高一下学期期末检测模拟试卷01（平面向量+解三角形+复数+立体几何+统计概率）2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

高一下学期期末模拟试卷(时间：120分钟，分值：150分，范围：必修二)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数对应点的对称关系得，应用复数除法化简目标式即得结果.【详解】由对应点为，则对应点为，故，所以.故选：D2．已知向量满足，则（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据模长的坐标运算可得，分析可得同向，进而可求结果.【详解】因为，即，则同向，所以.故选：D.3．已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.4，摸出的球是红球或黄球的概率为0.9，则摸出的球是黄球或白球的概率为（

）A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6【答案】A【分析】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，求出、的值，相加即可求解．【详解】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，所以，且，所以，，所以故选:A.4．某校高一年级个班参加合唱比赛的得分如下：则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数和平均数的求法直接求解即可.【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，则该组数据的中位数为，平均数为.故选：A.5．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，已知沙漏总高度为，圆柱部分高度为，则初始状态的沙子高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意求得圆锥高度，再利用体积相等求得初始状态圆柱部分沙子的高度，由此得解.【详解】如图，设初始状态圆柱部分沙子的高度为，沙漏下半部分的圆柱高度为，圆锥高度为，上、下底面半径为，则，又沙漏总高度为，则，所以，即，解得，所以初始状态的沙子高度为.故选：C.6．在中，角所对的边分别为，，且的面积为，若，则（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由于,，故有，解得，又，则,故选：A．7．平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，//平面CB1D1，平面，平面，则m、n所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正方体的性质，找到一个符合题设的平面α即可知m，n所成角的大小，进而求其正弦值.【详解】由题意，若平面为平面，满足//平面CB1D1，如下图示，因为，且，所以为平行四边形，所以，平面CB1D1，平面CB1D1，所以平面CB1D1，同理可证平面CB1D1，又，又平面，所以平面//平面CB1D1，即//平面CB1D1.因为平面，平面，则，分别为，又三角形为等边三角形，所以m，n所成角为，故其正弦值为.故选：A.8．如图1，直角梯形中，，取中点，将沿翻折（如图2），记四面体的外接球为球（为球心）.是球上一动点，当直线与直线所成角最大时，四面体体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到球心在的中点，然后当与球相切时直线与直线所成角的最大，过作垂足为，当平面时四面体体积取得最大值，即可求出答案.【详解】由题意可知，均为等腰直角三角形，所以四面体的外接球的球心在的中点，因为是球上的动点，若直线与直线所成角的最大，则与球相切，，此时，最大，因为，，所以，过作垂足为，则在以为圆心，为半径的圆上运动.所以当平面时四面体的体积取得最大值.因为，所以，所以，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．甲､乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8.9，10.则（

）A．甲的环数的70%分位数是7B．甲的平均环数比乙的平均环数小C．这20个数据的平均值为6.6D．若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为4.34【答案】BC【分析】根据百分位数的定义可求解A选项；根据平均数的公式可求解B、C选项；根据方差的公式可求解D选项.【详解】对于A，因为，所以甲的环数的分位数是，故A错误；对于B，，，所以，故B正确；对于C，这20个数据的平均值，故C正确；对于D，这20个数据的方差为，故D错误.故选：BC.10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（

）A．一定存在实数，使得成立B．若，那么一定有C．若，那么D．若，那么，，一定相互平行【答案】BC【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】只有当，不是共线向量时，一定存在实数，使得成立，因此选项A不正确；由，因此选项B正确；由，，所以选项C正确；当时，显然成立，但是，，不一定互相平行，故选：BC11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F､G､M､N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论正确的有（

）

A．当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMNB．异面直线EF､GN所成角的余弦值为C．点E､F､G､M､N在同一个球面上D．若，则P点轨迹长度为【答案】ACD【分析】根据正方体图形特征证明面面垂直判断A选项，根据异面直线所成角判断B选项，根据五点共圆判断C选项，根据轨迹求出长度判断D选项.【详解】取中点，连接，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F､G､M､N均为所在棱的中点，易知，平面，GM在面ABCD内，，平面，平面，，平面面，

连接，是正方形,，平面，平面，，平面，平面，，平面平面，综上，平面，平面，又所以平面，平面故平面平面，故A正确；取中点，连接，是异面直线所成的角，又则，故B错误；记正方体的中心为点，则，故点在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；是的中点，，故点轨迹是过点与平行的线段，且，，故D正确.故选：ACD.12．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（

）A．恰有四支球队并列第一名为不可能事件 B．有可能出现恰有三支球队并列第一名C．恰有两支球队并列第一名的概率为 D．只有一支球队名列第一名的概率为【答案】ABD【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.故选：ABD【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．已知，，.则__________.【答案】【分析】利用向量的数量积公式结合二倍角的正弦、余弦公式求解即可.【详解】因为所以所以.故答案为：.14．已知，从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为__________.【答案】/【分析】由对数函数，指数函数，三角函数的单调性结合概率公式求解即可.【详解】函数有两不相等的实数根，则，解得或.，，.因为，所以.即从这四个数中任取一个数，使函数有两不相等的实数根的概率为.故答案为：15．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.【答案】【分析】由，结合三角形面积公式证明，根据基本不等式证明，由此求出面积的最小值.【详解】因为，为的角平分线，所以，又，故由三角形面积公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为.故答案为：.【点睛】知识点点睛：本题主要考查三角形面积公式和基本不等式，具有一定的综合性，问题解决的关键在于结合图形建立等量关系，结合三角形面积公式确定边的关系，属于较难题.16．如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为___________.【答案】【分析】取的中点，连接，证得平面，得到，再证得平面，得到，设，求得，，得到，得到，结合基本不等式，求得时，的面积取最小值，进而得到O为三棱锥的外接球的球心，求得球的半径，利用球的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，取的中点为，连接，因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为且，平面，所以平面，因为平面，所以，设，在直角中，，同理，所以，整理得到，又由，当且仅当时等号成立，即时，的面积取最小值，因为平面，平面，所以，所以，又因为为直角三角形，故，所以为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，可得外接球的直径为，所以外接球的体积为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】(1)18.32（万元）(2)20.8万元，理由见解析【分析】（1）根据概率和为1算出a的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，解得x＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.18．（12分）近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于，实测的导航定位精度都是2~3m，全球服务可用性，亚太地区性能更优．现从地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析．(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率；(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先分别给地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星编号，列举所有可能的情况，以及满足条件的方法种数，利用古典概型，即可求解；（2）根据（1）列举的结果，利用古典概型，即可求解.【详解】（1）记地球静止轨道卫星为：，记倾斜地球同步轨道卫星为，则所有的选择为：记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗为事件，则包含，所以；（2）记至少选择一颗倾斜地球同步轨道卫星为事件，则包含．所以．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.

(1)证明：平面；(2)当=时，求证：平面⊥平面，并求点与到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析，距离为【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证得平面；（2）利用面面垂直判定定理即可证得平面⊥平面；利用三棱锥等体积法即可求得点与到平面的距离.【详解】（1）取线段的中点,连接,则为的中位线,∴由题知,∴,∴四边形为平行四边形.∴又∵平面,平面,∴平面（2）在中，∵,∴.又∵,平面∴平面，平面，∴平面平面，∵为的中点，∴到平面的距离等于点到平面的距离的一半.∵平面，∴平面∴.∴取中点，连接，又为等边三角形，则.∵平面平面，∴平面，设点到平面的距离为.由，得，解得.∴点到平面的距离为

20．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意和余弦定理可得，结合计算即可求解；（2）由（1）可得，则，代入，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）由余弦定理知，所以，由,得，即,又因为，所以，即，在中，，所以．（2）由（1）知，则，得，所以，当且仅当时等号成立．所以的最小值为．21．（12分）在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)若，求△ABC的面积；(2)求的值；(3)求的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案.【详解】（1）由余弦定理结合可知，△ABC的面积（2）因为，，所以，由正弦定理，所以，①由于，带入①式可知：（3）解法1：设BC中点为D，则所以如下图所示，设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故设，则，由余弦定理：由于函数在时单调递减，，所以解法2：由余弦定理②由定义所以设，则由正弦定理：其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知注意到，所以所以，②式变形为，故从而，此时函数单调递减，而，所以【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三