最经典的最值问题

最经典的最值问题

最值问题在数学中非常重要，其中包括最大最小、最多最少、最长最短等问题。在课本中，我们可以按照这些问题的出现顺序来搜索相关内容。这些问题涉及到的题型非常多，包括与三角形、轴对称、图形表面展开图等相结合的题目。其中，“两点之间，线段最短”是一个非常常见的问题，它常与轴对称相结合，题目类型很多。其中，线段和最小是一个经典的问题，通常求解方法是通过求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”。具体做法是作其中一点关于这条直线的对称点，然后连结这个对称点与另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即为该最小距离。在实际应用中，这个问题也有很多具体的模型。例如，正方形ABCD中，若要求PE+PB的最小值，则可以通过找到BC的中点E，然后在对角线AC上找到一动点P来解决。类似的，对于菱形ABCD中，若要求CK+EK的最小值，则可以找到线段CD的中点E，然后在线段BD上找到任意一点K来解决。另外，对于抛物线y=ax-4x+c与坐标轴交于点A（-1,0）和点B（，-5）的问题，可以通过找到它的对称轴上使△ABP周长最小的点P坐标来解决。除了以上的问题，最值问题在数学中还有很多其他的应用，这些问题涉及到的内容也非常广泛。如图6-1-4③所示，一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2,0）、B（0,4），D为AB的中点，C、A关于原点对称。现有一动点P在OB上，请求PC-PD的范围。体验与感悟6-1-2：1、在圆O所在的平面上有一点A，它到圆O的最近距离为3，最远距离为7，则圆O的半径为多少？2、点A、B均在由面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图6-1-5所示。若P是x轴上使得PA-PB的值最大的点，则OP等于多少？3、如图6-1-6所示，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1,0）、C（0,4）两点，与x轴交于另一点B。（1）抛物线及对称轴分别为什么？（2）点D在所求抛物线的对称轴上，求DB-DC的最大值。例6-1-3：（1）如图6-1-7①所示，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA'=4cm，一直蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B'点的最短路程是多少？规律：“小小相加凑一边时路径最短。”（2）如图6-1-7②所示，圆柱形杯高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁达到蜂蜜的最短距离为多少？规律：“一内点一外点要用轴对称。”体验与感悟6-1-3：1、（1）如图6-1-8①所示，长方体的长、宽、高分别为15、10、20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B的最短距离是多少？（2）如图6-1-8②所示，底面半径为3cm的圆锥的主视图是一个正三角形，C是母线OB的中点，则在圆锥表面从A到C的最短距离等于多少厘米。（3）如图6-1-8③所示，圆柱高是8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，爬行的最短路程是多少厘米。（π取3）1、如图6-1-8④，ABCDEFGH是一个无上底的长方体容器。M在容器内侧，位于侧棱BF上。已知AB=5，BF=9，FM=3，则从外部的点A到内部的点M的最短距离等于多少？2、如图6-1-9，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的点。A点处有一只昆虫想到B点去吃食物，则昆虫沿着台阶爬到B的最短路程是多少？3、在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图6-1-10堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形。一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是多少米？（精确到0.01米）例6-1-4（2012湖北十堰改编）：求代数式x+1+(4-x)+的最小值，其中a,b,m为常数，4≤x≤4。解：将x+1+(4-x)+转化为几何问题，得到一个三角形ABC，其中AB=2，BC=4，AC=3。根据勾股定理，可得到AC的垂线段BD为最短距离，因此x+1+(4-x)+的最小值为3。二、垂线段最短说明：垂线段最短用的多，但人们意识到用它的少。只要涉及点到线、线到线距离，用的都是垂线段最短，如高、与圆有关的位置关系等。例6-2-1：某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，如图6-2-1，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150m，且B在A的正东方向。为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街。若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？例6-2-2：如图6-2-2，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AC和AB边上不与A、C、B重合的点，AG、BH分别垂直直线EF与G、H。求证：AG+BH>AD。（只考虑图示情况）体验与感悟6-2：1、如图6-2-3①和图6-2-3②，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=5/13。探究：如图6-2-3，$\triangleABC$中，$AH\perpBC$于点H，则$AH=\frac{1}{2}BC$，$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}$，$\triangleABC$的面积$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AH\cdotBC$。拓展：如图6-2-3，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F。设$BD=x$，$AE=m$，$CF=n$，（当点D与A重合时，我们认为$S_{\triangleABD}=0$）（1）$\triangleABD$和$\triangleCBD$的面积分别为$S_{\triangleABD}=\frac{1}{2}m\cdotx$和$S_{\triangleCBD}=\frac{1}{2}n\cdotx$。（2）由$\triangleABE\sim\triangleCBF$，可得$\frac{m}{n}=\frac{AE}{CF}=\frac{AB}{BC}=1$，所以$m=n$。因此，$m+n=2m$，最大值为$AC=\sqrt{2}x$，最小值为$x$。（3）当$x<\frac{1}{2}AC$时，只能确定唯一的点D。发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值。答：最小值为$\frac{1}{\sqrt{2}}$。三、圆中最长弦是直径说明：因四点共圆不在课标规定范围内，所以此题型不多。例6-3如图6-3，以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是4。规律：共圆四点中，如果相对两定点是直角顶点，则两动点连线的最小值就是连接两直角顶点的线段长。四、平方和的最小值说明：“平方和最小”即：$a+b\geq2\sqrt{ab}$，是初中的完全平方公式与非负数的结合，中考题中常有涉及。特别地$a+b\geq2ab$和其它源自$a+b\geq2\sqrt{ab}$的不等式（如$a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$）是高中最重要的不等式之一。（$a\geq0$，$b\geq0$）$a+b\geq2\sqrt{ab}$，所以$(a-b)^2\geq0$，所以$a-2ab+b\geq0$，所以$a+b\geq2ab$。例6-4-1阅读理解：对任意正实数$a$、$b$，因为$a+b\geq2ab$，只有当$a=b$时，等号成立。根据上述内容，回答下列问题：（1）若$m>0$，则$m=\frac{1}{2}$时，$m^2+n^2$有最小值。（2）若$n>0$，则$n=\frac{1}{2}$时，$m^2+n^2$有最小值。（3）若$x>0$，则$x=\frac{1}{8}$时，$8x^2+2$有最小值。例6-4-2如图6-4-1，$AB$为半圆$O$的直径，$C$为半圆上与点$A$、$B$不重合的任意一点，过点$C$作$CD\perpAB$，垂足为$D$，$AD=a$，$DB=b$。请用本题图验证：$a+b\geq2ab$，并指出等号成立时的条件。提示：用相似证：$CD=AD\cdotBD$；直径为最长弦。体验与感悟6-41、公式：对任意正数$a$、$b$，总有：$a+b\geq2ab$，并且只有当$a=b$时，等号成立。直接应用与变形应用：（1）已知：$y_1=x(x>0)$，$y_2=\frac{1}{x}(x>0)$，则当$x=1$时，$y_1+y_2$取得最小值。（2）已知函数$y=x+\frac{a}{x}$，则当$x=\sqrt{a}$时，$y$取得最小值。求函数y=x+(x>0)的最小值。解决问题：（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。提示：对任意非负数m，可设m=t，其中t=2^(-1/2)。提醒：回顾一下求二次函数最值有几种方法。例6-7-1请阅读下列材料：问题：如图6-7-1①，圆柱的高AB和它的底面半径均为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路程。小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图6-7-1②侧面展开图中的线段AC）。路线2：走圆柱高线与底面直径（即6-7-1①中AB+BC的长）。设路线1的长度为l1，设路线2的长度为l2，则l1=AC=AB+BDC²l2=(AB+BC)将AB=5，BC=10，半圆弧BDC长5π代入上面的式子得：l1=√(10^2+25π^2)；l2=√(125)∴l1>l2∴选择路线2较短。（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算：路线1：l1=√(26+25π^2)；路线2：l2=√(26)∵l1>l2∴选择路线2较短。（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱体的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短。体验与感悟6-7-11、在一平直河岸