则l与m平行或异面，故A错误；

对于B，若l⊥α且l/​/β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；

对于C，若l⊂α，m⊄α，则直线l与m有可是共面直线，故C错误；

对于D，若α/​/β，l⊂α，m⊂β，则直线l与m相交、平行或异面，故D错误．

故选：B3.【答案】C

【解析】解：根据题意，已知a=(−1,3)，b=(1,2)，则a⋅b=−1+6=54.【答案】C

【解析】解：由柱状图可知，高一男生500人，女生400人，总共900人，

若抽取的样本中有高一男生140人，

则抽取的高一总人数为140500×900=252人，

又因为高一占总人数比例为36%，

则抽取的总人数为252÷36%=700人，

即样本容量为5.【答案】A

【解析】解：两天都不下雨的概率为15×15=125，

所以所求事件概率为1−125=246.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点D为斜边BC的中点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(2,2)，

又点M，N分别为边AB，AC上的动点，且MN=2，

不妨设M(x,0)，N(0,y)，

则x7.【答案】B

【解析】解：由题知，设AB=x，

则BC=xtan30∘=3x,BD=xtan45∘=x,BE=xtan60∘=33x，

又CD=8.【答案】D

【解析】解：样本空间为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，

(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，

(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，

(6,5)，(6,6)，(6,7)，(6,8)．

事件A包含的基本事件为：

(1,1)，(1,2)，(1,9.【答案】AC【解析】解：A选项，根据服务业商务活动指数图象可知，

2022年9月至12月服务业经济持续下降，所以A选项正确；

B选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，

2022年9月至12月服务业经济持续上升，所以B选项错误；

C选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，

2022年5月建筑业经济上升幅度最小，所以C选项正确；

D选项，根据服务业商务活动指数图象可知，

2023年2月服务业经济上升幅度最大，所以D选项正确．

故选：ACD．

根据折线图对选项进行分析，从而确定正确答案．

10.【答案】AD【解析】解：对于A，z1和z2互为共轭复数，

则z1z2=|z1|2∈R，故A正确；

对于B，不妨设z1=i，

|z1|2=1，z12=−1，故B错误；

对于C，设z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|，但z111.【答案】BC【解析】解：A选项，∵a≥b，∴△ABC有一解，故A错误；

B选项，∵bsinA<a<b，2<a<4，∴△ABC有两解，故B正确；

C选项，∵△ABC为锐角三角形，∴bcosA<c<bcosA，即23<c<833，故C正确；12.【答案】AB【解析】解：由题意可易得平面A1BC1//AD1C，

动点P在正方形A1B1C1D1(包括边界)内运动，且满足BP/​/平面AD1C，

∴P∈A1C1，

对于A：线段B1P长度的最小值即为B1到直线A1C1的距离，

∵A1B1=B1C1，A1C1=42，可得线段B1P长度的最小值为22，故A正确；

对于B：∵P∈A1C1，∴S△APC为定值，B到平面APC的距离d为定值，

∴VA−PB1C=VB1−A13.【答案】2【解析】解：∵B=45°，A=105°，

∴C=180°−A−B=30°，

由正弦定理得，bsinB14.【答案】2π【解析】解：∵|a|=12,|b|=1，且a⊥(a+b)，

∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=15.【答案】84π【解析】解：设上下底的半径分别为r，R

则母线，高，R−r构成一个直角三角形，

母线为斜边5，高为直角边4，通过勾股定理得到R−r=3，即R=3+r

圆台的侧面积公式

s=π(r+R)l

=π(r+3+r)

=π(2r+3)

=45π

r=316.【答案】7

2【解析】解：由题意可得BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC=D，

∴BD⊥平面ADC，∵AD=3，AB=5，∴BD=4，

当AC=3时，

△ADC是等边三角形，其外接圆半径为r=12×ADsin60∘=12×332=3，

∴设三棱锥C−ABD的外接球半径为R，

∴R2=(3)2+(12×4)2=7，17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，人数最多的为[4,6)，所以众数为(4+6)÷2=5．

[12,14]的人数占比为2×0.02=0.04，[10,12)的人数占比为2×0.04=0.08，[8,10)的人数占比为2×0.08=0.16，

所以该示范区100位居民可支配收入的80%分位数落在区间[8,10)内，

设该示范区100位居民可支配数入的80%分位数为x，

【解析】(1)根据频率直方图估计众数和80%分位数即可；

(218.【答案】解：(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，

在△PBD中，O，E分别为BD，BP的中点，

所以OE/​/PD，

因为PD⊄面AEC，OE⊂面AEC，

所以PD/​/面AEC．

(2)取PD中点F，连接AF，CF，

因为PA=AD，

所以AF⊥PD，

因为AD⊥CD，PA⊥CD，PA∩AD=A【解析】(1)连接BD，交AC于点O，连接OE，由中位线定理可得OE/​/PD，由线面平行的判定定理可得PD/​/面AEC．

(2)取PD中点F19.【答案】解：(1)∵AE=12EC，∴AE=13AC，

∵2BF=3FE，

由分点恒等式得：AF=35AE+25AB=35×13AC+25AB=25AB【解析】(1)由平面向量得线性运算计算即可；

(2)20.【答案】解：(1)因为a2−cosA=bcosB，所以acosB=2b−bcosA，

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinB，所以sinC=2【解析】(1)由已知可得sinAcosB+sinBcosA=2sinB，计算可得21.【答案】解：(1)按方案一进行第一次游戏，记甲的积分为a，分析可知a∈{−2,−1,0,1,2}，

且出现的概率相同，均为15，

按方案一进行第二次游戏，记甲的积分为b，分析可知b∈{−2,−1,0,1,2}，

且出现的概率相同，均为15，样本空间Ω={(a,b)|a，b∈{−2,−1,0,1,2}}，

每个样本点出现的概率相等，均为15×15=125，

设按方案一进行两次游戏后甲的积分之和为1分为事件A，

则A={(−1,2)【解析】(1)依据方案一计算进行两次游戏后甲的积分之和为1分的概率即可；

(2)分别计算两种方案下甲的积分之和超过122.【答案】证明：(1)因为BC/​/平面OM