选修41几何证明选讲第2讲圆周角定理与圆切线

个人资料整理 仅限学习使用第2讲 圆周角定理与圆地切线考查圆地切线定理和性质定理地应用．【复习指导】本讲复习时,牢牢抓住圆地切线定理和性质定理 ,以及圆周角定理和弦切角等有关知识,重点掌握解决问题地基本方法 .b5E2RGbCAP基础梳理1．圆周角定理(1>圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆 相交地角．(2>圆周角定理：圆周角地度数等于它所对弧度数地一半．(3>圆周角定理地推论①同弧(或等弧>上地圆周角相等；同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧相等．②半圆(或直径>所对地圆周角是90°；90°地圆周角所对地弦是直径．2．圆地切线(1>直线与圆地位置关系直线与圆交点地个直线到圆心地距离d与圆地半径r地数关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2>切线地性质及判定①切线地性质定理：圆地切线垂直于经过切点地半径．②切线地判定定理过半径外端且与这条半径垂直地直线是圆地切线．(3>切线长定理从圆外一点引圆地两条切线长相等．3．弦切角(1>弦切角：顶点在圆上,一边与圆相切,另一边与圆相交地角．1/6个人资料整理 仅限学习使用(2>弦切角定理及推论①定理：弦切角地度数等于所夹弧地度数地一半．②推论：同弧(或等弧>上地弦切角相等,同弧(或等弧>上地弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示,△ABC中,∠C＝90°,AB＝10,AC＝6,以AC为直径地圆与斜边交于点P,则BP长为________．p1EanqFDPw解读 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°,即CP⊥AB,由射影定理知,AC2＝AP·AB.∴AP＝3.6,∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示,AB、AC是⊙O地两条切线,切点分别为 B、C,D是优弧错误!上地点,已知∠BAC＝80°,那么∠BDC＝________.DXDiTa9E3d解读 连接 OB、OC,则OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100,°∴∠BDC＝错误!∠BOC＝50°.答案 50°3．(2018·广州测试(一>>如图所示,CD是圆O地切线,切点为C,点A、B在圆O上,BC＝1,∠BCD＝30°,则圆O地面积为________．RTCrpUDGiT解读 连接OC,OB,依题意得,∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°,又OB＝OC,因此△BOC是等边三角形,OB＝OC＝BC＝1,即圆O地半径为1,2所以圆O地面积为π×1＝π.4．(2018·深圳二次调研>如图,直角三角形 ABC中,∠B＝90°,AB＝4,以BC为直径地圆交AC边于点D,AD＝2,则∠C地大小为________．5PCzVD7HxA解读 连接BD,则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中,AB＝4,AD＝2,所以∠A＝60°；在2/6个人资料整理 仅限学习使用Rt△ABC中,∠A＝60°,于是有∠C＝30°.jLBHrnAILg答案 30°5．(2018·汕头调研>如图,MN是圆O地直径,MN地延长线与圆 O上过点P地切线PA相交于点 A,若∠M＝30°,AP＝2错误!,则圆O地直径为________．xHAQX74J0X解读 连接OP,因为∠M＝30°,所以∠AOP＝60°,因为PA切圆O于P,所以OP⊥AP,在Rt△ADO中,OP＝错误!＝错误!＝2,故圆O地直径为4.LDAYtRyKfE答案 4考向一 圆周角地计算与证明【例1】?(2018·中山模拟>如图,AB为⊙O地直径,弦AC、BD交于点P,若AB＝Zzz6ZB2Ltk 3,CD＝1,则sin∠APB＝________.[审题视点]连结AD,BC,结合正弦定理求解．解读 连接AD,BC.因为AB是圆O地直径,所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD,所以在△ACD中,由正弦定理得：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝AB＝3,又CD＝1,所以 sin∠DAC＝sin∠DAP＝错误!,所以 cos∠DAP＝错误!错误!.dvzfvkwMI1又sin∠APB＝sin(90＋∠°DAP>＝cos∠DAP＝错误!错误!.rqyn14ZNXI3/6个人资料整理 仅限学习使用答案错误!错误!解决本题地关键是寻找∠APB与∠DAP地关系以及AD与AB地关系．【训练1】如图,点A,B,C是圆O上地点,且AB＝4,∠ACB＝30°,则圆O地面积等EmxvxOtOco 于________．解读 连接 AO,OB.因为∠ACB＝30°,所以∠AOB＝60°,△AOB为等边三角形,故圆O地半径r＝OA＝AB＝4,圆O地面积S＝πr2＝16πSixE2yXPq5.答案 16π考向二 弦切角定理及推论地应用【例2】?如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O地切线分别交DA、CA地延长线于E、F.已知BC＝8,CD＝5,AF＝6,则EF地长为________．6ewMyirQFL[审题视点]先证明△EAB∽△ABC,再由 AE∥BC及错误!＝错误!等条件转化为线kavU42VRUs段之间地比例关系,从而求解．解读 ∵BE切⊙O于B,∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC,∴∠EAB＝∠ABC,∴△EAB∽△ABC,∴错误!＝错误!.又AE∥BC,∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!.y6v3ALoS89又AD∥BC,∴错误!＝错误!,∴AB＝CD,∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!,M2ub6vSTnP∴EF＝错误!＝错误!.4/6个人资料整理 仅限学习使用答案 错误!(1>圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角地关系 ,从而证明三角形全等或相似 ,可求线段或角地大小． 0YujCfmUCw(2>涉及圆地切线问题时要注意弦切角地转化；关于圆周上地点 ,常作直线(或半径>或向弦(弧>两端画圆周角或作弦切角．eUts8ZQVRd【训练2】(2018·新课标全国>如图,已知圆上地弧错误!＝错误!,过C点地圆地切线与BA地延长线交于E点,证明：sQsAEJkW5T(1>∠ACE＝∠BCD；(2>BC2＝BE×CD.证明 (1>因为错误!＝错误!,所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C,故∠ACE＝∠ABC,所以∠ACE＝∠BCD.(2>因为∠ECB＝∠CDB,∠EBC＝∠BCD,所以△BDC∽△ECB,故错误!＝错误!,2高考中几何证明选讲问题 (二>从近两年地新课标高考试卷可以看出 ,圆地切线地有关知识是重点考查对象 ,并且多以填空题地形式