专题：椭圆的离心率解法大全

zyzlzyzl专题:Id的离心率一，利用定义求椭圆的离心率（e=-或e2=l-a1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率。= —2士 1 12,椭圆1+L=1的离心率为则加= 4 m 2［解析］当焦点在工轴上时，匹巫.=9=>〃7=3；当焦点在〉，轴上时，= =2 2 yjin2 3综上小=3或3333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是-54,已知m,n,m+n成等差数列，m,n,mn成等比数列，则椭圆1+L=1的离心率为mn2〃=2m+n［解析］由1〃2=机，mnw0in=2椭圆二+21=1的离心率为包

mn 25,1 2已知_+—=1（〃？>0刀>0）则当mnmn取得最小值时，椭圆二十二=1的的离心率为且nrir 26,设椭圆二+二二1（3>b>0）的右焦点为£,右准线为人若过£且垂直于x轴的弦的长等于点£到八的crb-距离，则椭圆的离心率是2二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e1,在A/AABC中，ZA=90°,AB=AC=l,如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率（e=V6-V3）2,如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB,与BF交于D,且/BDB］=90°,则椭圆的离心率为（ ）［解析］2.(_%=—ln/—c2="ne=ac3,以椭圆的右焦点F二为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为3,直线MF：与圆相切，则椭圆的离心率是蛆-1变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于M、N两点，如果IMFI=|MO|,则椭圆的离心率是c a4,椭圆Ja=l（a>b>0）的两焦点为R、2,以R艮为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则ab椭圆的离心率e?解：:IFHI=2cIBF：I=cIBFzI二木。c^/3c=2aAe= 1■■变式（1）：椭圆好+『l（a>b>0）的两焦点为Fi、F「，点P在椭圆上，使△OPR为正三角形，求椭圆离心率？ab解：连接PR,则I0邑I=IOF】I=IOPI,ZF：PF：=90°图形如上图，已二4-1.变式（2）椭圆三生一口殳为>0）的两焦点为Fi、艮，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且P3_LX轴，abPF：〃AB,求椭圆离心率？b? |pp| b 解：IPFxI=一IF：FiI=2cIOBI=bI0AI=aPF：〃AB --又Vb=遍一二TOC\o"1-5"\h\za Ir：riIa ▼:.a：=5c2 e=^变式（3）:将上题中的条件“PF,〃AB”变换为“PO〃A5（。为坐标原点）”■ ■相似题：椭圆三+《Ll(a>b>0),A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，NABF=900,求e?a b解：IAOI=aIOFI=cIBFI=aIABIRa'+b'a2+b：+a2=(a+c)，=a，+2ac+c' a：-c2-ac=0两边同除以a'e2+e-l=0e=—e=-舍去)乙 乙变式（1）：椭圆*+±-l（a>b>0）, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求NABF?ab 乙点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类的椭圆为优美椭圆。性质：（1）NABF=90。（2）假设下端点为B一则ABFB】四点共圆。（3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式（2）:椭圆二+==1（”>6>0）的四个顶点为乩B、。、D,若四边形皿的内切圆恰好过椭圆的焦点，则a-1厂椭圆的离心率e二丑」-2提示：内切圆的圆心即原点，半径等于C,又等于直角三角形AOB斜边上的高，，由面积得：ab=r^a2+b2,但1c4,设椭圆「+与=1（3>1）〉0）的左、右焦点分别为耳、F,,如果椭圆上存在点P,使NF】PE=90。，求离心率ea"b"的取值范围。解：设P（x,y）,F］（—c,0）,F2（c,0）法1：利用椭圆范闱。

由京，&得x?+y2=c2,将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得八三等由京，&得x?+y2=c2,将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得八三等cr(c2-a2)由椭圆的性质知OWx?<a。得以ew附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围(与法1类似)法2：判别式法。由椭圆定义知|PKK|PF2l=24=>|PKF+|PE「+2|PK||PE|=4a2,又因为/乙尸&=90°,可得|尸工4+1尸乙IF%「=4c2,则|||PF2|=2(a2-c2)=2b2,TOC\o"1-5"\h\zC21 /o：.PF「P居是方程/一2az+2/=0的两个根，则△=41-8(M—。2)之0=>/==之三=>62J- cr2 2解法3：正弦定理设记NP^F,=a,4PF,F［=%由正弦定理有段1=股1= =叫上“丝L|尸建、|- - sin/7sinasiii90°sina+sin/7 -又因为|PK|+|PE|=2m|［心］=2c,且a+〃=90°则c1 1 1e=—= = = asina+sinpsina+cosO播sin(a+))八 兀7t 冗5兀・,九、八' (-.z7t(-・「0<a<— —<ah—<—则—<siii(tz+—)<1,1<J2sin(ah—)(J22 4 4 4 2 4 441所以\《e<l2解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有2。=|「用+上尼|平方后得46/2=|PF]F+\PF2\2+2|PFJIPE区2(1PKF+1P尼F)=2|K尼『=8c2得所以有1)解法6：巧用图形的几何特性由少产乙=90。，知点P在以|K「J=2c为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P,故有之〃2=。2一,2二一变式(1):圆±4Ll(a>b>0)的两焦点为艮(-c,0)、艮(c,0),P是以IFHI为直径的圆与椭圆的一个交点，且NPFR=5NPFB，求椭圆的离心率e分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解:由正弦定理:IFRI解:由正弦定理:IFRIIFFIsinFiPF：sinF1F2PsmZPEF.

A根据和比性质:IFRIIF：PI+IPF：IsinFiPF：sinFiFzP+sinPFiF：变形得:IFRIsinFiPF：IPF：I+IFiPI"sinF1F2P+sinPFR2c

— -e2aNPR艮=75"ZPFzFi=15°sin90sin750+sinl50点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知口述3sinF】PF「sinF1F2P+sinPFiF：变式(2)：椭圆9+7^=1(a>b>0)的两焦点为艮(-c,0)、F：(c,0),P是椭圆上一点，且NFFR=60°,求ab椭圆离心率e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设NF品P=Q,则NFaP=120°-asinFiPF：sin60esinFiF：P+sinPFRsina+sin(120?一a)2sin(a+30°)^2变式(3)：过椭圆二十[=1(a>b>0)的左焦点f；作x轴的垂线交椭圆于点尸，尺为右焦点，若

crb- -=60,则椭圆的离心率e的值b? 3b2 c解析：因为尸(—c,±—),再由尸尼=60有^一=2。,从而得6=—变式(4)：若45为椭圆工+二=1(。>匕>0)的长轴两端点，。为椭圆上一点，使/4。5=120°,求此椭圆crb- 一离心率的最小值。｛中3变式(5)：8、椭圆「十二=1(。>/?>0)上一点人关于原点的对称点为8,F为其右焦点，若4尸J,5尸，设crb-ZABF=a,且a£二，三，则椭圆的离心率的取值范围为124解析：设尸为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形4尸6F'为平行四边形且为矩形，AB=2c,• _CAF=2csiiia,BF=2ccosa,2c61112+2ccose=2a,所以e=一asinO+COSarr.( 7142sina+一k 4V6兀冗…7Z」,7b

ae—，一得——<e<——o124 2 3JV26,如图，在平面直角坐标系xoy中，4,4，4,32为椭圆=+二7=1(。>/?>0)的四个顶点，厂为其右焦点，直线A层与直线耳尸相交于点T,线段OT与椭圆的交点”恰为线段07的中点,圆的离心率为则该椭直线A从的方程为一二十；=1,直线打尸的方程为人十-ab c-b=1,两式联立得T的坐标lacb(a+c)a-ca-c所以中点M的坐标为b(a+c)}a-c'2(ci-c),,因为点M在椭圆上，代人方程得4c2+(〃+c)2=4(〃-c『e2+10e-3=0ee(0,1)所以e=2y/7—57,椭圆±+^Ll(a>b>0)的两焦点为艮(-c,0)、邑(c,0),满足涌1•泳二二0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？解：Ac<ba：=b2+c：>2c：分析：=0.••以解：Ac<ba：=b2+c：>2c：如图所示，画图可知点M的轨迹是以为直径的圆，则它在椭圆内部，故TOC\o"1-5"\h\z心g>/2 1c立c<b=c-<b-=a--c-=e-<-=-——<e<——，"/0<e<l.\0<e<——2 2 2 28,椭圆=9=l(a>b>0)的两焦点为F1(-C,0)、F：(c,0),P为右准线L：x—上一点，RP的垂直平分线ab c恰过足点，求e的取值范围？分析：思路1,如图EP与F期垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F：(-c,0)F：(c,0)P(—yo)

ca cM(—解法一：F：(-c,0)F：(c,0)P(—yo)

ca cM(—既小—► a则PR=-(—+c

cyo)MF：=-(2cc,c,I、zb".yo"口.)—’「c)•( c)+-~=0a--3c"^0c 2c2—>—► aPFX啊=0(-c则2c2 c 3c2一则2c2 c 3c2一c c总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。9,如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是0-1解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为［,则椭圆的半焦距。=厂，易知AAOF为等边三角形，，F,Jc),代入椭圆方程22

・•・二+K~v=4,即：八-^=4CTQ--L 1 1限Q2/+-^=4,/(I-/)+3/=4(1-/),/-8/+4=0]=4±2百,0=百±1,1-e-又0<e e=V3-1法二：如图，连结AE,易知N4E0=9O°,设AO=2c,则E4=JJc,EO=c,由椭圆定义,有：EA+ED=2a,(V3+l)c=2a, ：.e=-=—]—=y/3-IaV3+1.」xv10，椭圆k+-T^l(a>b>0),过左焦点艮且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若IF1AI=2IBFiI，求ab椭圆的离心率e的值解：设IBF"=m则IAF：I=2a-amIBF：I=2a-m•2a~c1 2两式相除下了二鼠ne\求椭圆的离心率.a-•2a~c1 2两式相除下了二鼠ne\求椭圆的离心率.在△AFR及ABF号中，由余弦定理得：2(a：-c：)=m(2a+c)练习题:1,椭圆「+二=1(。>〃〉0)上有一点M,月,尸，是椭圆的两个焦点cr" -解析：由椭圆的定义，可得又/用叫j=2^,所以是方程/-2aY+2/?2=0的两根，由A=(—2。>一4x2b?之0,可得即之2(c?所以e=£之巫，a2所以椭圆离心率的取值范围是［j-，D32,在人钻。中，NA=90°,tan8=—.若以A5为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e= .4AR1［解析］A6=4A,AC=3A,6C=5A,e= =-AC+BC23,已知K，A为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若/夕工心：NP吊K:/尸产尼=上2:3,则此椭圆的离心率为 ［解析］V3-1 ［三角形三边的比是1:6:2］TOC\o"1-5"\h\z，，/*>\r-V- cr4,在平面直角坐标系中，椭圆=+匚=1(。>人>0)的焦距为2,以。为圆心，〃为半径的圆，过点—,04-b- ［cJ作圆的两切线互相垂直，则离心率e=.［解析］,=及。=>6=4c 25,在△△6c中，ZA=3O\\AB^2,Ssabc=43,若以48为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率［解析］S'wc=-\AB\-\AC\sniA=y［3,AC|=2g,|BC\=yj\AB\1+\AC^-2\AB\-\AC\cosA=2\AB\_ 2 _V3-1|AC|+|6C「2/+2-26,已知椭圆二+1=ig〉〃〉o)的左、右焦点分别为5(-c,0),E(c,0),若椭圆上存在一点尸使把"追=色，crlr - sinPEFc则该椭圆的离心率的取值范围为.［解析］..•在,中，由正弦定理得.笠厂=.々=，则由己知