常数项级数概念和性质

第十 无穷级 R1造函数值表).故它在积分运算和微分⽅程求解时,也呈现在⾃然科学和⼯程技术中,也常⽤⽆穷级数来分析问题,如谐波分析等.2

3

constantterminfinite常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的必要条件小结思考题作业 第⼗章⽆穷级 引例用圆内接正多边形面 依次作圆内接正3·2n(n=0,1,2, )边设a0表示内接正三角形面积ak边数增加时增加的面积3·n0+a1

+nfi¥时,这个 近于圆的面积A A=a0+a1+a2 +an51.1.+un¥un=u1+u2++un¥

3+ +n1-1+;

-1 +(-

n-11 +(-1)n-1+6un=u1+u2+u3 +un 2.也算不完,那么如何计算?称⽆穷级数(1)的前nnsn=u1+u2 +un

这样,级数(1)对应⼀个部分和数列s1=u1, s2=u1+u2,sn=u1+u2 +,

s3=u1+u2+u3 从⽆限到有限,从⽆限到有限,再从有限(近似)到⽆限(精确当n⽆限增⼤时如果级数un¥¥数列sn有极限s,即limsns. nfi un收敛,这时极限s叫做级数un的和 并写成s=u1+u2 +un¥如果sn没有极限,则称⽆穷级数un发散¥即limsn存在(不存在 常数项级数收敛(发散8¥un=u1+u2+u3 ¥

n极限是等价的对收敛级数(1

=¥ ¥为级数(1)的余项或余和.显然有limrn当n充分⼤时,sn

误差为|rn|9例级数1+2+3+ +n+ =1+2+3 +n=n(n

=limn(n+1) 所以,级数发散例讨论等比级数(⼏何级数¥aqn=a+aq+aq2 +aqn (a¥的收敛性.(重要 如果q„1时sn=a+aq+aq2 +=a- 1- =1-

1-当q1时

limn=

sn=1-sn=1-q-1-a=当q1时

limn¥lim ¥如果q1

当q=1时,sn=nafi 当q1时级数变为aaaa\limsn不存 nfi 当

时,综 aqn

当

时,例 + +1 3

(2n-1)(2n+

. u =1 - (2n-1)(2n+ 22n- 2n+n\ = +1 n13+3 (2n-1)(2n+=1 11 11 1) =1(1- \limsn

nfi¥

)=2级数收敛,和为12

即s2 rn=s-=1

22n+¥ ¥

n收敛并求其和

=1

+ 3 +n = ++= n后式减前式,

=1+(2-1)+(3-2) +( n

2n- 2n-

1++

1

2n-+2

1- 21-¥¥2n

-n=2- - 1-

故s=lim =lim(2

-n)=nfi¥

所以,此级数收敛且其和为 性质 设常数k„0,则un与 证令un与kunsn及sn. sn=ku1+ku2 +kun=k(u1+u2 于是当snfissnksnfi =ksn也不存在极限 结论:级数的每⼀ ¥例讨论级数3lnna(a0)的敛散性¥¥解因为3lnna是以lna为公比的等比级数¥故当1ae时,|lna|1,级数收敛.当0a£1或ae时|lna|1,发散. 当

时,aqn

当

时, 性质2设有两个级数un与vn 若若¥un¥vn则¥nn)=s–s 若un收敛vn发散则(unvn 若un,vn均发散则(unvn敛散性不确定 证级数的部分和(uivi=ui–vi i i 极限的性质lim(uivilimuilimvi即证

nfi¥i

nfi¥i

nfi¥i结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减¥若两级数都发散unvn)不⼀定发散¥ ,都发散.

, 0收敛¥例¥

¥nn=1¥n

都收敛¥¥n当q时,当q时,

1 ¥

+3n

=

33

+n¥1¥1

+1

3n-¥ 3¥S=S= 1-1 11-

= 3性质3添加、去掉或改变有限项不影响⼀个¥证将级数unk项去掉,¥ uk+n的部分和为sn=uk =sk+n-

由于nfi¥时,sn与sk+n极限状况相同故新旧两级当级数收敛时其和的关系为sssk¥性质4设级数un收敛,在此收敛¥以任意加(有限个或⽆限个)括号,所得新级数仍收注⼀个级数加括号后所得新级数发散注则原级数发散事实上设原来的级数收敛,则根据性质4,加括后的级数就应该收敛了.②⼀个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定括号括号11+能加⽆穷多括号性质性质4数的和¥证sun若按某一规律加括弧,¥(u1+u2)+(u3+u4+u5)则新级数的部分和数列sm(m=1,2, 和数列sn(n=1,2, )的一个子数列,因此必有limsm=limsn=mfi limun=¥证sun un=sn-sn-limunlimsnlimsn-

nfi=s-s=注级数收敛的必要条件注级数收敛的必要条件:limun①级数收敛的必要条件常⽤判别级数发散②也可⽤它求或验证极限为“0”的极限③必要条件不充分如

1+1+ 1+++n +++n

有¥讨论由于x

(x>0)发 nn sn=

>ln1+k

=ln2+ln3+ln4 +lnn1=ln

3 n+1

n 2 111收敛+1111收敛+1

知级数发散例

n3-2n+¥

(2n-1)(2n+1)(2n+(1+¥¥

lnn3 -n=1 级数收敛的必要条件limun常⽤判别级数发散 n32n (2n-1)(2n+1)(2n+解limun=

n3-2n+

=1„¥¥

lim

=3„nfi¥

nfi¥ 1 n1+n n

1¥¥

lnn3=1 ¥ 解因调和级数¥¥

n发散由性质1知

n=1

发散

lnn

r

ln3

为公比的等比级数|r|ln3 所以这个等比级数收敛3¥ lnn3发散

-n=1 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件limun¥设un为收敛级数,a为非零常数¥(una的敛散性¥解因为un