牛吃草问题经典例题

牛吃草问题经典例题英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量--生长的草量=消耗原有草量)；4、最后求出可吃天数22天吃的总量与均分到(22-10)天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条(10×22-16×1O)÷(22-1O)=(220-160)÷12=60÷12=5(头)(10-5)×22÷(25-5)=5×22÷20=5.5(天)----------------------------------------------------------------这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5(天)。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定(均匀变化)的问题就是牛吃草问题。分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草(l0—5)×20＝100(份)或(15—5)×10＝100(份)。新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5(天)。(1)每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的(2)在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。(3)在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。例2一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。 (份)，3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15(份)，这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3(分)内所放进的水量，所以每分钟的进水量是16-15)/3=1/3(份)假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份)解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份)进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分)例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。)，说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃所以牧场原有草(20＋10)×5＝150(份)。例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝100(级)，女孩6分钟走了15×6＝90(级)，女孩比男5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有(20＋10)×5＝150(级)。解：自动扶梯每分钟走(20×5－15×6)÷(6—5)＝10(级)，自动扶梯共有(20＋10)×5＝150(级)。例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。5个检票口20分钟通过(5×20)份，说明在(30-20)分钟内新来旅客(4×30-5×20)份，所以每分钟新来旅客(4×30-5×20)÷(30-20)=2(份)。假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为(4-2)×30=60(份)或(5-2)×20=60(份)。的旅客，需要60÷(7-2)=12(分)。分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。[5，6，8]＝120。＝264(头)牛吃10天。＝240(头)牛吃14天。因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：285头牛吃几天”(240×14－264×10)÷(14－10)＝180(份)。草地原有草(264—180)×10＝840(份)。可供285头牛吃840÷(285—180)＝8(天)。----------------------------------------------------------------(由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米)。这个着名的公牛问题叫做“牛顿问题”。牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又草、则按比例63头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛四个星期)内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上面积为y由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的，根据题意，设若所求的公牛头数为x，则(10/3+10/3)*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x————————————————————————————————⑴每天新长的草：(23×9-27×6)÷(9-6)=15⑵牧场原有的牧草：27×6-15×6=72⑵21头牛几天把草吃尽：72÷(21-15)=12计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一点考虑进去。(江苏人民出版社《小学数学袖珍手册》)没看吧主的解，试做了一下：2、X+9Y=Z*23*93、X+Y=Z*21*得到:72Z+15Z=21Z得到:=12.小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会7次，其中“追上”3————————————————————————————————牛吃草问题解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；这个时间期限后草场每天(周)生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。假设一头牛一周吃草一份所以每周新生长的草量：(207-162)÷(9-6)=15份牧场上原有草量：1×27×6-15×6=72份，(或1×23×9-15×9=72份)牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分：一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草.2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。已知某草地上的草可供20头假设一头牛一天吃草一份所以每天枯草量：(100-90)÷(6-5)=10份牧场上原有草量：1×20×5+10×5=150份(150-10×10)÷10=5头牛(10+15)=25头牛可以吃多少天设一牛一天吃草一份则每天长草(1×16×20-1×20×12)÷(20-12)=10份份所以每小时漏进水：(50-36)÷(10-3)=2份所以如果要求2小时淘完，要安排(30+2×2)÷2=17人淘水每天进水(100-90)÷(20-15)=2份所以若6天抽完，共需抽水机(60+2×6)÷6=12台8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一将三块草地的面积统一起来：即[5，6，8]=120于是，假设一头牛一天吃草一份所以120公顷草地每天新生长的草：(240×14-264×10)÷(14-10)=180份=840份所以可供285头牛吃840÷(285-180)=8天新生资源速度一定，那么为满足人类不断发展需要，地球最多能养活多少亿人？所以每年新生资源(24000-10000)÷(300-100)=70份为满足人类不断发展需要，应使每年消费的总资源不超过每年新生资源8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候所以每分钟来的旅客：(120-100)÷(30-20)=2组所以如果同时开7个检票口，那么