高二物理竞赛课件电路中的有向图的矩阵表示

电路中的有向图的矩阵表示

电路中的有向图的矩阵表示关联矩阵A（降阶）关联矩阵A

概念

A的子阵Atr(A)=n-1A=10010-1-1110000-100-11A=01-1100100-110-10100-1246135At=100-11000-1detAt=-11234561234有向图的矩阵表示从电路考虑要关注一个有向图的哪些信息？关联矩阵A12345612341、Aa的编写规则2、Aa的列的特点r(Aa)n1支路节点Aa=aik1

支路k与节点i关联，且方向离开节点i-1

支路k与节点i关联，且方向指向节点i0

支路k与节点i不关联aik=3、（降阶）关联矩阵A10010-1-1110000-100-1100–1-110Aa=结论在矩阵A中，与任一树的树支对应的列组成的（n-1）阶子矩阵是非奇异的。且detAt=±1。

反之，如果(n-1)阶子矩阵的列不对应于任一树的树支，则此(n-1)阶子矩阵一定是奇异的。

Num(T)=det(AAT)12345612343-2-2网孔矩阵M1、M的编写规则m1m2m32、内网孔是一组独立回路r(M)=bn+13-2-3基本回路与基本回路矩阵一个连通图有多个回路，其中独立的回路是多少个？1261233-2-3基本回路与基本回路矩阵12345612341356123412451234134124235234456134234612341、基本回路概念基本回路数=bn+124613512342、基本回路矩阵Bf（单连支回路）3-2-3基本回路与基本回路矩阵242、基本回路矩阵Bf编写规则三个约定(1)先连支后树支；(2)回路的参考方向选取与确定该回路的连支参考方向一致；(3)回路的编号与连支排列的先后顺序相一致；613512342131000-1-1010-1-10001111Bf=246135123Bf=1lFr(Bf)=b–n+1如何选取独立回路?3-2-4基本割集与基本割集矩阵1、基本割集概念2461352341基本割集数=n12、基本割集矩阵Qf割集的参考方向编写规则三个约定01-110011-101010-1001Qf=246135123Qf=E1(n-1)r(Qf)=n–11233-2有向图的矩阵表示3-2-5有向图矩阵间的关系1、关联矩阵与回路矩阵ABT=0

（或BAT=0

）特别，ABfT=0

，AMT=0证明ABfT=0

展开2、回路矩阵与割集矩阵QBT=0

（或BQT=0

）特别，QfBfT=0QfBfT=0

展开3-3KCL与KVL的矩阵形式3-3-1KCL1、用关联矩阵A表示的KCL2461351234

方程的矩阵形式123456i1i2i3i4i5i6=12310010-10-11100000-100-110Aib=0

方程的讨论，独立和完备的电流变量123100-1110-10i1i2i310-10000-11i4i5i6=–456Atit=–Alilit=–At-1Alil3-3-1KCL1、用关联矩阵A表示的KCL

方程的讨论，独立和完备的电流变量(连支不可能构成割集)i1i2i3=–10-10000-11i4i5i6456123100-1110-10–12、用基本割集矩阵Qf表示的KCL246135234112324613512301-110011-101010-1001i2i4i6i1i3i5=000

KCL方程Qib=03-3-1KCL2、用基本割集矩阵Qf表示的KCL246135234112324613512301-110011-101010-1001i2i4i6i1i3i5=000100010001i1i3i501-111-110-1i2i4i6=1352461it=Eili1i3i501-111-110-1i2i4i6=246

讨论it=Eil3-3-1KCL3、用网孔矩阵M表示的KCL1234561234m1m2m3123456101-10001-10-10000111M=m1m2m3网孔电流的概念,方程的导出

独立、完备的电流变量4、用基本回路矩阵Bf表示的KCL回路电流的概念,方程的导出与用M表示KCL