椭圆切线与蒙日圆

#蒙日圆蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。ypypx2y2若椭圆的方程是一+J=1oP为椭圆外一点，过P点的两切线PM和PN互相垂直；则点P的轨迹方程a2b2为圆X2+y2=a2+b2oTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"例：已知椭圆c:竺+；=1(a>b>0)的一个焦点为(75,0)，离心率为占5,a2 b2 35(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x,y)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。0 0\o"CurrentDocument"，一一c c5 c5解:(1)c=三5,e二一二二二—,a-3,b2-a2-c2=9一5二4,aa3椭圆c的标准方程为:x2+£-1.9 4(2)若一切线垂直x轴,则另一切线垂直于y轴,则这样的点P共4个，它们的坐标分别为(-3,±2),(3,±2).若两切线不垂直于坐标轴，设切线方程为y-y-k(x-x),00TOC\o"1-5"\h\z即y-k(x-x)+y,将之代入椭圆方程x2十二-1中并整理得：0 0 9 4(9k2+4)x2+18k(y-kx)x+9(y-kx)2-4-0,依题意,A-0,00 00即:(18k)2(y-kx)2-36](y-kx)2-4(9k2+4)-0,即4(y-kx)2-4(9k2+4)-0,00 00 00y2—4」.(x2-9)k2-2xyk+y2-4-0,两切线相互垂直,「.kk--1,即：4 -1,0 00 0 12 x2一90x2+y2-13,显然(-3,±2),(3,±2)这四点也满足以上方程，0 0.••点P的轨迹方程为2+y2-13..例2.给定椭圆C:三+4-1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为：厚的圆是椭圆C的“准圆”.若a2b2椭圆C的一个焦点为 ，其短轴上的一个端点到F的距离为「：(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；⑵点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线，/、l交“准圆”于点1 2M,N.(i)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线，|、l的方程并证明I11;1 2 1 2(ii)求证:线段MN的长为定值并求该定值.

解：（1）,.Z=.2a=飞,,•・》=_社2-2=1,・••椭圆方程为+y2=1,准圆方程为x2+y2=4；（2）（i）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0,2）,「尸k什2设过点P（0,2）且与椭圆相切的直线为y=&+2,所以由J£得（1+3N）x2+12kx+9=0.后+yE因为直线y=kx+2与椭圆相切，所以△=144k2-4X9（1+3k2）=0,解得k=±1,所以直线11>12的方程为y=x+2和y=-x+2；且kJk2=-1,A11±12.（ii）①当直线1］,12中有一条斜率不存在时，不妨设直线1］斜率不存在，则小％=±6，当/时，/i与准圆交于点（6，1）和（如，-1），此时12为y=1（或y=-1）,显然直线h,12垂直；同理可证当1％=--百时，直线h,12垂直；②当4,办斜率存在时，设点?（%0,为），其中，J+y-=4；'产七（X-Z0）+y0设经过点P（%。，M与椭圆相切的直线为y=%（%-%）+W所以由/口，*>■ IC--■得（1+3/2）+3+6t（%-比0）%+3@口_上肛］2-3=0；由△=（）化简整理得（3-篁J）%2+2%0尔+1-yj=0,因为，J+yJ=4,所以有（3- R+2%0y0%+（,J-3）=。；设1］，12的斜率分别为h和%2，因为11，12与椭圆相切，所以0-2满足上述方程（3-盯2）/+2%0尔+（工02-3）=0,所以11・t2=-1,即11,12垂直;综合①②知：因为11,12经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M、N,且11,12垂直；所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，IMNI=4,所以线段MN的长为定值.例4.已知椭圆C：=+号=1（〃>b>0）,该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3+3a2b21离心率为⑴求椭圆的方程；⑵如图,若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切,求矩形ABCD面积的最大值.【分析】（1）由题意可得：!（；a+c）M2h=3.三£==，a2=b2+c2,联立解出即可得出.2 a2 _（2）令A（x0,y0）,当AB斜率为0或不存在时，可得SABCD=8,另当AB斜率存在且不为0时，设AB方程：y=kx+y0-kx0.代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-8k（kx0-y0）x+4（k町-y口）？-12=0,根据AB与椭圆相切，可得^;。，化为：k2/2-2kx0y0+y-3-4k2=0,同理可得AD与椭圆相切，可得：盘+2kx0yo+k2y；-3k2-4=0.进而得出.TOC\o"1-5"\h\z解：(1)由题意可得：](a+c)X2h=3寸氐工=1,加=炉+c2,联立解得。=2,b=®c=1.2 a22 2・•・椭圆的方程为一+好=1.4 3 _(2)令A(%，打),当45斜率为0或不存在时，可得5Abcd=86^.当45斜率存在且不为0时，设45方程：丫=履+为-H0。代入椭圆方程可得：3N+4(kK-k，u+兀)2二]2,化为：(3+4F)N-8■履o-%)%+4可得3-y0)2-12=0,•・N5与椭圆相切，可得△=541^&2口一了口产-4(3+4/)[4必]□-兀/-12]=。，化为：+^-^2=0-3-4k2=0,①.同理可得4。与椭圆相切，可得2(4)%0%+d-3-4(」了=0,化为：同+2区0%+谓(k'u•].二・ u-k- u ■u-3k2-4=0.(2)①+②可得：点在以原点即A点在以原点为圆心，.〒为半径的圆上.•••A5C。为以原点为圆心，.〒为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD为正方形时面积最大.可得SABCD=