广东省梅州市中兴中学2021年高三数学文模拟试卷含解析

广东省梅州市中兴中学2021年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是60名学生参加数学竞赛的成绩（均为整数）的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）是（

）A．0.9

B．0.75

C．0.8

D．0.7参考答案：B大于或等于60分的共四组，它们是：[59.5，69.5），[69.5，79.5），[79.5，89.5），[89.5，99.5）．分别计算出这四组的频率，如[79.5，89.5）这一组的矩形的高为0.025直方图中的各个矩形的面积代表了频率，则[79.5，89.5）这一组的频率=0.025×10=0.25同样可得，60分及以上的频率=（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75估计这次数学竞赛竞赛的及格率（大于或等于60分为及格）为75%，故选：B．

2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点(a，b)在直线(sinA－sinB)＋sinB＝sinC上．则角C的值为

（

）A．

B．

C． D．参考答案：B3.要得到函数y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】因为，根据函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律得出结论．【解答】解：因为，所以只需将函数y=sin3x的图象向右平移个单位，即可得到y=sin（3x﹣2）的图象，故选D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于基础题．4.设集合M={x|x2＜x}，N={x||x|＜1}，则（）A．M∩N=? B．M∪N=M C．M∩N=M D．M∪N=R参考答案：C【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】解x2＜x可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＜1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2＜x?0＜x＜1，则集合M={x|0＜x＜1}，|x|＜1?﹣1＜x＜1，则集合N={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=M，故选C．5.已知满足，则目标函数的最小值是A． B． C．

D．参考答案：C略6..已知，，且，则向量与的夹角为（

）A.60° B.120° C.30° D.150°参考答案：D【分析】将两边平方，根据向量的夹角公式得到答案.【详解】，，即故答案选D【点睛】本题考查了向量的运算和夹角公式，意在考查学生的计算能力.7.用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：Ａ8.P为曲线上任意一点，O为坐标原点，则线段PO的中点M的轨迹方程是

A.

B.

C.

D.参考答案：A法一：设到的距离为，则到的距离为.因到轴的距离为，故到轴的距离为，到直线的距离为.由到的距离等于到直线的距离，可得的轨迹方程.选A.法二：根据点的坐标关系，使用相关点代入法，求得的轨迹方程.9.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则c=（ ）A．4

B．5

C.

D．7参考答案：B∵.∴，即.∵，∴，则.

10.为假命题,则的取值范围为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得BC边上的高为||，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积?AB?AC?sin120°的值．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为?AB?AC?sin120°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，直角三角形中的边角关系，余弦定理，属于中档题．12.已知函数,则下列命题正确的是

▲

.（填上你认为正确的所有命题的序号）①函数的最大值为;②函数的图象与函数的图象关于轴对称;③函数的图象关于点对称;④若实数使得方程在上恰好有三个实数解,则;参考答案：②④13.函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后得到，得到的函数图象对称轴为

，函数解析式为

.参考答案：

试题分析:由题设可知,即,所以,所以,又因为,解之得,故,所以,将其向右平移可得,故其对称轴方程满足,即,对应的表达式为.应填,.考点：三角函数的图象和性质的运用．14.设，则的最小值为

.参考答案：

，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为.

15.已知存在实数a,满足对任意的实数b,直线y=-x+b都不是曲线的切线，则实数a的取值范围是

.参考答案：略16.已知等差数列()的首项，设为的前n项和，且，故当取最大值时n的值为___________.参考答案：8,9略17.函数的最小正周期为____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2，故到直线l的距离等于2的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．【解答】解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆心坐标为（1，1），半径r=．m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．∴圆心C到直线l的距离d==＜r．∴直线l与圆C相交．（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．∵C上有且只有一点到直线l的距离等于，∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为．∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）．将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，∴t1=，t2=﹣．当t=时，，当t=﹣时，．∴C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．19.设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。参考答案：解（Ⅰ）由题设知，∴令0得=1，当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为（II）设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即当（III）由（I）知的最小值为1，所以，，对任意，成立即从而得。20.已知函数（e为自然对数的底数）．（1）记，求函数在区间[1,3]上的最大值与最小值；（2）若，且对任意恒成立，求k的最大值．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）求出，利用导数性质能求出函数在区间上的最大值与最小值（2）分离参量，结合题意中的恒成立，构造新函数，运用导数求出函数的最小值【详解】（1）∵，∴，令，则，所以函数在区间上单调递减，在区间单调递增，∴，．（2）∵对任意恒成立，∴对任意恒成立，∴对任意恒成立．令，则．由于，所以在上单调递增．又，，所以存在唯一的，使得，且当时，，时，．即在单调递减，在上单调递增．∴．又，即，∴．∴．∵，∴．又∵对任意恒成立，∴，又，∴．【点睛】本题考查运用导数求函数的最值及恒成立问题，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21.现有一元人民币3张，五元人民币2张，拾元人民币4张，伍拾元人民币1张，从中至少取一张（多取不限），共可取得多少种不同的币值？参考答案：解析：注意到取2张五元人民币与取1张拾元人民币币值相同，不能算为两种不同取法。为避免重复，将4张拾元人民币“换作”8张五元人民币，1张五十元人民币“换作”10张五元人民币。于是所给问题等给于：有1元人民币3张、五元人民币20元，从中至少取一张（多取不限），可取得多少种不同币值？

将取币的过程看作二重选择过程：从3张1元人民币中有取0、1、2、3张等4种不同取法，从20张五元人民币中有取0，1，2，…，20张等21种不同取法。于是由乘法原理知，有4×21=84种不同币值。但是，这是须除去1元和五元都没有的情形，因此，共可取得83种不同币值。

点评：注意从中学习