2021-2022学年湖南省娄底市金凤中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年湖南省娄底市金凤中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.

设集合若则的范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A2.满足的集合共有

（

）A．6个

B．5个

C．8个

D．7个参考答案：D略3.函数（且）的图像是下列图像中的（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.4.求值：＝()(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略5.已知点A、B是函数f（x）=x2图象上位于对称轴两侧的两动点，定点F（0，），若向量，满足?=2（O为坐标原点）．则三角形ABO与三角形AFO面积之和的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[3，+∞）C．[，+∞）D．[0，3]参考答案：B考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过设点A（﹣x，x2）（x＞0）、利用?=2、计算可知B（，），过点A、B分别作x轴垂线且垂足分别为C、D，通过S△ABO+S△AFO=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BDO+S△AFO、利用面积计算公式及基本不等式计算即得结论．解答：解：依题意，不妨设点A（﹣x，x2）（x＞0）、B（p，p2）（p＞0），∵?=2，即﹣xp+（xp）2=2，∴（xp）2﹣xp﹣2=0，解得：xp=2或xp=﹣1（舍），∴p=，即B（，），过点A、B分别作x轴垂线，垂足分别为C、D，则S△ABO+S△AFO=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BDO+S△AFO=（AC+BD）?CD﹣AC?CO﹣BD?OD+OF?CO=（x2+）?（x+）﹣x2?x﹣??+??x=（x3++2x+﹣x3﹣+）=（+2x+）=（+）≥?2（当且仅当=即x=时等号成立）=3，故选：B．点评：本题考查平面向量数量积运算，涉及面积的计算方法、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．6.已知集合则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.若直线l1：ax+2y+6=0与直线平行，则a=（）A．.2或﹣1 B．.2 C．﹣1 D．以上都不对参考答案：C【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线平行可得a（a﹣1）﹣2×1=0，解方程验证可得．【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线平行，∴a（a﹣1）﹣2×1=0，解得a=2，或a=﹣1当a=2时，两直线重合．故选：C．8.若A={(1,-2),(0,0)},则集合A中的元素个数是

（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略9.函数的递增区间是（

）A.[0,1]和(1,+∞) B.(1,+∞)C.(－2,+∞) D.(2,+∞)参考答案：A【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组求解即可得出结果．【详解】解：当时，，是二次函数，增区间为：．时，是增函数，所以函数的增区间为：．综上函数的递增区间是：和．故选：A．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．10.（4分）α是第四象限角，，则sinα=（） A． B． C． D． 参考答案：D考点： 同角三角函数间的基本关系．分析： 根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．解答： ∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．点评： 三角函数的基本关系是三角函数的基本，是高考必考内容．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设的大小关系为_________________.参考答案：12.在正方体中，平面与平面所成的锐二面角的大小是

.参考答案：

13.函数y=2sinπx（x∈R）的部分图象如图所示，设O为坐标原点，P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，则tan∠OPB的值为．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【分析】过P作PQ垂直于x轴，根据正弦函数的图象与性质，得出点P、B和Q的坐标，计算|PQ|，|OQ|，|BQ|的长，利用锐角三角函数定义表示出tan∠OPQ和tan∠BPQ，计算tan∠OPB的值即可．【解答】解：过P作PQ⊥x轴，如图所示：∵函数y=2sinπx，且P是图象的最高点，B是图象与x轴的交点，∴P（，2），B（2，0），即|PQ|=2，|OQ|=，|OB|=2，∴|QB|=|OB|﹣|OQ|=，在Rt△OPQ中，tan∠OPQ==，在Rt△PQB中，tan∠BPQ==，∴tan∠OPB=tan（∠OPQ+∠BPQ）==．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正切函数公式，锐角三角函数定义以及正弦函数的图象与性质，作出辅助线PQ，找P、B的坐标是解题的关键．14.设Sn为数列{an}的前n项和，若，则数列{an}的通项公式为an=__________．参考答案：，【分析】令时，求出，再令时，求出的值，再检验的值是否符合，由此得出数列的通项公式.【详解】当时，，当时，，不合适上式，当时，，不合适上式，因此，，.故答案为：,.【点睛】本题考查利用前项和求数列的通项，考查计算能力，属于中等题.15.如图在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为△ABC的外心，则=

，=．参考答案：2，﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设外接圆半径为R，则═，故可求；根据，将向量的数量积转化为：=，故可求．【解答】解：设外接圆半径为R，则═==2同理═=所以=故答案为：2，﹣．16.已知定点A(0，1),点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________________.参考答案：17.（5分）下列命题中，正确的是

（填写正确结论的序号）（1）向量与向量平行，则与的方向相同或相反；（2）在△ABC中，点O为平面内一点，若满足?=?=?，则点O为△ABC的外心；（3）函数y=2sin（3x﹣）+3的频率是，初相是﹣；（4）函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（，0），（k∈Z）（5）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是直角三角形．参考答案：（3），（5）考点： 命题的真假判断与应用．专题： 三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．分析： 的方向不确定，且与任意向量均平行，可判断（1）；由点O为△ABC的垂心，可判断（2）；求出函数y=2sin（3x﹣）+3的频率和初相，可判断（3）；求出函数y=tan（2x﹣）的对称中心，可判断（4）；判断△ABC的形状，可判断（5）；解答： 对于（1），的方向不确定，且与任意向量均平行，故错误；对于（2），在△ABC中，点O为平面内一点，若满足?=?=?，则点O为△ABC的垂心，故错误；对于（3），函数y=2sin（3x﹣）+3的频率是，初相是﹣，故正确；对于（4），函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（，0），（k∈Z），故错误；对于（5），在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），即sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=1，即A+B=，则△ABC的形状一定是直角三角形，故正确．故正确的命题是：（3），（5），故答案为：（3），（5）．点评： 本题以命题的真假判断为载体，考查了向量平行，向量垂直，正弦型函数的图象和性质，正切型函数的图象和性质，三角形的形状判断，难度中档．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

已知函数在R上奇函数。（1）求；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围。参考答案：19.（本小题12分）设直线的方程．（1）若在两坐标轴上截距相等，求的一般式方程。Z,X（2）若不经过第二象限，求实数的取值范围。

参考答案：直线中过，当时，当时，，易知，a+1≠0,

由

解得，代入得直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0

……6分

2)直线l的斜率为0，则

则a=-1;

……3分斜率不为0

a<-1,综上所述

……6分20.已知顶点的坐标为，，.（1）求点到直线的距离及的面积；（2）求外接圆的方程.参考答案：（本小题满分15分）(1)解：直线方程为：点到直线的距离=又=(2)设外接圆的方程为：把三点，，分别代入，得：D=，，F=0求的外接圆的方程为略21.（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）若，且，求△ABC的面积．参考答案：（1）

（2）

22.(本小题满分15分)设是等比数列的前项和，，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的公比；（Ⅱ）求证：，，成等差数列；（Ⅲ）当，，成等差数列时，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，，，，，，不成等差数列，与已知矛