苏教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(教师版)

等比数列的概念、性质____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系教学难点：理解等比数例性质及与指数函数的关系等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示。等比数列的通项公式等比中项如果三个数组成等比数列，那么叫做和的等比中项，其中等比数列的性质（1）公比为的等比数列的各项同乘以一个不为零的数，所得数列仍是等比数列，公比仍为（2）若，则（3）若等比数列的公比为，则是以为公比的等比数列（4）等比数列中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若与均为等比数列，则也为等比数列等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式当且时，是一个指数函数，设则，等比数列可以看成是函数，因此，等比数列各项所对应的点是函数的图像上的一群孤立的点。根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论：等比数列递增或等比数列递减或等比数列为常数列等比数列为摆动数列类型一：等比数列的判定及通项公式的求解例1.（2014重庆）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）A.数列不可能是等比数列B.数列（为常数）一定是等比数列C.若，则一定是等差数列D.数列是等比数列，其公比与数列的公比相等解析：A项，若数列为非-1的常数列，则是非零的常数列，显然是公比为1的等比数列，故该选项不正确；B项，若，则，此时数列不是等比数列，所以该选项不正确；D项，因为，所以若数列为等比数列，则数列是等比数列，其公比为数列的公比的平方，所以该选项不正确，所以选C答案：C练习1.对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）A.成等比数列B.成等比数列C.成等比数列D.成等比数列答案：D练习2.已知数列中，证明：数列是等比数列求答案：（1）数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）例2.已知等比数列中，且，求解析：设等比数列的公比为由得即解得或（舍去），因此所以的通项公式为答案：练习3.已知等比数列中，，求答案：练习4.若等比数列满足则公比为（）A.2B.4C.8D.16答案：B类型二：等比数列的性质例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列中，且则（）A.27B.16C.81D.36解析：设公比为由已知得因为所以解得或（舍），故答案：A练习5.已知各项均为正数的等比数列中，则（）A.B.C.D.答案：A练习6.已知数列为等比数列，若则的值为（）A.10B.20C.60D.100答案：D例4.若等比数列的各项均为正数，且则解析：因为等比数列中，所以由可解得所以答案：50练习7.若等比数列满足则________________答案：练习8.在各项均为正数的等比数列中，若则的值是_________答案：4类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合例5.已知等比数列中，求解析：由知等比数列的公比，设其通项公式为由已知得解得或当时；当时；故或答案：或练习9.已知是等差数列，公差且成等比数列，则（）A.B.C.D.答案：D练习10.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______________答案：18例6.（2015山西太原质检）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）A.2B.4C.6D.8解析：由题意得又所以即解得或（舍）答案：B练习11.各项均为正数的等比数列的公比且成等差数列，则的值为（）A.B.C.D.或答案：C练习12.已知成等比数列，如果和都成等差数列，则__________答案：21.公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为()A．－4B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4)D．4答案：D2.若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(A．0B．1C．2D．0或2答案：B3.若等比数列的首项为eq\f(9,8)，末项为eq\f(1,3)，公比为eq\f(2,3)，则这个数列的项数为()A．3B．4C．5D．6答案：B4.在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于()A．90B．30C．70D．40答案：D5.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列答案：D6.等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝()A．39B．310C．311D．312答案：B7.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则eq\f(a\o\al(2,9),a11)的值为(A．9B．1C．2D．3答案：D__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(A．2B．4C．8D．16答案：C2.在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则eq\f(a6,a16)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)D．6答案：A3.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则公比q等于()A．－eq\f(1,2)B．－2C．2D.eq\f(1,2)答案：D4.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．243答案：A5.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9答案：B6.已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.答案：3·2n－37.已知等比数列前3项为eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，则其第8项是________．答案：－eq\f(1,256)8.已知等比数{an}中，a1＝eq\f(1,27)，a7＝27，求an.答案：由a7＝a1q6，得27＝eq\f(1,27)·q6，∴q6＝272＝36，∴q＝±3.当q＝3时，an＝a1qn－1＝eq\f(1,27)×3n－1＝3n－4；当q＝－3时，an＝a1qn－1＝eq\f(1,27)×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.9.在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________答案：410.已知等比数列{an}的公比q＝－eq\f(1,3)，则eq\f(a1＋a3＋a5＋a7,a2＋a4＋a6＋a8)等于________．答案：－311.已知数列{an}为等比数列．(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求a(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比答案：(1)∵a1a2a3＝216，∴a2＝∴a1a3＝又∵a1＋a3＝21－a2＝15，∴a1、a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.当a1＝3时，q＝eq\f(a2,a1)＝2，an＝3·2n－1；当a1＝12时，q＝eq\f(1,2)，an＝12·(eq\f(1,2))n－1.(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝∴q4＝4，∴q＝±eq\r(2).能力提升12.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215答案：B13.如果数列{an}是等比数列，那么()A．数列{aeq\o\al(2,n)}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lgan}是等比数列D．数列{nan}是等比数列答案：A14.在等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是()A．当q>1时，{an}为递增数列B．当0<q<1时，{an}为递增数列C．当n∈N＋时，anan＋2>0成立D．当n∈N＋时，anan＋2an＋4>0成立答案：C15.等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n答案：A16.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为()A.eq\f(1－\r(5),2)B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(\r(5)－1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)答案：C17.在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16B．27C．36D．81答案：B18.若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx()A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列答案：C19.在8和5832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．答案：64820.从盛满20L纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1L混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(答案：15.521.已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c(A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列答案：A22.公差不为零的等差数列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.答案：1623.在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．答案：3或2724.{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11答案：∵{an}为等比数列，∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5，∴q4＝4.当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝eq\f(5,4)，∴q4＝eq\f(1,4).∴a11＝a3q8＝64或1.25.设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.答案：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1·a2·a3)＝3，∴a1·a2·a3＝23＝8，∵aeq\o\al(2,2)＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，设等比数列{an}的公比为q，得log2(eq\f(2,q))·log2(2q)＝－3.∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.解得q＝4或eq\f(1,4)，∴所求等比数列{an}的通项公式为an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.26.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝aeq\o\al(2,2)，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．答案：设{an}的公差为d.由S3＝aeq\o\al(2,2)，得3a2＝aeq\o\al(2,2)，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得Seq\o\al(2,2)＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.27.在等比数列{an}中，(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.答案：(1)∵a4＝a1q3，∴a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(27,－27)＝－1.∴a7＝a1q6＝－(－3)6＝－729.(2)由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝18,a1q3＝8