自动控制原理五

第五节系统的稳定性和代数稳定判据7/13/20231一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。稳定的充要条件和属性

稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。7/13/20232设系统或元件的微分方程为：上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。这项相当于系统齐次微分方程的解。+系数取决于初始条件的多项式稳定的充要条件和属性式中：x(t)—输入，y(t)—输出为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）7/13/20233线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。稳定的充要条件和属性前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。7/13/20234充肝要饭条仰件傅说窃明如插果邻特见征笑方狂程况中防有读一窃个断正督实践根总，丸它张所图对铃应逆的谎指数数注项腾将别随撒时寸间砌单这调废增首长蹄；如果胳特征有方程聪中有座一对贡实部孩为正血的共凭轭复絮根，著它的纲对应犬项是杯发散滩的周舱期振唇荡。上述剑两种爷情况闹下系妖统是不孝稳赠定的斩。如果便特征橡方程骨中有渠一个粘零根际，它蜂所对烦应于顾一个颠常数坛项，停系统驶可在姥任何斗状态催下平椅衡，洁称为随固遇砌平茶衡划状绪态；如果魄特征谜方程俯中有萝一对确共轭育虚根宫，它知的对裂应于莫等幅派的周迁期振狸荡，推称为临界张平衡扶状态（或临界糕稳定展状态）。从糊控航制苗工畏程肉的取角更度委认樱为临软界辱稳正定辣状向态和随沃遇子平缸衡梦状染态属稠于不稳喝定。稳定区不稳定区临界稳定S平面7券/梨9核/茧2云0册2遭35对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。对于二阶系统，只有都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）对于森三阶笼或以覆上系畅统，踪蝶求根势是很饿烦琐野的。弄于是虾就有旦了以鬼下描抽述的第代数雁稳定答性判骄据。充要胃条件捧说明注意尿：稳定样性是撕线性阁定常兔系统仅的一蜂个属左性，侍只与探系统慕本身嫩的结角构参造数有莲关，慢与输篇入输留出信境号无肿关，保与初述始条蛾件无浇关；享只与湖极点渔有关辈，与肃零点犯无关滴。7泽/铺9极/冷2础0她2鹿36二录、歪劳趣思获—古赫冰尔没维右茨拦稳罪定糊性震判象据（一）、劳思判据

设线性系统的特征方程为则该系统稳定的充要条件为：特征方程的全部系数为正值；由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。劳思楼阵的纠前两协行由埋特征奥方程敌的系筹数组彩成。第一医行为炎1，疤3，蔽5，鸣…项贞系数童组成槐，第拌二描行态为辫2经，袄4牵，择6遥，格…运项垂系剩数航组川成吨。劳记斯拳判扔据7污/扭9青/池2爸0稼2克377/撤9/侍20饭238劳斯昼判据以护下系各侮项傲的悠计船算济式刺为嫂：7/拼9/宋20申239劳斯淋判据依次类推。可求得7/凤9/堤20恳231屋0劳斯牙判据抗例子[例]：特征方程为：，试判断稳定性。[解]：劳斯阵为：稳定的充要条件为：均大于零且7菊/田9依/嫌2闹0奔2腥31腾1特殊元情况生下劳吴斯阵痒列的到列写历及结隙论：用一咳个正桂数去络乘或远除某稻整行出，不疗会改勒变系暴统的绣稳定酬性结肺论；劳婶斯蛋阵朱第逼一奥列鼠所若有句系蕉数育均由不咸为昨零备，嚼但途也构不盒全笋为可正兽数找，骡则卫系勿统膊不课稳冈定她。智表常示s右犹半宽平舰面欠上月有销极洒点颤，过极搭点震个深数妥等冲于何劳储斯吃阵漂列悦第服一吸列耗系鹿数刚符践号艺改拾变耗的单次扭数嚷。[挖例持]涉：棋系炕统喝的闷特锈征浙方刚程颗为满：-130（2）100（）劳斯迫阵第繁一列首有负走数，豪系统滔是不福稳定凉的。袖其符晒号变愚化两赵次，节表示五有两扛个极庸点在s的右报半平魂面。劳智斯镰判顽据巡寿特厨殊烛情稻况7典/铺9恐/亚2违0烘2皱31惧2劳抚斯闸判拒据养特寇殊底情兆况劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。[处理办法]：用很小的正数代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。[例]：令则

故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。7猴/普9确/管2皱0攀2拥31谨3劳肺斯菊阵躺某战行洽系逼数膛全相为伏零浊的怠情垒况们。甚表祖明召特屿征容方笑程沙具难有桌大避小锯相修等顿而块位款置皮径答向刮相匆反聋的阴根坦。专至熟少揭要得下样述稳几破种龙情抹况到之睬一增出拉现夕，果如券：筹大邮小淡相蠢等厦，累符叮号劈燕相漫反班的戏一奇对矿实似根砖，勤或腹一厌对差共吃轭往虚演根巨，忠或叨对姜称谁于洋虚徒轴拳的煌两谎对隐共宗轭咬复缎根飘。劳斯名判据赢特殊公情况例如:[液处挖理梨办棍法享]穴：可姨将泡不誉为咱零蚂的养最来后品一粥行兴的线系哥数郊组险成洲辅纪助觉方访程眨，怖对锤此低辅邮助突方偶程偏式卡对s求染导搬所蝴得提方描程邪的滨系花数蜡代昼替竭全挨零甜的取行事。气大辉小苦相俊等美，师位逃置弓径假向鱼相耽反励的漆根姥可狠以哑通薪过包求怠解乳辅顷助船方伤程扑得甩到属。秒辅声助久方劈燕程宴应莫为渣偶扎次斜数躺的托。7/酒9/宁20俭2314[例]：168168130380从第筹一列该都大孝于零贷可见依，好沸象系胞统是钳稳定被的。才注意权此时墓还要营计算焰大小邀相等骡位置扶径向广相反寺的根嘴再来诊判稳宣。由桥辅助贵方程贺求得往：劳斯死判据茅特殊滔情况辅助方程为：，求导得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此敏时婚系惜统对是摆临男界音稳淡定溪的川。球控锻制堪工堡程栗上殿认沉为躬是故不铸稳浩定需的耕。7喷/收9今/口2斤0橡2报315（二卖）、呜胡尔粪维茨蜂判据胡尔趴维茨判据设系统的特征方程式为：则系统稳定的充要条件是：，且由特征方程系数构成的胡尔维茨行列式的主子行列式全部为正。胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数至最后一项系数，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。胡尔维茨行列式：7/超9/卫20氧2316胡瞎尔镰维役茨判冈据以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：胡尔维茨行列式为：稳定行的充撕要条烟件是股：7万/局9钳/厨2芳0置2倡317胡砖尔柄维己茨判醉据柄的段另经一遭种拳形辞式系统稳定的充要条件（Lienard-Chipard定理）：若或，则系统稳定。胡尔撇维茨判据告的另滋一种殃形式狭：式中，为胡尔维茨主子行列式。采用这种形式的判据可减少一半的计算工作量。7/场9/柿20旁2318（三完）劳窑斯-健胡尔吗维茨示稳定弯性判浆据的蛇应用判务定气控窝制怒系膜统必的震稳辽定劣性[例3-4]系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。[解谁]：砍排列纽奉劳斯勾阵如右下：因为，，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。7/茎9/啊20奸231沃9[例3-5]：系统的特征方程为：试用胡尔维茨定理判稳。[解]：系统的特征方程为：列胡尔维茨行列式如下：所薄以斤，壤系拆统豆是剥稳弊定苍的壮。注意：由于所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 这样可以减小一半的计算量。7怪/见9肿/渔2溜0社2举32罚0[例3-6]系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。[胖解农]确：羽劳栽斯阁阵吉如昼下行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：其导数为：将4,48或1,12代替行，可继续排列劳斯阵如下：

因为行全为零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：

由于有特征根为共轭虚数，所以系统不稳定7/以9/禾20俱232方1设剩余的一个根为-p。则：，整理得：比较系数得：-p=-2极买点栋分颤布晋如姜下僚：注助意坏：劳鹅斯移判盐据筹实正际炼上捎只祝能旋判鉴断险代牌数井方慈程乡丰的近根轰是野在s平俱面浑左笼半帝闭魂平坟面箭还弊是索在缓右竖半柔开止平产面冈。诞对战于始虚岩轴即上肉的厚根葬要索用扁辅笛助现方偷程探求蔑出柏。若缠代糊数本方山程泄有香对胖称徒于贪虚吉轴汇的农实律根吉或爸共貌轭茶复池根出，妈则纳一真定拉在胁劳丹斯狡表局的跨第卷一宇列独有局变药号纤，舅并讯可叠由亚辅果助读方吼程逃求顾出7倒/闷9放/泊2亏0表2细322分唇析滤系核统掉参叔数驾变芒化伏对牵稳恨定尘性消的宽影坟响利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数。[况例堪3卫-竞7君]古已厘知向系盆统辽的胡结堆构家图撑，巨试翠确咱定萄系盒统竿的愈临逆界著放葱大阶系或数刷。[解]：闭环传递函数为：特征方程为：7/荐9/蛙20鞠2323劳斯阵：要使系统稳定，必须①系数皆大于0，②劳斯阵第一列皆大于0所以，临界放大系数确散定骑系捉统先的幸相芒对羽稳情定技性钉（老稳申定抓裕狭度割）利用杨劳斯预和胡饰尔维依茨稳戚定性予判据员确定靠的是锅系统宁稳定乓或不厕稳定忠，即清绝对纸稳定珠性。朽在实含际系赏统中湖，往锡往需见要知梯道系晕统离袍临界勺稳定付有多男少裕希量，昌这就茂是相障对稳幸定性全或稳车定裕阵量问袄题。7/置9/其20四2324利用实部最大的特征方程的根p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离表示系统稳定裕量。若p处于虚轴上，则，表示稳定裕量为0。作的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有的稳定裕度。一般说，越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称系统具有的稳定裕度。[例]系统特征为：，可知它是稳定的。令则：行全为零，以它上面的行组成辅助方程，其解为特殊根。对辅助方程求导，用其系数代替行。辅助方程为：，其系数为1，0。其解为： ，有一对共轭虚根，所以系统是临界稳定的。系统的稳定裕度恰为1。7偶/次9骡/垫2掀0闭2呆32造5[京例麦3跳-肥7浇]都已拦知恰系捎统雁的嘴结眼构歉图铁，昼为抱使营系狮统立特腿征泊方狐程峡的柜根施的弓实表数靠部毕分瞒不德大迟于嘴-迫1清，参试重确贷定k值稠的笼取尝值着范啦围横。[巾解幸]坡：侄闭早环裙特骆征辰方红程邪为物：现以s=团x-物1代瞒入宜上负式盼，由得劳斯阵：要使系统稳定，必须①系数皆大于0，②劳斯阵第一列皆大于0所以，此时k的取值范围为7阁/造9仙/兆2碧0舰2撕32述6讨论相对稳定性除了考虑极点离虚轴远近外，还要考虑共轭极点的振荡情况。对于共轭极点，其实部反映响应的衰减快慢，虚部反映响应的振荡情况。对于极点，对应的时域响应为。所以，越小，衰减越慢，越大，振荡越激烈。如下图示意：可用共轭极点对负实轴的张角来表示系统的相对稳定性。当时，表示极点在虚轴上，系统为临界稳定。越小，稳定性越高。相对稳定性越好。7竭/带9感/吩2位0强2列32惨7三翠、部结被构湿不阿稳俘定腿系稠统及妈其拿改仰进两措学施仅验仅牺调侮节蜘参叼数早无都法拢稳串定遇的盆系孕统拼称娃为爱结汇构睬不馆稳涛定烫系跳统缴。结质构旅不梦稳掠定杀系辉统脑及梦其蜜改兰进抗措租施-杠理杆建和中放粒大墙器洋的嫁传按递废函慈数执行往电机泼的传支递函抢数进水扛阀门主的传软递函医数控王制钥对怜象泪水阴箱遵的湾传拜递疾函鞋数例守：继如躲图甘所敲示当的终液钥位加控需制有系贸统7响/茶9犹/避2差0验2渔328结构龙不稳铲定系余统及贡其改助进措哈施闭环遥传递糕函数晶为：令：闭环特征方程为：展开为：方程系数：由于，不满足系统稳定的必要条件，所以系统是不稳定的。这也可从劳斯表看出。劳斯表：由蜡于阵无导论着怎映样扩调各节锅参辛数K和T都不畅能使码系统袋稳定名，所亮以是乘一个梁结构肃不稳日定的竞系统简。欲拘使罪系拜统配稳赚定面，绒必樱须宇改税变故原犁系照统绘的兆结态构暖。7/惩9/学20么2329结草构爆不闻稳膜定何系刃统里及株其岔改毫进标措贴施由图摔可看冷出，创造成陕系统隐结构殊不稳驼定的血原因育是前庆向通粉路中肉有两它个积卖分环衣节串部联，肥而传陪递函坐数的笼分子恢只有砖增益K侮。这样毯，造鸣成系嫩统闭浴环特翻征方庸程缺示项，后即s一架次恩项条系睬数闯为钻零敬。因此皂，消偏除结堡构不时稳定脊的措苏施可吸以有仙两种尚，一肠是改蛇变积充分性要质；腹二是丙引入唐开环雹零点稿，补周上特剃征方培程中题的缺伸项。-7纱/砍9挺/埋2坑0归2妻330结盛构伴不虚稳职定需系掌统嗽及翠其