对数函数及其性质经典题型总结

对数函数及其性质经典题型总结

对数函数及其性质经典题型总结题型一：对数不等式解法例1.解下列不等式(1)$\log_{1/2}(3x+4)>1/2$(2)$\log_{1/2}(3x+4)<1$(3)$\log_{1/2}(3x+4)>\log_{1/22}(3-x)$(4)$3^{x/2}\geq2$变式1.若实数$a$满足$\log_a3<1$，求$a$的取值范围。变式2：解不等式:$\log_a(2x+1)>2,(a>0,a\neq1)$.题型二：定点问题例2：求下列函数恒经过哪些定点1、$f(x)=\log_a(x^2+1)+2$2.$y=\log_a(4a-x)+1$恒过$(4,1)$，求$a$的值.题型三:对数值域问题例3.求下列函数的值域.(1)$f(x)=\log_2x,\x\in[2,10]$;(2)$f(x)=\log_2(-x^2+2x+3),\x\in(-\infty,+\infty)$;(3)$f(x)=\log_2(x^2-4x-5)$变式1：若函数$y=\log_2(ax^2+ax+4)$的定义域为$\mathbb{R}$，求实数$a$的取值范围。变式2：若函数$y=\log_2(ax^2+ax+4)$的值域为$\mathbb{R}$，求实数$a$的取值范围。变式3：若函数$f(x)=\log_ax\(a<x<1)$在区间$[a,2a]$上的最大值是最小值的3倍，求$a$的值.变式4：$1\leqx\leq2$，求$y=(\log_2x+1)(\log_2x-3)$的最大、最小值题型四:对数单调性问题例4：求$y=\log_1(x^2-4x+3)/3$单调区间变式1.求函数$f(x)=\lg(x-x^2)$的单调区间变式2:求函数$f(x)=\log_a(x-x^2)$的单调区间变式3：若$f(x)=\lg(x^2-2ax+a+1)$在$(-\infty,1]$上递减，求$a$范围变式4:已知函数$f(x)=\log_a(x+1)$在$(-1,0)$上有$f(x)>0$，则()A.在$(-\infty,0)$上单调递增；B.在$(-\infty,0)$上单调递减；C.在$(-\infty,-1)$上单调递增；D.在$(-\infty,-1)$上单调递减.变式5：已知$y=\log_a(2-ax)$在$(0,1]$上为减函数，求$a$的取值范围。练习.已知函数$y=\log_4(2x+3-x^2)$，求(1)函数的定义域;(2)函数的单调区间;(3)函数的值域.题型五:对数图像问题例5已知函数$y=\log_a(x+c)(a,c$为常数，其中$a>0,a\neq1)$的图象如图，则下列结论成立的是（）A．$a>1,c>1$B．$a>1,0<c<1$C．$0<a<1,c>1$D．$0<a<1,0<c<1$1.当$0<x\leq1$时，$4x<\log_ax$，求$a$的取值范围。当$0<x\leq1$时，$4x<\log_ax$可以转化为$a^{4x}<x$，进一步转化为$a^{4}<x^{1/x}$。由于$x^{1/x}$在$(0,e]$上是单调递减的，所以$a^{4}<e$，即$a\in(0,e^{1/4}]$。2.已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_1x,&x\leq0\\2,&x>0\end{cases}$。若关于$x$的方程$f(x)=k$有两个不等的实根，则实数$k$的取值范围是()当$k\leq0$时，$f(x)=\log_1x$在$(0,1]$上单调递减，$f(x)=2$在$(1,+\infty)$上恒为$2$，因此方程$f(x)=k$在$(0,+\infty)$上只有一个实根。当$k>2$时，$f(x)=\log_1x$在$(0,1]$上单调递减，$f(x)=2$在$(1,+\infty)$上恒为$2$，因此方程$f(x)=k$在$(0,+\infty)$上无实根。当$0<k\leq2$时，$f(x)=\log_1x$在$(0,1]$上单调递减，$f(x)=2$在$(1,+\infty)$上恒为$2$，因此方程$f(x)=k$在$(0,1]$和$(1,+\infty)$上各有一个实根，即$k\in(0,2]$。综上所述，实数$k$的取值范围是$(0,2]$。3.定义域为$[1,+\infty)$的偶函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上是增函数且$f\left(\frac{1}{42}\right)=\frac{1}{2}$，求不等式$f(\logx)>\frac{42}{x^2}$的解集。由于$f(x)$是偶函数且在$[1,+\infty)$上是增函数，因此可以将不等式$f(\logx)>\frac{42}{x^2}$转化为$f(x)>\frac{42}{e^{2x}}$，其中$x>0$。又因为$f\left(\frac{1}{42}\right)=\frac{1}{2}$，所以$f(x)>\frac{1}{2}$，即要求解的不等式为$f(x)>\max\left\{\frac{1}{2},\frac{42}{e^{2x}}\right\}$。考虑函数$g(x)=\max\left\{\frac{1}{2},\frac{42}{e^{2x}}\right\}$，则$g(x)$在$x\geq0$时单调递减，且$\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\frac{1}{2}$。因此，$f(x)>\max\left\{\frac{1}{2},\frac{42}{e^{2x}}\right\}$的解集为$(0,\log_e2)$。4.已知函数$f(x-1)=\log_m(m^2-x)$，其中$m>0$且$m\neq1$。(1)求函数$f(x)$的解析式，判断其奇偶性。令$y=x-1$，则$f(y)=\log_m(m^2-(y+1))=\log_m(m^2-y-1)$。因此，$f(x)=\log_m(m^2-x-1)$，是偶函数。(2)解关于$x$的方程$f(x)=\log_m(m^2-x)=\log_ma$。由于$m^2-x>0$，所以方程等价于$m^2-x=a$，即$x=m^2-a$。(3)解关于$x$的不等式$f(x)\geq\log_m(3x+1)$。将$f(x)$和$\log_m(3x+1)$两边同时减去$\log_mm^2$，得到$\log_m\frac{m^2-x}{m^2}>\log_m\frac{3x+1}{m^2}$，即