第3章 圆锥曲线的方程（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）（原卷版）

第3章圆锥曲线的方程（基础、典型、易错、新文化、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2020·全国·高二课时练习）十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面对几何学提出了新的需要．当时德国天文学家开普勒发现许多天体的运行轨道是（

）A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆2．（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））线段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中点，当点P在同一平面内运动时，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．3．（2022·全国·高二课时练习）已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（

）A． B．C． D．4．（2021·安徽·高二期中）在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（

）A． B． C．2 D．35．（2022·重庆八中高二阶段练习）19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（

）A． B． C． D．二、多选题6．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（

）A．当时，点P的轨迹不存在B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆7．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）已知点P为双曲线上一点，，为双曲线的两个焦点，下列结论正确的是（

）A．a的取值范围是B．该双曲线的焦点坐标为，C．当时，该双曲线的渐近线方程为．D．当时，若时，则或13三、填空题8．（2021·江苏·高二专题练习）若三个点中恰有两个点在抛物线上，则该抛物线的方程为___________.9．（2021·重庆·高二阶段练习）已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为________．10．（2022·广东湛江·高二期末）写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：___________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为.11．（2022·全国·高二课时练习）（1）若椭圆的长轴在轴上，长轴长等于，离心率等于，则椭圆的标准方程为______；（2）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆过点，则椭圆的标准方程______；（3）若、、、四个点中恰有三个点在椭圆上，则椭圆的标准方程为_____．12．（2022·全国·高二专题练习）最能引起美感的比例被称为黄金分割．现定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则__________．四、解答题13．（2022·江苏·高二课时练习）如图，要把一个边长为100cm和64cm的矩形木板锯成椭圆形，使它的长轴长和短轴长分别为100cm与64cm，用简便的方法在木板上画出这个椭圆的草图．14．（2022·江苏·高二课时练习）在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程，将其变形为，你能解释这个方程的几何意义吗？15．（2022·全国·高二课时练习）“神舟十三号”载人飞船成功发射进入预定轨道，开始巡天飞行．该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，轨道上离地球表面最近的距离约为200km，最远的距离约为350km．已知地球半径约为6371km，建立直角坐标系，求“神舟十三号”飞行的椭圆轨道方程．16．（2021·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知双曲线(1)若双曲线的实轴长度是虚轴长度的倍，且焦点和双曲线的焦点相同，求双曲线的方程．(2)设是双曲线上的任意一点，求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.17．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求椭圆的离心率：(1)焦距和短轴长相等；(2)长轴长是焦距的2倍；(3)焦距等于椭圆相邻两个顶点间的距离；(4)经过一个焦点，且与长轴垂直的弦的弦长与焦距相等．18．（2022·全国·高二课时练习）已知边长为的正方形的四个顶点恰好是椭圆C的两个短轴端点和左、右焦点，求椭圆C的方程．19．（2022·全国·高二课时练习）在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.（1）；（2）；（3）．通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．20．（2022·江苏·高二课时练习）求解下列问题：(1)已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4，求椭圆的离心率；(2)设F是椭圆的一个焦点，是短轴，若，求椭圆的离心率．【典型】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·高二专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二阶段练习）已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．2二、多选题5．（2022·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．26．（2022·江苏南通·高二开学考试）已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（

）A．若直线的斜率为，则B．的最小值为C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为D．若点，则周长的最小值为三、填空题7．（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是______．8．（2022·全国·高二）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．9．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.四、解答题10．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，，的最小值，，且满足．(1)求双曲线的离心率；(2)若，过点的直线交双曲线于，两点，线段的垂直平分线交轴于点（异于坐标原点），求的最小值．11．（2022·云南红河·高二期末）设抛物线上的点与焦点的距离为6，且点到x轴的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线的准线与x轴的交点为点，过焦点的直线与抛物线交于两点，证明：．12．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程.13．（2022·江苏省丹阳高级中学高二开学考试）椭圆的离心率为，且椭圆经过点．直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．14．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，，点满足，且的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设E､F是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，直线OE的斜率为，直线OF的斜率为，求当为何值时，直线EF与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.15．（2021·江苏·高二单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点到直线的距离为，若点在椭圆上，的周长为6．(1)求椭圆的方程；(2)若过的直线与椭圆交于不同的两点，，求的内切圆的半径的最大值．16．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．（1）求椭圆T的方程；（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【易错】一．选择题（共12小题）1．（2021秋•兰州期末）已知两定点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线2．（2021秋•平房区校级期末）已知方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（） B．（1，+∞） C．（1，2） D．（）3．（2021秋•新邵县期末）若1，m，9三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（）A．或 B．或2 C．或2 D．或4．（2021秋•开封期末）如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y＝0 B．x+4y﹣10＝0 C．x+4y﹣6＝0 D．x﹣4y﹣10＝05．（2021秋•延平区校级期中）在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆9x2+4y2＝36有公共焦点，则双曲线的方程是（）A．﹣x2＝1 B．﹣y2＝1 C．x2﹣＝1 D．y2﹣＝16．（2021秋•衡阳月考）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且|PF1|＝3，则|PF2|＝（）A．1或5 B．1 C．4 D．57．（2021秋•湖南月考）已知抛物线C：y2＝4x，直线l过点A（﹣2，0），且与抛物线C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2021秋•滁州期中）已知椭圆，点C在椭圆上，以C为圆心的圆与y轴相切于椭圆的上焦点，若圆C与x轴相交于M，N两点，且△CMN为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．9．（2021秋•海淀区校级月考）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．（2021秋•庐阳区校级期中）已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（A在第一象限），若△AF1F2与△BF1F2内切圆半径之比为3：2，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，5） B．（1，2） C． D．11．（2021秋•金安区校级期中）已知椭圆方程为＝1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为（）A．＝1 B．＝1 C．+＝1 D．＝112．（2021•浙江模拟）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足•＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．[，] B．[，1） C．[，﹣1] D．[﹣1，1）二．多选题（共2小题）13．（2021秋•新化县期末）已知方程mx2+ny2＝1（m，n∈R），则（）A．当mn＞0时，方程表示椭圆 B．当mn＜0时，方程表示双曲线 C．当m＝0时，方程表示两条直线 D．方程表示的曲线不可能为抛物线14．（2021秋•重庆期末）如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点与左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是（）A．a1+c1＞2（a2+c2） B．a1﹣c1＝a2﹣c2 C．a1c2＞a2c1 D．三．填空题（共5小题）15．（2021秋•咸阳期末）已知双曲线C：的两焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝．16．（2021秋•海淀区校级期末）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x+5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是．17．（2021秋•苏州期末）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若|AC|•|BD|≥|FC|•|FD|，则该圆的半径r的取值范围是．18．（2021秋•呼和浩特期末）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．19．（2021•山东模拟）已知M（a，4）是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，则a＝；若过点P（3，4）向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则|AF|•|BF|＝．四．解答题（共1小题）20．（2021秋•永春县校级期末）已知二次曲线∁k的方程：．（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）若双曲线∁k与直线y＝x+1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；（3）m、n为正整数，且m＜n，是否存在两条曲线∁m、∁n，其交点P与点满足PF1⊥PF2，若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．【新文化】一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点处，已知卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·高二专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（

）A． B． C． D．3．（2022·北京市十一学校高二期末）在椭圆C：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该图由法国数学家G-Monge（1746-1818）最先发现.若椭圆C的离心率为e，左､右焦点分别为､，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆相交于M，N，则（

）A． B．1 C． D．以上答案均不正确二、多选题4．（2022·全国·高二单元测试）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则（

）A．点P的轨迹是一条线段B．点P的轨迹与直线：是没有交汇的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．不是“最远距离直线”D．是“最远距离直线”三、填空题5．（2022·全国·高二课时练习）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈、极简和雕塑般的气质．若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例压缩后可近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为______．6．（2022·全国·高二课时练习）青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为___________.四、解答题7．（2022·全国·高二课时练习）圆锥曲线又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，数学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线论》，对圆锥曲线的性质做了系统性的研究，之所以称为圆锥曲线，是因为这些曲线是由一个平面截一个正圆锥面得到的，其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一些曲线．如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别切于点，，该平面与圆柱侧面的交线为椭圆，求这个椭圆的离心率．8．（2022·江苏·高二）世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为米，是由我国天文学家南仁东先生于年提出构想，历时年建成的．它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内．(1)求的方程；(2)一束平行于轴的脉冲信号射到上的点，反射信号经过的焦点后，再由上点反射出平行脉冲信号，试确定点的坐标，使得从入射点到反射点的路程最短．【压轴】一、多选题1．（2022·云南省昆明市第二十四中学高二期末）已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（

）A．B．若，则C．若，则面积的最小值为D．四点共圆2．（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）已知､是椭圆的左､右焦点，，椭圆上（异于顶点）的点满足，则下列选项正确的有（

）A．直线必定与椭圆相切B．三角形与三角形面积之和为定值6C．三角形与三角形面积之和为定值6D．点､到直线的距离相等二、填空题3．（2022·福建·福州三中高二期末）已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________4．（2022·湖南·株洲二中高二阶段练习）已知双曲线：，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为的内心，的面积的取值范围是__________．5．（2022·四川省资阳中学高二阶段练习）阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则______．三、解答题6．（2021·福建·厦门一中高二阶段练习）已知圆，圆，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)证明C是椭圆（除去一点），并求C的方程；(2)①一组方向向量为（k为常数）的平行直线与C均有两个公共点，证明这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；②上图是该椭圆旋转一定角度所得的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其两个焦点的位置，并在答卷的图中画出来.（不必说明理由）.7．（2022·河南郑州·高二期末（理））在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.8．（2021·浙江台州·高二期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上．(1)求△面积的最大值；(2)设过点P的椭圆的切线方程为，试用k，m表示点P的坐标；(3)设点P坐标为，求证：一条光线从点发出到达P点，经过椭圆反射后，反射光线必经过点．9．（2022·全国·高二专题练习）在直角坐标系中，抛物线与直线交于P，Q两点，且.抛物线C的准线与x轴点交于点M，G是以M为圆心，为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.(1)求抛物线C的方程；(2)求面积的取值范围.10．（2022·海南·嘉积中学高二期末）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．11．（202