kj生活中的优化问题举例

生活中的优化问题举例石首一中〔1〕对消费者而言，选择哪一种更合算呢？〔2〕对制造商而言，哪一种的利润更大？规格（L）21.250.6价格（元）6.54.82.8下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，假设它们的价格如下表所示.

生活中经常会遇到求什么条件下可使利润最大,用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.复习：如何用导数来求函数的最值？一般地，假设函数y=f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么求f(x)的最值的步骤是：〔1〕求y=f(x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；〔2〕将函数的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，那么这个极值一定是最值。解：设每瓶饮料的利润为y，那么r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗∵f(r)在(0，6]上只有一个极值点∴由上表可知，f(2)=-1.07p为利润的最小值-1.07p例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造本钱是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，那么每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？利润=收入-本钱解：设每瓶饮料的利润为y，那么∵当r∈(0，2)时，而f(6)=28.8p，故f(6)是最大值答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造本钱是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，那么每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？f(2)=

-1.07，为利润的最小值问题情景二：海报版心设计例2．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如下图的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm．如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？21

解：设版心的高为xdm，版心的宽为128/xdm,此时四周空白面积为:

求导数，得于是宽为

因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。x2128/x1例3．某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为１８０元时，房间会全部住满；房间的单价每增加１０元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费２０元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？房价应定为多少？解:设房间定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大

问题情景三：解决优化问题的根本思路：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有力的工具，其根本思路如以下流程图所示优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案四．知识应用高考链接〔２００9年江苏卷〕请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1帐篷的体积为V〔x〕=解:设OO1为xm，那么1＜x＜4

由题设可得正六棱锥底面边长为

于是底面正六形的面积为OO1O2求导数令V`〔x〕=0解得x=-2(不合题意,舍去),x=2当1＜x＜2时V`〔x〕＞0，V〔x〕为增函数当2＜x＜4时V`〔x〕＜0，V〔x〕为减函数所以当x=2时V〔x〕最大答：当OO1为2m时帐篷的体积最大五．课后小结：

在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可使利润最大，面积最小，体积最大，用料最省，效率最高等问题，这