数学课件（新教材人教A版强基版）第六章数列63等比数列

等比数列第六章数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的比都等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，公比通常用字母q(q≠0)表示.(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使

成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝

.2同一个公比a，G，bab2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝

.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝________a1qn－1＝

.3.等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则

，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则

，其中m，n，w∈N*.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为

(k，m∈N*).aman＝apaqqm(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，

，

仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)S2n－SnS3n－S2n增减1.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(

)(2)当公比q>1时，等比数列{an}为递增数列.(

)(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.(

)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(

)√×××1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.2.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6等于根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.√3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为____________.1,3,9或9,3,1∴这三个数为1,3,9或9,3,1.探究核心题型第二部分例1

(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于√题型一等比数列基本量的运算方法一

设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二设等比数列{an}的公比为q，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一√设第一个音的频率为a，相邻两个音之间的频率之比为q，那么an＝aqn－1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a13＝2a＝aq12，即q＝

，等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.思维升华跟踪训练1

(1)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于设等比数列{an}的公比为q(q>0)，√(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的

倍C.M>3D.N<7√设该等比数列为{an}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，要证M>3，即证－1－

>3，即证

>4，N＝M＋3.所以

>5，所以－1－

>4，即M>4，所以N＝M＋3>7，故D错误.例2

已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列；②数列{Sn＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.题型二等比数列的判定与证明选①②作为条件证明③：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比q＝2，选②③作为条件证明①：设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，则Sn＝Aqn－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{an}为等比数列.(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.跟踪训练2

在数列{an}中，

＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以数列{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{an}的前n项和Sn.由(1)知，an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，题型三等比数列的性质√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又数列{an}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于A.150 B.－200或－√依题意，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又因为数列{an}的各项都为正数，即S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S40＝S30＋(S40－S30)＝70＋80＝150.(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.跟踪训练3

(1)(2023·六安模拟)在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，√(2)等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于∵an＝192，√√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，课时精练第三部分基础保分练1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于A.1 B.－1 C.3 D.－3√设an＝a1qn－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，123456789101112131415162.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于12345678910111213141516由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60.√3.已知等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a4a5a6等于A.±8 B.－12345678910111213141516√又等比数列奇数项符号相同，所以a5＝2，4.(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为12345678910111213141516√12345678910111213141516由题意，得{an}是以2为公比的等比数列，∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12.123456789101112131415165.(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列√√12345678910111213141516对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；12345678910111213141516√123456789101112131415167.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝____，S5＋a5＝______.由题意得2a1＝2，∴a1＝1.3202123456789101112131415168.已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为____________________.(写出一个即可)12345678910111213141516an＝3n－1(答案不唯一)12345678910111213141516设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2，∵{bn}是等比数列，∴

＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3，取a1＝1，则an＝3n－1.(注：a1的值可取任意非零实数).12345678910111213141516设数列{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).9.等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.10.Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；12345678910111213141516(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.1234567891011121314151612345678910111213141516假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列.因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，11.(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝

k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是A.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为012345678910111213141516综合提升练√√12345678910111213141516对于A，k不可能为0，正确；对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确.12.记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项12345678910111213141516√12345678910111213141516根据题意，等比数列{an}中，a1＝8，a4＝－1，12345678910111213141516故S1最大，S2最小.13.设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝_____.12345678910111213141516－912345678910111213141516{bn}有连续四项在{－53，－23,19,37,82}中，bn＝an＋1，则an＝bn－1，{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中.又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项，等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，12345678910111213141516很明显，－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，14.记Sn为数列{an}的前n项和，Sn