量子力学PPT完整全套教学课件

量子力学全套PPT课件目录量子论的诞生：历史性回顾波函数与薛定谔方程不含时薛定谔方程及其解法力学量的本征值和本征函数态矢量和力学量的表象变换对称性和守恒定律粒子在势场中的运动角动量理论，自旋定态微扰论散射理论第一章量子论的诞生：历史性回顾经典物理学的危机普朗克量子假说光电效应和爱因斯坦光量子假说康普顿散射原子稳定性和玻尔量子论德布罗意物质波1.1经典物理学的危机经典物理学（19世纪末-20世纪初）:经典力学电磁学热力学与统计物理构成了当时人们对自然界规律的基本认识1.1经典物理学的危机经典物理学晴朗上空的两朵“乌云”：迈克尔逊-莫雷实验真空中的光速为一绝对常数，与参考系的选取无关。这一结果与经典力学中的伽利略变换相矛盾。相对论(1905)1.1经典物理学的危机黑体辐射问题量子论(1900)黑体是一种可以吸收全部入射的电磁辐射而不反射的理想物体。因此，黑体看起来不一定是“黑”的，其自身可以辐射电磁波-黑体辐射。1.1经典物理学的危机黑体空腔模型：落在小孔上的光将最终被空腔完全吸收而无法逃逸。处于热平衡状态的空腔将充满电磁辐射，即为黑体辐射。1.1经典物理学的危机研究的现实意义：辐射的光谱与辐射源的材料、尺寸、形状无关，只依赖于温度。1.1经典物理学的危机1.1经典物理学的危机辐射光谱线只依赖于辐射源的温度，而与其材料、大小和形状等无关；辐射出射度的值在红外和紫外极限下趋于零；

1.1经典物理学的危机

1.1经典物理学的危机通过电动力学+统计力学考查黑体辐射问题：空腔中电磁波

傅里叶分解

黑体辐射是由不同频率的电磁波叠加而成，而其中单个波可被视为由两个特定等频率谐振子（辐射源）发出；为计算辐射能量密度，可以通过计算辐射源的能量。1.1经典物理学的危机计算步骤：频率/波数处于

的振子数密度:计算单个振子的平均能量：计算能量密度，通过以下关系提取辐射出射度:通过电动力学可以推导出（略）：1.1经典物理学的危机考虑所有振子处于温度为T

的热平衡态。单个振子处于能量E

状态的概率为：以上假设振子能量E

可以连续取值。于是，单个振子平均能量为，以上结果又称能量均分定理。玻尔兹曼常数1.1经典物理学的危机利用关系最终得到，(瑞利-金斯公式,

1900~1905)1.1经典物理学的危机通过与黑体辐射曲线对比，在紫外区域，瑞利-金斯公式的预言严重偏离；瑞利-金斯公式无法给出斯忒藩-玻耳兹曼定律：

其预言黑体辐射的能量密度是无穷大，显示是荒谬的。讨论：从数学的角度看，“紫外灾难”的结果直接源自能量均分定理中振子平均能量与其频率/波长无关这一结论；欲使理论预言与实际情况相符合，则振子平均能量须是其频率的函数，且该函数在紫外区域必须衰减得足够快。1.2普朗克能量量子化假说1900,普朗克假设振子发出的电磁波能量只能是某个能量最小单元的整数倍，该最小单元为其中

分别称为普朗克常数和约化普朗克常数。普朗克当时称其为“作用量子”(quantum

of

action).当作这一假设后，我们将发现，“紫外灾难”可以避免。1.2普朗克能量量子化假说根据普朗克的假设，单个振子能量的可能取值为，

(1.10)因此，振子能量处于En状态的概率为，

(1.11)作业1-1：通过(1.10)和(1.11)，证明单个振子平均能量为：

(1.12)

提示：利用1.2普朗克能量量子化假说在紫外区域有，最后，将(1.8)和(1.12)联立得到普朗克公式，1.2普朗克能量量子化假说与实验数据和瑞利-金斯公式结果比较：

由于其在量子论的开创性工作，普朗克于1918年被授予诺贝尔物理学奖。1.2普朗克能量量子化假说作业1-2：由普朗克公式推出维恩位移定律和斯忒藩-玻耳兹曼定律(需确定积分常数a)。可利用：（n为正整数）1.3光电效应和爱因斯坦光量子假说光电效应

光电效应指的是当光线照到金属表面时，从金属表面逸出电子的现象。根据电磁学，光是携带能量的电磁波。当光照射金属的时候，若表面受束缚的电子从入射电磁波吸收足够大的能量，则它们将克服束缚能逃逸出来。根据能量守恒，1.3光电效应和爱因斯坦光量子假说由上式可知，逸出自由电子的条件为。1887,

赫兹在实验中发现了无法用经典物理学解释的现象。实验装置如右图，他发现如果入射光的频率足够大，电路中就有电流。但如果入射光的频率小，无论光强再大也无电流。这意味着入射光的能量取决于其频率而非振幅，这一点与经典电磁学中电磁波的能量由其振幅(光强)的结论相矛盾。受普朗克能量量子化假说启发，1905年，爱因斯坦假设光是由光量子组成，每个光量子携带的能量为，1.3光电效应和爱因斯坦光量子假说由于光的能量是量子化的，金属中电子一次只能吸收一个光量子，

因此只有当时才有电子逸出。完美地解释了光电效应实验中观察到的现象。经典物理学中，杨氏双缝干涉实验已经表明，光是(电磁)波。但在爱因斯坦的光量子假设物理图像中，光分明具有粒子的属性。这暗示着光具有波和粒子的双重属性。以上就是量子理论中，微观粒子所具有的波粒二象性。1.3光电效应和爱因斯坦光量子假说因此，光(量)子也应像粒子一样具有动量。根据狭义相对论中，无(静)质量粒子的能量-动量关系，可知，其动量应为，由于应用量子理论成功地解释了光电效应(而非相对论)，爱因斯坦被授予1921年的诺贝尔物理学奖。1.4康普顿散射光的粒子性之后也被康普顿散射这一现象所证实。1923年，康普顿发现当X射线经过石墨散射时，散射光呈现出增加的红移，且这个红移随着散射角度的增加而增加，这现象被称为康普顿效应。1.4康普顿散射康普顿利用光量子假设，优雅地解释了这个现象。能量守恒:动量守恒：

1.4康普顿散射在其研究生吴有训的帮助下，康普顿进一步测试了几种不同的材料，并发现他的理论结果是普遍适用的。1927,康普顿由于对该现象的解释和验证获得了诺贝尔奖。1.5原子稳定性和玻尔量子论原子稳定性问题1911,卢瑟福通过alpha粒子散射实验探测测原子结构。实验结果显示原子结构看起来像是一个迷你的太阳系，它们由中心的原子核和周围运动的电子构成。但是，根据经典电磁学，加速运动的电子会辐射电磁波，从而带走原子能量。于是，电子最终无法维持其轨道而撞到原子核上。这导致原子是不稳定的这一结论。1.5原子稳定性和玻尔量子论

原子光谱问题原子中的电子在圆周运动过程中由于能量连续变化，发射光谱应该是连续谱。然而实验上，通过观测氢原子可见光谱，发现其为离散谱，且满足如下形式：其中为里德伯常数.

为了克服经典物理学遇到的困难，玻尔于1913提出了一个量子化的原子理论。

1.5原子稳定性和玻尔量子论该理论主要由以下三个假设构成：在原子只能稳定地存在于与一系列离散能量相对应的状态中，这些状态叫做定态。处于定态的原子不辐射能量。处于定态的原子中电子绕特定的轨道运动，其角动量为，

即角动量的量子化条件。1.5原子稳定性和玻尔量子论原子只有在两个定态之间跃迁时才发射或吸收电磁波。发射或吸收电磁波的频率为，

其中

和

为两个定态的能量。

1.5原子稳定性和玻尔量子论作业1-3：对于氢原子，试通过波尔的假设结合经典力学推导如下结果，

其中

为电子电荷，为电子质量，为电子轨道半径，为定态的能量，此处我们设库伦常数为1（高斯制单位）.1.5原子稳定性和玻尔量子论通过应用波尔的第三个假设以及作业中第二个关系，原子的发射光谱线就可以由电子跃迁解释，其中

即为里德伯常数。该公式也适用于不可见光。1.6德布罗意物质波受光波粒二象性的启发，年轻的科学家德布罗意于1924年进一步提出，所有实物粒子都具有波粒二象性，且它们的能量和动量也满足与光子相同的关系(称德布罗意关系)注意，与光子不同，这两个式子对于有质量粒子而言是独立的。这一假设于1927年被电子衍射实验所证实。德布罗意也于1929年获得诺贝尔物理学奖。1.6德布罗意物质波把电子波动性用到氢原子的电子运动中，通过驻波条件可以得到波尔的角动量量子化假设：第二章波函数与薛定谔方程波函数及其统计诠释平面波与波包量子态及其表象量子态的相干叠加性不确定性关系薛定谔方程连续性方程，力学量的平均值2.1波函数及其统计诠释经典力学中，要知道粒子的状态即指的是确定该粒子的轨迹

一旦知道其轨迹，其他如，速度、动量和动能等都确定了。经典力学中粒子的位置和动量是可以同时准确知道的。2.1波函数及其统计诠释在前一章中，我们提到任意实物粒子都可以用相应的波来描述。但问题是，这是关于什么的波？2.1波函数及其统计诠释在量子(波动)力学中，粒子轨迹这个经典的概念被抛弃。引入一个新的物理量-波函数来刻画粒子的状态。通过求解其动力学方程-薛定谔方程，就能得知粒子的具体状态。波函数：在给定时间粒子的一种分布函数，如(空间分布函数)，且一般为复函数。Q:表示的这种分布的物理含义是什么？波恩统计诠释1926,波恩首次提出了关于波函数的概率诠释。2.1波函数及其统计诠释波恩的统计诠释认为与发现粒子的概率直接相关。更准确地来说

因此，可解释为概率在空间的分布，物质波就是概率波。例1.

如下一维波函数Q:何处是最(不)可能发现粒子的地方?

思考1分钟2.1波函数及其统计诠释:在b与e之间区域发现粒子的概率.

Q:假设某一时刻我们在a处观测到了一个粒子，则该粒子在测量前的位置在哪?

2.1波函数及其统计诠释正统观点:

该粒子并不确切在任何地方。是观测这一操作“迫使”选择出现在一个切确的地方。尽管我们并不清楚它为何以及如何选择了选择出现在a。这也是哥本哈根学派的观点。隐变量观点：该观点毫不含糊地认为，粒子本就在那儿，这与观测这一操作无关。波函数不包含所有信息，为了完备地描述粒子的所有信息，需要额外引入其他的信息(称隐变量)。这一观点为爱因斯坦和其他一些科学家所坚持。波函数的统计诠释从某种意义来说为量子力学引入了某种不确定性。这一点为爱因斯坦等人所坚决反对。而近期的一些实验倾向于否定隐变量的假设。2.1波函数及其统计诠释“Is

the

moon

there

when

nobody

looks?”---David

Mermin

in

19852.1波函数及其统计诠释第5届索尔维会议2.1波函数及其统计诠释例2.

氢原子的“电子云”在波尔原子理论中，使用了电子轨道这一经典概念。而量子力学只能预测电子出现的可能位置及其概率，这形成了电子云。下图中，点最稠密的位置，就对应与经典物理中的轨道概念，因为它们是最容易找到电子的地方。在第7章,我们将详细探讨该话题。2.1波函数及其统计诠释波函数的一般性讨论我们将在2.6节介绍波函数的动力学方程-薛定谔方程。该方程是线性微分方程。若是方程的解，则也是方程的解，这里为任意有限的复常数。物理上，这两个解表示同一状态。对于现实中粒子而言，波函数应是平方可积的，对于现实中粒子而言，其波函数总是可归一化的，即总可以定义

使得

我们称为归一化波函数，C

为归一化常数。2.1波函数及其统计诠释当为归一化波函数时，才准确表示概率密度。若在某一时刻t

是归一化的，那它在任意时刻都是归一化的。(在2.6节，我们将通过薛定谔方程给予证明。)

由于表示概率密度，所以它应该是单值的。2.2平面波和波包

2.2平面波和波包

2.2平面波和波包于是，量子力学中的平面波也可以表示为对于3维空间的情况，

2.2平面波和波包波包

2.2平面波和波包在量子力学中，3维空间中的波包一般形式可以表示为，

此时，能量为动量的函数，而它们的值一般都不是确定的。但现实中的粒子一般由波包描述。2.2平面波和波包例：高斯波包波函数主要集中在，波包宽度可以认同为粒子主要出现在波包宽度范围内，因此该粒子可以近似视作局域化的粒子。Q:波函数是否已经归一化?思考2分钟。

2.2平面波和波包作业2-1:

确定一下波函数的归一化常数2.2平面波和波包相速度VS群速度考虑如下平面波：其中称相位。决定波前。

这里称为相速度,刻画波前传播的速度。2.2平面波和波包现考虑如下波包的群速度：由于其中有许多不同组分的单色波，为群速度定义良好（波包波形变化足够慢），需假定一个窄分布函数。2.2平面波和波包若频率不依赖于波数或者其为常数，则

则其为驻波，在空间不传递(局域的)能量。若频率依赖波数(色散关系)，，则其极值条件决定波包的包络面，2.2平面波和波包于是，

其中为波包的群速度(即包络面的移动速度)。在量子力学中，波包的群速度与经典意义的粒子速度相对应。

波包的移动速度为群速度“条纹”的移动速度为相速度。2.3量子态和表象根据波恩统计诠释，波函数的振幅的平方表示在出找到粒子的概率密度。这是一种关于位置的分布。

但有些时候，对于同一个系统和状态，我们需要知道概率关于的动量分布。考虑如下状态的波函数，其中已归一化。2.3量子态和表象可以知道，根据统计诠释，表示粒子处于动量的概率。

2.3量子态和表象

2.3量子态和表象例动量本征态

动量表象

坐标表象

位置本征态

坐标表象动量表象2.3量子态和表象总结:

—实空间的概率密度分布。

—动量空间的概率密度分布。两个波函数对应于同一状态，差别只在表象的选取。在第五章，我们将就表象变换作更为系统的探讨。2.4量子态的相干叠加性如前所述，微观粒子状态由波函数描述。与经典波不同，其本质上是概率波；但作为波，一定就有相干的特性。这一点已被实验所证实。2.4量子态的相干叠加性态叠加原理：若为系统可能的状态，则它们的线性叠加也是系统允许的状态，其中ci

为复数。这也被作称量子相干性。2.4量子态的相干叠加性考虑如下量子态：则其概率分布为因此，测量的结果不仅仅是简单的强度叠加。2.4量子态的相干叠加性

2.5不确定性关系考虑电子衍射实验：由于电子也具有波动性，我们并不切确知道电子是如何穿过小缝的。因此，在到达小缝的时候，其位置不确定度应为我们并不切确知道电子如何到达屏幕的，可以推测其在小缝位置时动量的不确定度为。2.5不确定性关系假设偏转不大，根据衍射原理，其光程差为于是，我们可以估算于是，我们有如下不确定性关系：2.5不确定性关系若，粒子处于动量本征态，其位置是完全不确定的，即。反之亦然。现在，我们考虑一个高速运动的自由粒子：由此，我们得到

最后有，2.6薛定谔方程本节，我们将重点介绍描述量子态演化的动力学方程--薛定谔方程。单粒子的薛定谔方程经典波动方程一般可以写成如下形式，该方程可以描述许多形式的波，如声波、电磁波等。2.6薛定谔方程其最简单的解为如下平面波：若过渡到量子力学，则由德布罗意关系可得，显然，该解无法描述有质量粒子的状态。为使更一般的能量-动量关系得到满足，则需找到一个更为合适的波动方程。2.6薛定谔方程动量/能量本征态：牛顿力学中自由粒子：最简单的猜想：2.6薛定谔方程引入以下记号标记算符：则自由粒子薛定谔方程为，2.6薛定谔方程该方程的最简单的解为如下平面波解，但该解不是唯一的解。容易检验以下波包也为该方程的解,其中色散关系为，2.6薛定谔方程算符的本征方程和本征函数本征方程：其中O

为算符的本征值，f

为算符的本征函数。2.6薛定谔方程显然，薛定谔方程的平面波解满足以下本征值方程，引入自由粒子哈密顿算符记号：

因此，此波函数为能量的本征函数(定态)。2.6薛定谔方程该平面波解还是另一个矢量的算符本征方程的解，引入动量算符记号：即该平面波解同时还是动量的本征函数。Q：自由粒子波包是否是动量/能量的本征函数？2.6薛定谔方程现实中，粒子可能还受势场的影响,于是可以作如下推广：于是有这就是单粒子薛定谔方程的一般形式。值得注意的是，该方程为一个线性偏微分方程。2.6薛定谔方程显然，若n

个波函数,则它们的任意线性叠加态也是该方程的解。2.6薛定谔方程多粒子的薛定谔方程对于N个粒子构成的一个系统，我们每一时刻都需要N个坐标标记各粒子的位置，于是表示该时刻测得第1个粒子处于,

…

,第N个粒子处于的概率密度。由经典物理可知，其中为外场赋予的势能，为粒子之间相互作用所赋予的势能。2.6薛定谔方程例.氦原子中的电子于是，多粒子系统的薛定谔方程可写为：2.6薛定谔方程总之，无论对怎样的系统，我们都有统一形式的薛定谔方程，2.7连续性方程，力学量的平均值

连续性方程考虑一个一般的函数。我们有如下结果，

但下面我们证明，在非相对论量子力学中，平方可积的波函数满足如下结果：

即，全空间找到粒子的几率是守恒的。这表明我们前面将解释为概率密度是完全恰当的。2.7连续性方程，力学量的平均值

证明：考虑一个粒子在任意实势场中运动。则其薛定谔方程为

(a)对该方程取复共轭

(b)2.7连续性方程，力学量的平均值

引入记号，

(c)

对时间求偏导(d)将(a)和(b)代入(d),

(e)

2.7连续性方程，力学量的平均值

或

(f)

于是解释为几率密度，为几率流密度。在体积为的空间内积分，(g)我们要求波函数在无穷远处足够快地趋于。于是2.7连续性方程，力学量的平均值

于是，我们有

(h)由于波函数对全空间积分为常数，因此有2.1节所说的，如果其在一时刻是归一化的，那么在任意时刻都是归一化的。2.7连续性方程，力学量的平均值

作业2-2:

考虑某粒子满足以下薛定谔方程：

其中,和为实数。证明如下结果其中

。2.7连续性方程，力学量的平均值

力学量的平均值Q:计算以下人群的平均年龄？10岁-1人15岁-2人20岁-4人25岁-3人平均值计算公式其中为随机挑选一人，其可能的年龄,为人群中选到年龄为的概率。2.7连续性方程，力学量的平均值

考虑处于某个由（归一化）波函数。则根据波函数的统计内涵可知，位置的期望值为，其中为概率密度。同理，势能是坐标的函数，期望值为2.7连续性方程，力学量的平均值

Q：动量的期望值是否如下

???A：不行。在量子力学中，动量和位置不能同时确定。2.7连续性方程，力学量的平均值

让我们考虑随时间的变化,以上，最后一步我们用到分部积分，并假设在无穷远处波函数衰减足够快。对以上结果第二项再分部积分2.7连续性方程，力学量的平均值

作以下替换：于是我们有此外，对于位置期望值也可以写成一般形式2.7连续性方程，力学量的平均值

于是,对于任意力学量算符的期望值特别地，2.7连续性方程，力学量的平均值

若波函数未归一化，则以上讨论，是基于坐标表象。下面我们考虑位置和动量的期望值在动量表象中的计算。设为动量表象中的波函数，则2.7连续性方程，力学量的平均值

不难证明，期望值是不依赖于表象的选取的。即，同理可证以下是坐标-动量表象中，波函数和力学量物理量的形式

(坐标表象)

(动量表象)2.7连续性方程，力学量的平均值

作业2-3:

考虑一粒子处于如下波函数描述的状态，

计算

a.

b.第三章波函数与薛定谔方程

3.1不含时薛定谔方程考虑某粒子在势场中运动，我们通常可以分离变量法求出薛定谔方程的定态解。假设此类解的形式为，

(3.1)又，薛定谔方程为，

(3.2)

3.1不含时薛定谔方程将(3.1)代入(3.2)可得，

(3.3)注意，以上方程的左边只是时间的函数，右边只是坐标的函数。当且仅当两者等于一常数时等式成立。我们不妨把该常数记为。于是，有以下两个独立的方程，(3.4)

和(3.5)3.1不含时薛定谔方程我们称(3.5)为不含时薛定谔方程，该方程又可以记作，

(3.6)显然该方程本质上为哈密顿算符的本征值方程，而该方程的解都是能量的本征态。首先，我们考虑(3.4)的解，(3.7)于是(3.2)的解可以表示为，

(3.6)3.1不含时薛定谔方程对于能量本征态，计算以下期望值，因此，粒子在此种状态下，能量是确定且不会变化的，这对应于1.4节玻尔所定义的定态。因此，有的教材中也把(3.5)或(3.6)称为定态薛定谔方程。为与此相区别，我们称(3.2)为含时薛定谔方程.3.1不含时薛定谔方程定态的特点若某孤立系统在初始时刻t=0处于定态，则它在任意时刻t0

都处于该定态其中为不含时薛定谔方程的解。这意味着：几率密度以及几率流密度不随时间演化；3.1不含时薛定谔方程任意不含时算符的期望值

也不随时间演化。前面我们说过，薛定谔方程的不同解叠加后仍为它的解。这里，考虑以下由n

个不同的定态叠加而成的状态,

Q:它是否仍是定态?

3.2定态问题的一般讨论定态问题主要分为两类:束缚态问题:粒子始终被束缚在势场中运动，能量一般取离散值。主要求解能量本征值和本征函数问题。散射态问题:粒子从无穷远处入射到势场并被势场散射后远离散射中心，能量一般取连续值。一维不含时薛定谔方程为，3.2定态问题的一般讨论常用到的定态波函数性质：若势函数有限，则和处处连续。归一化：(束缚态)渐近行为：（束缚态）3.2定态问题的一般讨论定态的三个有用结论：分离常数

E

必为实数。波函数总可以取成实函数(假设能级无简并)。若为偶函数，则总可以取成偶函数或奇函数(假设能级无简并)。3.3一维无限深方势阱该势阱两壁无限高且无限厚，粒子无法逃逸该阱。3.3一维无限深方势阱Q:对粒子能量进行测量，可能得到的值?对应的波函数?

3.3一维无限深方势阱在势阱内，薛定谔方程为(3.9)其中.数学上，该方程与谐振子的经典力学方程完全一样。它有两波动解，。因此通解形式为，(3.10)其中

A

和

B

为积分常数。该解中共有3个常数需要确定。3.3一维无限深方势阱以下我们将通过连续性条件、边界条件和归一化条件分别确定它们:在势阱外面，，因此有

。也就是在阱外找到粒子的概率为零(后面有更严格证明)。于是，两壁位置

进而有3.3一维无限深方势阱对于这是平庸解需要排除。此外，负号也可以吸收到积分常数A里面去。于是有由于，,解(3.10)可以写成如下形式，由归一化条件，

取正实数，。3.3一维无限深方势阱因此，能量本征函数为能量的本征值为对应完整含时的波函数可写为3.3一维无限深方势阱讨论:当

a

为有限时，该系统能级都是离散的；当a

为无限时，系统能级连续。每一个解表示一个能量的本征态，我们称能量最低的态为基态，其它为激发态。这些本征态并不一定是系统实际处于的状态，但粒子的任意可能的状态都可以由这些解线性表出(即它们可以充当希尔伯特空间的一组完备基)。在测量前，系统处于的状态为含时薛定谔方程的解；而对系统能量进行测量，粒子的状态必会塌缩到这些本征态(不含时薛定谔方程的解)中的一个。3.3一维无限深方势阱定态波函数的形状及能级3.4一维有限深对称方势阱该系统同时存在着束缚态解(

)和散射态解(

)。本节我们主要关注前者。3.4一维有限深对称方势阱Q:有几个束缚态能级?

3.4一维有限深对称方势阱将全空间分为I,

II,

III

三个区域在区域I和III中，薛定谔方程为该方程有两支解。则通解的形式为其中A和B为积分常数。3.4一维有限深对称方势阱对于束缚态,于是，在区域

I,

在区域III,

在区域II,薛定谔方程变为其通解形式为其中C’

和D’为常数。3.4一维有限深对称方势阱由于势函数为偶函数，总可以表示为偶函数或是奇函数，即偶函数,奇函数,3.4一维有限深对称方势阱下面，我们将要求波函数在满足一定的连续性条件(和连续)。偶函数:

在:3.4一维有限深对称方势阱

3.4一维有限深对称方势阱显然，无论什么情况，至少存在一个解，其对应于一个束缚态。特别地，若则至少出现一个（波函数为偶的）激发态。3.4一维有限深对称方势阱现在,假设,即,。这时，于是，能量为这就是之前无限深势阱的结果，若。同时，对于有这就是为什么在势阱外面有的结果。3.4一维有限深对称方势阱由于波函数为偶函数，A=B。于是，归一化条件为于是，(*)又根据处连续性条件，(**)3.4一维有限深对称方势阱联立(*)和(**)可得，其中依赖的值。奇函数的计算与此类似。3.4一维有限深对称方势阱奇函数:

仅当时，存在束缚态波函数为奇函数的情况3.4一维有限深对称方势阱有限深方势阱束缚态能级和波函数图示有限个离散的束缚态能级。定态波函数只可能是奇或是偶函数，基态能级是偶函数。与经典力学不同，即便仍有一定概率在势阱外发现粒子，该现象称为量子隧穿效应。3.4一维有限深对称方势阱阶跃势函数，定态求解一般步骤：按分段函数将全空间分成几个区域；分别写下各区域的薛定谔方程；分别解出各区域薛定谔方程的通解；

通过波函数的渐近行为、波函数及其一阶导数的连续性条件及归一化条件确定通解中的各积分常数。注：若势函数在某处奇异时，在该处只有波函数连续；归一化条件只用于束缚态情况。3.5一维𝛿势阱考虑如下势函数:下面，我们只考虑时束缚态的情况。不含时薛定谔方程为：3.5一维𝛿势阱当

,方程的通解为，波函数的平方可积性要求A=0。同理，当，由波函数在原点处的连续性可知，B=C。即波函数一定是偶函数。由于势函数在该点是发散的，所以不能使用波函数一阶导连续的条件。需要直接通过薛定谔方程确定该点波函数一阶导的变化。3.5一维𝛿势阱对方程在区间积分并令：

3.5一维𝛿势阱

3.5一维𝛿势阱因此，对于𝛿势阱，只有一个能量本征态，能量本征值为，3.6一维方势垒有如下方势垒我们首先考虑的情况，再考虑的情况。3.6一维方势垒情况:

在经典物理中，粒子永远无法穿透势垒。但在量子力学中，由于量子隧穿效应，粒子具有一定概率穿透势垒。在区域I,薛定谔方程为在区域II,

3.6一维方势垒在区域III,

于是，相关通解可以写为：

3.6一维方势垒当,3.6一维方势垒当,3.6一维方势垒由于平面波不能严格归一化，即不能简单将认同为绝对概率。这里我们考虑相对的几率流密度。其中，入射波为，反射波为，透射波为，3.6一维方势垒可定义反射系数和透射系数如下，只需知道三个积分常数的相对大小便可知道这两个系数。3.6一维方势垒

3.6一维方势垒量子隧穿效应的图示

3.6一维方势垒

3.6一维方势垒方势垒模型的应用--约瑟夫逊节A

和B为超导体，其内部载荷子(库珀对)可以作无耗散运动。C为绝缘体，其可视为具有一点厚度的势垒。3.6一维方势垒情况:

唯一与前面不同的是区域II中的薛定谔于是，各区域通解为，3.6一维方势垒重复之前的推导过程，即得透射系数为，3.7一维𝛿势垒考虑delta势垒如下我们可以将全空间分为三个区域。3.7一维𝛿势垒分别写下其薛定谔方程:区域

I

和III

的通解为:由于区域II

中，薛定谔方程是奇异的，我们需要单独求解。3.7一维𝛿势垒在积分,得，于是，在原点处的连接条件为，3.7一维𝛿势垒代入区域I和III的通解，消去,透射系数为，3.8二维方势阱考虑如下二维势阱于是，二维薛定谔方程为，3.8二维方势阱在阱外,在阱内,连续性条件:3.8二维方势阱根据势阱的特点，可以使用分离变量法求解。定义代回阱内的薛定谔方程可得，由此，得到两个独立的微分方程，3.8二维方势阱方程的通解分别为由连续性条件：代回通解可得，3.8二维方势阱以及于是，相应本征能量，3.8二维方势阱积分常数F可通过归一化条件确定:最终，3.8二维方势阱下面，我们将引入简并的概念。为此，我们考虑的情况。对应于第一激发态有两种不同情况，两者的波函数不同，但具有相同本征能量。我们称该能级是简并的，简并度为2。3.8二维方势阱作业3-2:假设某一维势函数非奇异，证明其束缚态能级总是非简并的。3.9谐振子经典力学中，谐振子为受到固定弹簧里作用的一个有质量粒子。其运动满足胡克定律，该方程的通解为，其中频率为，3.9谐振子为表示成哈密顿形式，我们需要知道其势能。由于其势能为这里，我们已略去积分常数。现实中，对于一般形状的势能，当考虑稳定点附近的粒子运动时，我、们基本上可以将之转化为谐振子的问题，3.9谐振子下面，我们考虑一维量子谐振子。不含时薛定谔方程可表示为，为简单起见，我们引入以下参数，于是，波动方程可以表示为

Q：本征能量？定态波函数？3.9谐振子势函数的渐近行为：因此，而在渐近无穷远，波动方程为，其束缚态解行为如下，3.9谐振子这暗示我们可以对方程的解作如下拟设，此时，代入波动方程得，

厄米方程3.9谐振子厄米方程可以通过级数解法求解。由于方程在处非奇异，我们在该处作幂级数展开：于是有，3.9谐振子

3.9谐振子由于势函数是偶函数，分如下情况讨论，其中，为偶函数为奇函数。3.9谐振子若

很大,于是，其中C

为某常数。这类似我们学过如下级数展开，3.9谐振子

3.9谐振子以下，我们称此类有限的多项式为厄米多项式，并记作。它们为实的多项式。于是，第n+1个能级的定态波函数为，其中为归一化常数。3.9谐振子关于厄米多项式:为以下方程的解:(1)满足如下递推关系:(2)(3)满足(4)3.9谐振子其又可表示为

罗德里格斯公式(5)

e.g.

3.9谐振子归一化常数：将(5)代入以上公式得，

3.9谐振子由(3),我们知道，代回前面的积分即得，

3.9谐振子最终，其中

3.9谐振子作业3-3:

对于一维谐振子，证明：提示：应用厄米多项式的递推关系。计算态下,

位置、动量、动能以及势能的期待值。对于基态和第一激发态，分别确定在何处找到粒子的几率最大。3.9谐振子讨论:几率分布:

3.9谐振子3.9谐振子零点能:能级间隔：非零基态能量：

又称零点能。3.9谐振子除额外的零点能，能级的形式与普朗克能量量子化假说完全一致。

黑体辐射源热平衡态下谐振子3.9谐振子下面，我们考虑三维谐振子。为简单起见，我们假设系统是各向同性的，即，不含时薛定谔方程为，其中，3.9谐振子引入参量，于是，方程变为分离变量：有3.9谐振子于是，我们得到三个独立的方程：其中以及注意，这三个方程的形式与一维系统完全相同。3.9谐振子于是，解的形式为其中以及最后我们得以及3.9谐振子对于基态：无简并。对于第一激发态:简并度=3.

3.9谐振子作业3-5:

宋鹤山书(第四版)习题3-5。《量子力学》第四版第四章力学量算符的本征值和本征函数4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.1线性算符(linearoperator)

4.1线性算符的性质及其运算法则线性算符的性质：

算符加法:算符乘法:通常4.1线性算符的性质及其运算法则

对易子(commutator)代数恒等式：4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.2算符的逆

(单位算符identity

operator)

4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.3算符的转置两个函数的标积定义为：标积运算的性质：4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.3算符的转置利用标积，力学量的平均值可以表示成：

或也可以证明4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.4算符的厄米共轭与厄米算符

算符的厄米共轭满足:证明:

还可以得到：4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.4算符的厄米共轭与厄米算符

厄米算符之和也是厄米算符，厄米算符之积不一定是厄米算符。或

4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.4算符的厄米共轭与厄米算符

意味着厄米算符的平均值为实数。

在实际上可观测的力学量如坐标、动量、能量、角动量等的观测值必须是实数，各力学量的平均值也必须是实数。这就要求力学量算符必须是厄米算符。4.1线性算符的性质及其运算法则4.1.5幺正算符

我们将看到，在量子力学中常见的各种变换，包括Fourier变换，量子态随时间的演化都是幺正变换，表示这些变换的算符都是幺正算符。证明：4.2量子力学的基本对易关系4.2.1坐标和动量的对易关系坐标和动量的对易关系如下

其他方向同理。

4.2量子力学的基本对易关系4.2.2角动量的基本对易关系量子轨道角动量定义如下：各个分量为:4.2量子力学的基本对易关系4.2.2角动量的基本对易关系可以证明如下对易关系：

例如：4.2量子力学的基本对易关系4.2.2角动量的基本对易关系定义,可以证明：

引入两个算符：可以证明：4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程定理1:厄米算符的本征值必为实数。

定理2:厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此

正交。4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程定理1:厄米算符的本征值必为实数。

定理2:厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此

正交。本征值方程的解法：(i)解微分方程的方法(ii)Heisenberg代数方法(iii)矩阵方法4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程—一维谐振子解之，可得谐振子的能量本征值和本征函数解微分方程的方法不含时Schrödinger方程

4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程—一维谐振子引入两个算符：(ii)Heisenberg代数方法

下降算符上升算符可以得到：4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程—一维谐振子利用对易关系：可以得到：

4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程—一维谐振子

另根据

对应的本征态记为此时4.3厄米算符的本征值和本征函数系4.3.1厄米算符的本征值方程—一维谐振子(iii)矩阵方法

方程组有非零解的条件是矩阵的行列式等于零，即

4.4量子涨落和不确定性关系

称为量子涨落或不确定度，依赖于系统所处状态。Heisenberg不确定性关系

(Heisenberguncertainty

relation)4.4量子涨落和不确定性关系坐标-动量不确定性关系时间-能量不确定性关系

有

可以得到4.5力学量算符在球坐标系中的表示在研究中心力场问题时，在球坐标系中更为方便。

4.5力学量算符在球坐标系中的表示在球坐标系中不含时Schrödinger方程可以写成：动量和动能算符分别为：角动量平方算符为：4.5力学量算符在球坐标系中的表示

4.6力学量算符的共同本征函数系

如果两个力学量具有共同本征函数系，则体系可同时处于两个力学量的共同本征态，两个力学量有可能同时具有确定值。如果两个力学量对易，则它们具有共同本征函数系。4.6力学量算符的共同本征函数系利用厄米算符本征函数的正交、归一性:

4.6力学量算符的共同本征函数系一维谐振子的能量本征函数构成一维谐振子能量算符的一组正交归一完备的本征函数系。

动量算符的共同本征函数

任意波函数可展开为：

4.6力学量算符的共同本征函数系坐标算符的共同本征函数

本征值为离散值的力学量本征函数具有正交归一性如何进行“归一化”？

连续谱的本征函数：

数学性质：

(1)(2)

(3)

(5)

(4)

(6)

(7)

动量本征态：三维情况坐标本征态：三维情况《量子力学》第四版第五章

态矢量和力学量算符的表象变换5.1量子态的矢量表示及其表象变换5.1.1量子态的矢量表示

表象(Representations

)

5.1量子态的矢量表示及其表象变换5.1.1量子态的矢量表示Hilbert空间是量子力学的背景空间，它是一个复空间。

,

5.1量子态的矢量表示及其表象变换5.1.1量子态的矢量表示

,

且

5.1量子态的矢量表示及其表象变换5.1.2态矢量的表象变换

变换矩阵(幺正)或

5.2力学量的矩阵表示及其表象变换5.2.1力学量的矩阵表示

,

5.2力学量的矩阵表示及其表象变换5.2.1力学量的矩阵表示或者表示为

其中,

,

5.2力学量的矩阵表示及其表象变换5.2.2力学量算符的表象变换

,

因此

5.3量子力学的矩阵形式5.3.1平均值公式的矩阵形式

用矩阵形式可表示为：

5.3量子力学的矩阵形式5.3.1平均值公式的矩阵形式

5.3量子力学的矩阵形式5.3.2本征值方程的矩阵形式

5.3量子力学的矩阵形式5.3.2本征值方程的矩阵形式写成矩阵形式为上式存在非平庸解的必要条件是

5.3量子力学的矩阵形式5.3.3Schrödinger方程的矩阵形式

并带入到Schrödinger方程得到

5.3量子力学的矩阵形式5.3.3Schrödinger方程的矩阵形式写成矩阵形式为

其中

，在能量表象下Hamiltonian是对角化的，

对角元即为能量本征值。5.4量子力学的Dirac描述5.4.1Dirac符号引进Dirac符号，

bracket右矢左矢

它不涉及具体表象。5.4量子力学的Dirac描述

(离散谱)(连续谱)

线性算符：

5.4.2Dirac符号的运算规则5.4量子力学的Dirac描述根据

单位算符

连续谱的单位算符？如坐标、动量表象下:

或5.4量子力学的Dirac描述5.4.3量子力学的Dirac符号描述

平均值公式：

5.4量子力学的Dirac描述5.4.3量子力学的Dirac符号描述本征值方程：

左边：右边：

5.4量子力学的Dirac描述5.4.3量子力学的Dirac符号描述Schrödinger方程：

左边：右边：

5.4量子力学的Dirac描述5.4.4表象变换

或写成

5.4量子力学的Dirac描述5.4.4表象变换

或写成

《量子力学》第四版第六章对称性与守恒定律6.1守恒量的平均值和概率分布

在量子力学中，如果一个力学量与体系的哈密顿量对易，则称该力学量为守恒量。它的时间演化可写为：

(4) 守恒量

力学量确定测值本征态6.1守恒量的平均值和概率分布6.2对称性和守恒定律

6.2.1空间平移对称性与动量守恒

6.2对称性和守恒定律6.2对称性和守恒定律

6.2.2时间平移对称性与能量守恒

6.2对称性和守恒定律

6.2.3空间旋转对称性与角动量守恒

6.3全同粒子系波函数的交换对称性6.3.1全同性原理和两种统计全同性原理:

全同粒子不可区分.粒子的质量、电荷、自旋、寿命等是其内禀属性。内禀属性相同的粒子称为全同粒子。我们通过测量确定一个粒子的能量、位置等时，只能说一个粒子的能量是多少或一个粒子在某一位置，但我们无法判断所测到的是体系中哪个粒子的能量或位置。全同性原理是量子力学的基本假设之一。一组全同粒子.6.3全同粒子系波函数的交换对称性全同粒子的交换对称性考虑两个电子的哈密顿量

波函数满足:“+”:玻色子(Bosons)，交换两个粒子波函数具有

对称性,遵从Bose-Einstein统计,具有整数自旋。“-”:费米子(Fermions)，交换两个粒子波函数具有反对

称性,遵从Fermi-Dirac统计,具有半整数自旋。

6.3全同粒子系波函数的交换对称性6.3.2交换算符和Pauli不相容原理引进交换算符：

交换一次:

再交换一次:

6.3全同粒子系波函数的交换对称性6.3.2交换算符和Pauli不相容原理引进交换算符：

因此全同粒子系中，玻色子和费米子的波函数必须分别具有交换对称性和交换反对称性，即：

6.3全同粒子系波函数的交换对称性Pauli不相容原理即不允许有两个或两个以上的粒子处于完全相同的量子态。对于玻色体系，处于同一量子态的粒子数目没有限制。在极低温度下，体系中各粒子的动量都趋于零，大量玻色子可以处于完全相同的量子态，这种现象被称为Bose-Einstein凝聚。

*6.4无相互作用全同粒子系的交换简并无相互作用的全同粒子系中，由于交换对称性导致的能级简并称为交换简并。

6.5量子力学的三种绘景量子力学有三种绘景：Schrödinger、Heisenberg和相互作用绘景.

Schrödinger方程:Schrödinger绘景

:波函数随时间变化

:力学量不随时间变化

Heisenberg方程:

6.6密度矩阵………

………………

纯态

混合态

密度矩阵:

基于系综观点理解纯态(purestate)和混合态(mixedstate)6.6密度矩阵密度矩阵的性质：

6.6密度矩阵平均值公式：

证明：可见，在混合态下力学量的平均值等于各个子体系（纯态）中力学量的平均值对总体系求概率平均值。6.6密度矩阵刘维尔方程：证明：

6.7量子力学的基本假设

第七章粒子在势场中运动《量子力学》第四版7.1中心力场问题的一般讨论

能量本征值方程:

球坐标系:

7.1中心力场问题的一般讨论

分离变量

径向方程

7.1中心力场问题的一般讨论

7.1中心力场问题的一般讨论

有效势能:

7.2球方势阱

求粒子的能量本征值与本征函数.

球Bessel方程

7.2球方势阱球Bessel方程的解可以用半奇数阶Bessel方程

球Bessel函数7.2球方势阱

球Neumann函数

归一化：

7.2球方势阱最简单的几个球Bessel函数

阱内粒子的能量本征值由下列边界条件确定

或

7.3类氢离子7.3.1类氢离子的能量本征值与本征函数

则：

为折合质量。7.3.1类氢离子的能量本征值与本征函数

质心运动方程相对运动方程

质心运动方程，它满足自由粒子的波动方程，与相互作用势无关。7.3.1类氢离子的能量本征值与本征函数球坐标系对于相对运动进行分离变量，且可得径向方程为

7.3.1类氢离子的能量本征值与本征函数

代入比较系数：

7.3.1类氢离子的能量本征值与本征函数

径向量子数主量子数

轨道角动量量子数

7.3.1类氢离子的能量本征值与本征函数

7.3.1