第三章证明3 1 2平行四边形

3.1.2平行四边形(2)学好几何标志是会“证明”证明命题的一般步骤:索(“5)因”);(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.回顾与思考1驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸′

,∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四边形的对角相等.∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C,

∠B=∠D.平行四边形的性质(三种语言)定理:平行四边形的对边相等.∵四边形ABCD是平行四边形证明后的结论,以后可以直接运用.BDCA回顾与思考2平行四边形的性质(三种语言)′

∴CO=AO,BO=DO.驶向胜利的彼岸证明后的结论,以后可以直接运用.BDC定理:平行四边形的对角线互相平分.

A∵四边形ABCD是平行四边形O定理:夹在两条平行线间的平行线段相等.∵

MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顾与思考3驶向胜利的彼岸等腰梯形的性质(三种语言)定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D,

∠B=∠C.定理:等腰梯形的两条对角线相等.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..BDCABDCA证明后的结论,以后可以直接运用.回顾与思考4驶向胜利的彼岸等腰梯形的判定(三种语言)定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.BCA

DDCA定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.B证明后的结论,以后可以直接运用.回顾与思考5驶向胜利的彼岸平行四边形的判定行家看门道1BDCA定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=DA..求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:连接AC.∵

AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴

△ABC≌△CDA(SSS).∴∠1=∠2,

∠3=∠4.∴AB∥CD,CB∥AD.∴四边形ABCD是平行四边形.分析:要证明四边形

ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分

别平行,从而作辅助线,用全等三角形来证明

相应的角相等.1243平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.′求证:四边形ABCD是平行四边形.驶向胜利的彼岸议一议2分析:要证明四边形

ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分

别相等,从而作辅助线,用全等三角形来证明

相应的边相等.∴四边形ABCD是平行四边形.证明:连接AC.∵

AB∥CD,∴

∠1=∠2.∵AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS)..∴BC=DA.BDCA12你还有不同的证法吗?驶向胜利的彼岸平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知:如图,在四边形ABCD中,对角线随堂练习3AC,BD相交于点O,CO=AO,BO=DO.求证:四边形ABCD是平行四边形.证明:∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2,∴△AOD≌△COB(SAS).∴∠3=∠4.∴AD∥CB.同理,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.BDCA分析:要证明四边形ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别平行,从而用全等三角形来证明相应的角相等.你还有几种不同的证法?3O

14

2平行四边形的判定′求证:四边形ABCD是平行四边形.驶向胜利的彼岸我思,我进步4定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600.∴

2∠A+2∠B=3600.∴∠A+∠B=1800.∴AD∥BC.同理,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.DB

C分析:要证明四边形

ABCD是平行四边形.可转化证明两组对边分别平行.从而转化为相关的角关系来证明.A做一做5已知:如图.求证:四边形MNOP是平行四边形.′证明:

(x

-3)2

-

(x

-5)2

=

42.\

x

=

8.\

MN

=

5

=

PO.\

PM

=

3

=

ON.驶向胜利的彼岸分析:这是一道综合性题目,利用勾股定理,方程和平行四边形的判定进行计算性推理可获证.OMNP45x-311-xx-5∴四边形MNPO是平行四边形.随堂练习6已知:如图,在□

ABCD中,BF=DE.求证:四边形AFCE是平行四边形.证明:′

∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB.∵

DE=CF,∴CE=AF,∴四边形AFCE是平行四边形.驶向胜利的彼岸ACD

EF

B分析:由已知的平行四边形和BF=DE可知,CE=AF,则转化为利用一组对边平行且相等来证明.你还有几种不同的证法随堂练习7驶向胜利的彼岸已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与AD相交于点P.BD

C分析:要证明两条线段的和等于另一条线段,可以将BC分割为两部分,来证明相应的线段相等.如将CD平移(过P作CD的平行线)到PE的位置,则可利用等角对等边来证明PE=BE,从而问题得证.A12P

3

E求证:PD+CD=BC.证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E.∵四边形ABCD是平行四边形,′

∴AB∥CD,AD∥BC.∴PE∥CD∥AB,∴

∠1＝∠3,四边形PDCE是平行四边形.∴

PD=EC,PE=CD.∵

∠1＝∠